大学物理下册第20章 振动 课件课件

1、1 第第 20 20 章章 振振 动动 (Vibration)20.1 简谐振动的描述简谐振动的描述20.3 简谐振动的能量简谐振动的能量20.4 阻尼振动阻尼振动20.5 受迫振动受迫振动 共振共振20.2 简谐振动的动力学简谐振动的动力学220.6 同一直线上同频率同一直线上同频率 的简谐振动的合成的简谐振动的合成 20.7同一直线上不同频率同一直线上不同频率的简谐振动的合成的简谐振动的合成 20.8 谐振分析谐振分析 20.9 两个互相垂直的简谐两个互相垂直的简谐振动的合成振动的合成3 物体在一定位置附近作往复的运动叫物体在一定位置附近作往复的运动叫机械振机械振动，动，简称简称振动振动

2、周期和非周期振动周期和非周期振动 简谐运动：简谐运动：最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动. . 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等都在不停地振动。以及晶体中原子的振动等都在不停地振动。简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解4 质点运动时，如果离开平衡位置的位移质点运动时，如果离开平衡位置的位移x x（或角位移（或角位移 ）按正弦规律随时间变化，这种运）按正弦规律随时间变化，这种运动就叫动就叫简谐运动简谐运动。一、简谐运动的运动方程一、简谐运动的运动方程(Equation of Simple Harmonic Motio

3、n) ) 20.1 简谐运动的描述简谐运动的描述 (Simple Harmonic Motion)AAxOvax图图20.1 质点的简谐运动质点的简谐运动)tcos(Ax (20.1)5角频率角频率 与与频率频率 的关系：的关系： = (20.3)可得：可得：角频率角频率 与与周期周期 T T 的关系：的关系：由由T 2 (20.2)tcos(A)tTcos(Ax 22(20.4)6简谐运动的加速度和位移成正比而反相简谐运动的加速度和位移成正比而反相A A: :振幅；振幅； ：角频率角频率; ; : :初相初相 叫做简谐运动叫做简谐运动的的三个特征量。三个特征量。)2cos()sin( tAt

4、Adtdxv(20.5)2222cos()()d xaAtdtAt (20.6)xdtxda222 (20.7)7tx图图tv 图图ta图图TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos( tAx0若若2T)2cos(tA)sin( tAv)cos(2tA)cos( tAa2图图20.2 简谐运动的简谐运动的x,v,a随时间随时间变化的关系曲线变化的关系曲线8二、相量图法二、相量图法(Method of phasor diagram)2 cos(tAv)cos(2tAaA振幅矢量振幅矢量;mvv)cos(tAx图图20.3 匀速圆周运动匀速圆周运动与简谐运动与简谐运动0t ttAOxnaax

5、9三、相三、相 初相初相 相差相差（Phase Initial Phase Phase Difference）：叫在时刻：叫在时刻 t 振动的振动的相（相（或或相位）相位）; t：t=0 时刻的相位叫时刻的相位叫初相初相 若两个简谐运动的相差始终是若两个简谐运动的相差始终是 = 2- 1则可知两个运动是同步调的。则可知两个运动是同步调的。)tcos(Ax)tcos(Ax222111 两个简谐运动两个简谐运动 它们的相差它们的相差1212 )t()t(20.8)10例例20.1 简谐运动简谐运动。一质点沿。一质点沿x轴作简谐运动，振轴作简谐运动，振幅幅A=0.05m，周期，周期T=0.2s。当质

6、点正越过平衡位。当质点正越过平衡位置项负置项负x方向运动时开始计时。方向运动时开始计时。 （1）写出此质点的简谐运动表达式；）写出此质点的简谐运动表达式； （2）求在）求在t=0.05s时质点的位置、速度和加时质点的位置、速度和加速度；速度； （3）另一质点和此质点的振动频率相同，）另一质点和此质点的振动频率相同，但振幅为但振幅为0.08m，并和此质点反相，写出这另一，并和此质点反相，写出这另一质点的简谐运动表达式；质点的简谐运动表达式； （4）画出两振动的相量图。）画出两振动的相量图。 11解解 (1)取平衡位置为坐标原点，以余弦函数表示取平衡位置为坐标原点，以余弦函数表示简谐运动，则简谐运

7、动，则A=0.05m， =2 /T=10 s-1。由于。由于t=0时时x=0，且，且v0，所以所以 = /4。简谐运动的表达式为简谐运动的表达式为27 07 10 cos(4)4x.t2222例例20.3 单摆的小摆角振动单摆的小摆角振动。如图所示单摆摆长。如图所示单摆摆长为为l，摆锤质量为，摆锤质量为m。证明：单摆的小摆角振动是。证明：单摆的小摆角振动是简谐运动并求其周期。简谐运动并求其周期。解解 取逆时针方向为叫位移取逆时针方向为叫位移 的正方向，则的正方向，则tfmg sin 在在位移角位移角 很小时很小时，sin ，所以，所以由于由于22ddddddtvallttttfmg (20.1

