大学物理 第11章振动课件课件

1、12 机械振动：机械振动： 物体位置在某一值附近来回往复的变化物体位置在某一值附近来回往复的变化 广义振动：广义振动： 一个物理量在某一定值附近往复变化一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动形式称振动该物理量的运动形式称振动 物理量：物理量：iQHEr等等等等3共振共振( (简谐振动）简谐振动） 振动振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动振动的形式振动的形式:4重要的振动形式是重要的振动形式是 简谐振动简谐振动( (S.H.V.) ) simple harmonic

2、vibration物理上：物理上：一般运动是多个简谐振动的合成一般运动是多个简谐振动的合成数学上：数学上： 付氏级数付氏级数 付氏积分付氏积分也可以说也可以说 S.H.V.是振动的基本模型是振动的基本模型或说或说 振动的理论建立在振动的理论建立在S.H.V.的基础上的基础上注意：注意：以机械振动为例说明振动的一般性质以机械振动为例说明振动的一般性质5实际上，任何一个稍微偏离平衡状态的稳定实际上，任何一个稍微偏离平衡状态的稳定系统，都可看成简谐振子。对于物理学中的许系统，都可看成简谐振子。对于物理学中的许多问题，谐振子都可以作为一个近似的或相多问题，谐振子都可以作为一个近似的或相当精确的模型。当

3、精确的模型。 晶格点阵晶格点阵6第第11章章 振动振动 1 简谐振动的描述简谐振动的描述 2 简谐振动的能量简谐振动的能量 3简谐振动的合成简谐振动的合成 4 阻尼振动与阻尼受迫振动阻尼振动与阻尼受迫振动7一、一、简谐振动的简谐振动的方程方程表征了系统的能量表征了系统的能量位移位移xkm0 xxA振幅振幅最大位移最大位移由初始条件决定由初始条件决定tAxcos1.运动学表达式运动学表达式广义：广义：振动的物理量振动的物理量弹簧谐振子弹簧谐振子特征量：特征量：8位相位相 周相周相系统的周期性系统的周期性 固有的性质固有的性质称固有称固有频率频率圆频率圆频率t相位相位初相位初相位角频率角频率tAx

4、cos 取决于时间零点的选择取决于时间零点的选择初位相初位相频率频率T周期周期9简谐运动方程简谐运动方程)2cos()cos(tTAtAx 振幅振幅maxxAtx图图AA xT2Tto10)cos(tAx周期、频率周期、频率2T 周期周期)(cosTtAtx图图AA xT2Tto1121T 频率频率T22 圆频率圆频率 周期和频率仅与振动系统周期和频率仅与振动系统本身本身的的物理性质有关物理性质有关tx图图AA xT2Tto)cos(tAx)(cosTtA12 相位的意义相位的意义: 表征任意时刻（表征任意时刻（t）物体振）物体振动状态（相貌）动状态（相貌）. 物体经一周期的振动，物体经一周期

5、的振动，相位改变相位改变 .2t 相位相位)cos(tAx相位相位 (位相位相)tt)()(0tt时，初相位初相位1322020vxA00tanxv常数常数 和和 的确定的确定A000vv xxt初始条件初始条件)sin(tAv)cos(tAx 对给定振动对给定振动系统，周期由系系统，周期由系统本身性质决定，统本身性质决定，振幅和初相由初振幅和初相由初始条件决定始条件决定. .14注注B:B:t=0t=0时是开始计时的时刻，不一定是振动的开时是开始计时的时刻，不一定是振动的开始时刻，原则上可任取。所以初始条件是相始时刻，原则上可任取。所以初始条件是相对的。对同一谐振，对的。对同一谐振，不同不同

6、不同不同, ,00,vx,A决定决定1）根据）根据A 结合结合 的正负。的正负。0 x00 x00 x一象限三象限00 x00 x二象限四象限2)cos0Ax sin0AV由联立求解x是以平衡位置为坐标原点而言是以平衡位置为坐标原点而言15cos0A2 0, 0, 00vxt已知已知 求求讨论讨论xvo)2 cos(tAxtx图图AA xT2Tto0sin0Av0sin取取2162. 动力学方程动力学方程以弹簧谐振子为例以弹簧谐振子为例kmx0 xkx设弹簧原长为坐标原点设弹簧原长为坐标原点22txmkxdd022xmktxdd0222xtxdd由牛顿第二定律由牛顿第二定律令令mk2 简谐振动

7、简谐振动整理得整理得17FX O x X OX-x OFmaxvmaxvX OX Oa)b)c)d)e)平衡位置平衡位置F=00, vkxF弹性0, 0, 0maxvaF0, vkxF弹性0, 0, 0maxvaF18lTFP转转动动正正向向mglmglMsinsin5，时时动力学分析：动力学分析：lgt22ddOAm22ddtJmgl2mlJ 单摆单摆19)cos(mtlg2令令glT2222ddtlgt22ddlTFP转转动动正正向向OAm2mlJ 20例例 电磁震荡电路电磁震荡电路CLtiLCqddq0122qLCtqdd振动的物理量是振动的物理量是电量电量tLCQq1cos021cos

