同济六版上册高数总结(一些重要公式及知识点)

1、同济六版上册高数总结微分公式与积分公式(tgx)(ctgx)(secx)(cscx)(ax )sec2 x(arcsin x)1csc xsecx tgx cscx ctgxax ln a21x2(arccos x)11x2( arctgx )1(log1x21ax)1x ln a( arcctgx )1x2tgxdxln cosxccsecxdxln secxtgxcdxcos2 x dxsinxsec2 xdxtgxcctgxdxln sin x2csc xdx2ctgxccscxdxdxln cscxctgxcsecx tgxdxsecxca2xdx21acscx ctgxdxcscxc

2、arctgx2a2dxxaa a xxcx1 ln x 2ax1 ln aaxdxaccshxdxln achxca2x2dx2aacchxdxdxshxca2x2arcsin xacln( xx2a 2 )x2a222insinn xdxcosn xdxn1 i00nn 2x2a2 dxx2a2 dxx2x 2x2x2a2a 22ln( xx2a2 )cx2a2a2ln xx2a2ca 2x2 dxa2x22a2arcsin2xacc三角函数的有理式积分：sin x2u2 ， cos x1u 22 ，utg x，dx2 du21u1u21u两个重要极限：公式 1 limsin x1公式 2

3、lim (1x)1 / xex0xx0有关三角函数的常用公式和差角公式：和差化积公式：sin(cos()sincoscoscoscossinsinsinsinsin2sin2cos2tg()tg1tgtgtgsinsin2 cos2sin2ctg()ctg ctgctgctg1coscoscoscos2cos2sin22cossin22三倍角公式 :半角公式：sin(3 )=3sin-4sin3()sin( /2)±=(1- cos )/2cos(3 )=4cos3(-3c)os cos( /2)=±(1+cos )/2降幂公式 :万能公式：sin2( )=-(c1os(2

4、 )/2=versin(2 )/2 sin=2tan( /2)/1+tan2(/2) cos2( )=(1+cos(2 )/2=covers(2c)o/2s =1-tan2( /2)/1+tan2(/2) tan2( )=(-1cos(2 )/(1+cos(2 )tan =2tan( /2)-/ta1n2( /2)推导公式tan +cot =2/sin2 tan -cot =-2cot2 1+cos2 =2cos2 1-cos2 =2sin2 1+sin =(sin /2+cos /2)2正弦定理：余弦定理：a sin ac2a 2b sin bb 2c2 rsin c2ab cos c反三角

5、函数性质 ： arcsin xarccos x2arctgxarcctgx2(特别要注意这两个恒等式，证明的话，只需做出左边的函数的导数为0 即可）高阶导数公式莱布尼兹（ leibniz ）公式：(uv) ( n)nnc ku (nk 0k ) v(k )( n)uv( n 1)nuvn( n2!1)( n 2 )uvn(n1) nk k!1)(nuk )(k )v( n)uv中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b)f (a)f ( )(ba)柯西中值定理： f (b)f (a)f ( )f (b)f (a)f ( )当f( x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式

6、： ds1y 2 dx, 其中ytg平均曲率：k.: 从m 点到 ms点，切线斜率的倾角变化量；s： mm弧长。m 点的曲率： klimds 0sdsy(1y.2 ) 3直线： k0;半径为a的圆： k1 . a定积分的近似计算：bf ( x)a bba( y0ny1lyn 1 )f ( x)aba 1n2( y 0yn )y1lyn 1 定积分应用相关公式：功： wf s水压力： fp a引力： fk m1m2,k为引力系数r 2b函数的平均值：y1ba af ( x)dx均方根：1bba af 2 (t )dt微分方程的相关概念：一阶微分方程： yf (x, y)或p( x, y)dxq(

7、x, y)dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g( y)dyf (x)dx的形式，解法：g( y)dyf (x)dx得： g( y)f (x)c称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成 dydxf (x, y)( x, y)，即写成y的函数，解法： x设uy，则 dyxdxux du， ududxdx(u)， dxxdu (u)分离变量，积分后将uy 代替u， x即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程： dydxp(x) yq( x)当q( x)0时,为齐次方程， yp( x)dxce当q( x)0时，为非齐次方程，y( q(x)ep( x )dxdxc)ep

8、 ( x) dx2、贝努力方程： dydx全微分方程：p(x) yq (x) yn，(n0,1)，如果p(x, y) dxq( x, y) dy0中左端是某函数的全微分方程，即：du(x, y)p( x, y) dxq( x, y)dy0，其中： uxp( x, y)u yq( x, y)u( x, y)c应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：d 2 ydx 2p(x) dydxq( x) yf ( x)f ( x)，f ( x)0时为齐次0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) ypyqy0，其中 p, q为常数；求解步骤：1、写出特征方程： ()r 2prq0，其中 r 2， r的系数及常数项恰好是(*) 式中 y , y2、求出 ()式的两个根 r1 ,r23、根据 r1 ,r2的不同情况，按下表写 出(*) 式的通解：r ，r 的形式(*) 式的通解12两个不相等实根( p 24q0)yc er x11c er x22两个相等实根( p 24q0)y(cc x)er x112一对共轭复根( p 24q0