8、7)图图20.6 例例20.3单单摆摆2323由牛顿第二定律可得由牛顿第二定律可得22ddmlmgt 或或22ddgtl （20.18）与式（与式（20.11）比较，可得在摆角很小的情况下，）比较，可得在摆角很小的情况下，单摆的振动是简谐运动，其角频率为单摆的振动是简谐运动，其角频率为gl其周期为其周期为22lTg（20.19）24 20.3 简谐运动的能量简谐运动的能量 （Energy of Simple Harmonic Motion）弹簧振子为例弹簧振子为例 （Spring Oscillator）22pkkx21mv21EEE (20.25)总机械能总机械能222022220112211

9、22cos ()sin ()pkEkxkAtEmvmAt(20.26)(20.27)25mk2 弹簧振子弹簧振子总机械能为总机械能为 弹簧振子的总能量不随时间改变，即弹簧振子的总能量不随时间改变，即其机械能守恒。总能量与振幅的平方成正比，这其机械能守恒。总能量与振幅的平方成正比，这对其他的简谐运动系统也正确。对其他的简谐运动系统也正确。)t(sinkA21E022k (20.28)2pkkA21EEE (20.29)26图图20.7简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线kEpExA A pExOE TTkkTTppkAdttkATdtETEkAdttkATdtETE02022002022041)(s

10、in211141)(cos2111 27 20.4 阻尼振动阻尼振动（damped vibration） 任何振动系统总要受到阻力的作用，任何振动系统总要受到阻力的作用，这时的振动叫这时的振动叫阻尼振动阻尼振动。因阻尼振动的振幅不断。因阻尼振动的振幅不断地减小，故而被称为地减小，故而被称为减幅振动减幅振动。阻尼力阻尼力比例常数比例常数dtdxfr v（ 20.31 ）运动方程运动方程dtdxkxdtxdm22 （ 20.32 ）28mk20 令令固有角频率固有角频率m2 阻尼系数阻尼系数代入（代入（ 20.32 ）式式, ,在阻尼作用较小（即在阻尼作用较小（即0 时）时）0 xdtdx2dtx

11、d2022 （20.33）方程方程（4-3）的解为）的解为)tcos(eAx0t0 （ 20.34）可得可得29其中其中0A0 和和是由初始条件决定的积分常数是由初始条件决定的积分常数图图20.8 阻尼振动图线阻尼振动图线tOxt0eA 220 （20.35）30阻尼振动周期为阻尼振动周期为振动能量为振动能量为其中其中0E为起始能量。能量减小到起始能量的为起始能量。能量减小到起始能量的e1所经历的时间为所经历的时间为时间常数，或叫鸣响时间时间常数，或叫鸣响时间阻尼越小，则鸣响时间也越长。阻尼越小，则鸣响时间也越长。22022T （20.36）t20eEE （20.37） 21 （20.38）3

12、1品质因数品质因数QQ：在鸣响时间内完成阻尼振动的次数：在鸣响时间内完成阻尼振动的次数的的 倍，即倍，即 2otx图图20.9三种阻尼的比三种阻尼的比较较abc b b：过阻尼：过阻尼 a a：欠阻尼：欠阻尼 c c：临界阻尼：临界阻尼 T2Q（20.39）32 20.5 受迫振动受迫振动 共振共振（Forced vibration Resonance ） 在驱动力作用下的振动叫在驱动力作用下的振动叫受迫振动受迫振动。对振动系统施加的周期性外力叫对振动系统施加的周期性外力叫驱动力驱动力。物体受迫振动的运动方程物体受迫振动的运动方程弹性力弹性力阻力阻力简谐力简谐力令令mHh,m2,mk20 tc

13、osHdtdxkxdtxdm22 （20.40）33则上式可以写成则上式可以写成这个微分方程的解为这个微分方程的解为减幅振动减幅振动等幅振动等幅振动受迫振动稳定状态表示式受迫振动稳定状态表示式驱动力的角频率驱动力的角频率tcoshxdtdx2dtxd2022 （20.41）)tcos(A)tcos(eAx0220t0 （20.42）)tcos(Ax （20.43）34振幅为振幅为稳态受迫振动与驱动力的相差为稳态受迫振动与驱动力的相差为振幅极大时的振幅极大时的角频率角频率、相应的、相应的振幅振幅为为 212222204hA （20.44）2202arctan （20.45）2202 （20.46

14、）2202mHA （20.47）35图图20.10 受迫振动的振幅曲线受迫振动的振幅曲线0 0 当当即即时振幅达到最大值，即时振幅达到最大值，即发生了发生了共振共振。36共振的应用：收音机、乐器、医疗诊断等共振的应用：收音机、乐器、医疗诊断等共振的危害：机器设备的损害等共振的危害：机器设备的损害等图图20.11 1940 年年7月月1日美国日美国 Tocama 海峡大桥的共振断塌海峡大桥的共振断塌37 20.6 同一直线上同频率的简谐运动的合同一直线上同频率的简谐运动的合成成（ Combination of Simple Harmonic Motion Along a Straight Lin

15、e with same frequency ） 设在同一直线上的同频率的两个简谐运动的设在同一直线上的同频率的两个简谐运动的表达式分别为，表达式分别为，)tcos(Ax)tcos(Ax222111 任意时刻合振动的位移任意时刻合振动的位移21xxx 38X1A 12A 2A XOX2X2X1图图20.12 在在x 轴上的两个同频轴上的两个同频率的简谐运动合成的相量图率的简谐运动合成的相量图39合振动的表达式合振动的表达式)tcos(Ax 合振幅合振幅合振的初相合振的初相两个分振动两个分振动 的初相差的初相差)cos(AA2AAA12212221 (20.48)22112211cosAcosAs

16、inAsinAtg (20.49)401. 两个分振动同相两个分振动同相 ,2, 1,0k,k212 21212221AAAA2AAA toxx1x2x1+ x2图图20.13 两振动同相两振动同相412. 两个分振动反相两个分振动反相 ,2, 1,0k,)1k2(12 21212221AAAA2AAA toxx1x2图图20.14 两振动反两振动反相相x1 +x2当当21AA 时，时，0A 质点处于静止质点处于静止42tox图图20.15 任意相位任意相位差差3. 两个分振动相差为其他值时，合振幅的值在两个分振动相差为其他值时，合振幅的值在21AA 21AA 与与之间之间4320.7 同一直

17、线上不同频率的简谐运动的合同一直线上不同频率的简谐运动的合成成（ Combination of Simple Harmonic Motion Along a Straight Line with different frequency） 在同一直线上的两个分简谐振动的频率不同，在同一直线上的两个分简谐振动的频率不同，初相位相同，两分振动的表达式分别为初相位相同，两分振动的表达式分别为)tcos(Ax)tcos(Ax2211 合振动的表达式为合振动的表达式为)tcos(A)tcos(Axxx2121 44由于由于 , ,故故 随时间作极其缓慢的周期变化。随时间作极其缓慢的周期变化。1212)(

18、) t2cos(A212 合振动可视为振幅为合振动可视为振幅为 ，角频率为角频率为 的谐振动。的谐振动。t2cosA212 )(22112 频率都较大但相差很小的两个同方向振动合频率都较大但相差很小的两个同方向振动合成时所产生的这种振动忽强忽弱的现象成时所产生的这种振动忽强忽弱的现象拍拍。)t2cos(t2cosA2)tcos(A)tcos(Axxx12122121 (20.50)45单位时间内振动加强或减弱的次数单位时间内振动加强或减弱的次数拍频拍频1xt2xtxt图图20.16 拍的形成拍的形成46拍频为两分振动频率之差拍频为两分振动频率之差拍现象的应用：拍现象的应用： 管乐器中的双簧管；

19、校准乐器管乐器中的双簧管；校准乐器( (使其和标准使其和标准音叉产生的拍音消失音叉产生的拍音消失) )；超外差式收音机中的变；超外差式收音机中的变频器；汽车速度监视器；地面卫星跟踪等。频器；汽车速度监视器；地面卫星跟踪等。12122212 拍拍(20.51）47 20.8 谐振分析谐振分析（ resonance analysis ） 20.17 频率比为频率比为1：2的两个简谐运动的合的两个简谐运动的合成成 两个在同一直线上不同频率的简谐运动的合两个在同一直线上不同频率的简谐运动的合成的结果仍是振动，但一般不再是简谐运动。成的结果仍是振动，但一般不再是简谐运动。 下面即频率为下面即频率为1：2

20、的两个简谐运动的合成的两个简谐运动的合成t2sinAtsinAxxx2121 48 两个以上，而且各分振动的频率都是其中一个两个以上，而且各分振动的频率都是其中一个最低频率最低频率的整数倍，则合振动仍是周期性的，其频的整数倍，则合振动仍是周期性的，其频率等于那个最低的频率。率等于那个最低的频率。 任何一个复杂的周期性振动都可以分解为一系任何一个复杂的周期性振动都可以分解为一系列简谐运动之和列简谐运动之和谐振分析谐振分析。 根据实际振动曲线的形状，或它的位移时间函根据实际振动曲线的形状，或它的位移时间函数关系，求出它所包含的各种简谐运动的频率和振数关系，求出它所包含的各种简谐运动的频率和振幅的数学方法幅的数学方法傅里叶分析傅里叶分析。49根据