8、0tLCii电流也是谐振电流也是谐振物理量物理量0222xtxdd对比对比tqidd21例例 复摆（物理摆）的振动复摆（物理摆）的振动mg22sintJmgldd0sin22Jmglt dd对比谐振动方程知：对比谐振动方程知：但若做小幅度摆动但若做小幅度摆动 即当即当sincol由转动定律由转动定律022Jmglt dd得得动力学方程动力学方程0222xtxdd一般情况一般情况不是简谐振动不是简谐振动时时满足的方程：满足的方程：22Jmgl2Jmgl21mglJT2振动的物理量振动的物理量 tJmglmcos固有圆频率固有圆频率角位移角位移 振动表达式振动表达式0222xtxdd022Jmgl

9、t dd对比对比231）谐振动表达式）谐振动表达式0222xtxddtAxcos从对象的运动规律出发从对象的运动规律出发（电学规律电学规律 力学规律等）力学规律等）S.H.V.的标准形式的标准形式T小结小结2）动力学方程）动力学方程 S. H. V. 的判据的判据24二、二、 简谐振动的描述简谐振动的描述tAxcostAtxsindd2costAxtAta22cosddcos2tAa1.解析描述解析描述25均是作谐振动的物理量均是作谐振动的物理量频率相同频率相同振幅的关系振幅的关系Am2Aam相位差相位差超前超前 落后落后ax,tAxcos2costAcos2tAa262.曲线描述曲线描述To

10、xtAAaA2tAxcos2costAcos2tAa27t3.旋转矢量描述旋转矢量描述用匀速圆周运动用匀速圆周运动 几何地描述几何地描述 S H V规定规定xoAAA tAxcosx端点端点在在x轴上的投影式轴上的投影式逆时针转逆时针转以角速度以角速度)cos(tAxt28tAxcos1） 直观地表达振动状态直观地表达振动状态优点优点tx0Axt当振动系统确定了振幅以后当振动系统确定了振幅以后表述振动的关键就是表述振动的关键就是相位相位 即即表达式中的余弦函数的表达式中的余弦函数的综量综量)(t而旋转矢量图而旋转矢量图可可直观地显示该综量直观地显示该综量分析解析式分析解析式可知可知用图代替了文

11、字的叙述用图代替了文字的叙述29x如如 文字叙述说文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点时刻弹簧振子质点 在正的端点在正的端点Ax 0t旋矢与轴夹角为零旋矢与轴夹角为零123t 质点经二分之一振幅处质点经二分之一振幅处向负方向运动向负方向运动xoA意味意味A意味意味2Ax 030A质点过平衡位置向负方向运动质点过平衡位置向负方向运动32t43t5Axt同样同样432 0向负方向运动向负方向运动x12xoAA0 x 02Ax 00 x 02或或2Ax 0 xoxAAA6786780 向正向运动向正向运动32cos2coscos2tAatAtAxxaAAA2由图看出：速度超前位移由图看出：速度超前位移加

12、速度超前速度加速度超前速度2称两振动称两振动同相同相2） 方便地方便地比较振动步调比较振动步调位移与加速度位移与加速度称两振动称两振动反相反相0若若333）方便计算）方便计算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算例：质量为例：质量为m的质点和劲度系数为的质点和劲度系数为k的弹簧的弹簧 组成的弹簧谐振子组成的弹簧谐振子 t = 0时时 质点过平衡位置且向正方向运动质点过平衡位置且向正方向运动求：物体运动到负的二分之一振幅处时求：物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的所用的最短时间最短时间340ttt67mk67xo解：设解：设 t 时刻到达末态时刻到达末态由已知画出

13、由已知画出t = 0 时刻的旋矢图时刻的旋矢图再画出末态的旋矢图再画出末态的旋矢图由题意选蓝实线所示的位矢由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为设始末态位矢夹角为 因为因为得得繁复的三角函数的运算用匀速繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的圆周运动的一个一个运动关系求得运动关系求得35Ax2Atobaat3TTt61232AbtvAxAoA36例例已知已知 xt xt 曲线曲线, ,写出振动方程写出振动方程cmA2 解：解：32 ? 34 t34134 2 /34 /31cmtx)3234cos(2 同一振动对不同时刻的相差同一振动对不同时刻的相差tTtttttt2)()()()()(121

14、21237?例例: : 已知一谐振已知一谐振A=0.1mA=0.1m，T=1.2sT=1.2s，若，若t=0t=0时时质点位于质点位于x0=-0.05mx0=-0.05m处且正朝处且正朝(-x)(-x)方向运动，方向运动，求求 （1 1） (2)(2)达到平衡位置所需最短时间达到平衡位置所需最短时间解（解（1 1）画出旋转矢量图）画出旋转矢量图32,005. 000vx由由653223)(5 . 06522 . 1/2sTt(2)(2)x32AA038一质点沿一质点沿 x x 轴振动，振动方程轴振动，振动方程 X=4X=4 1010-2 -2 coscos（2 2 t + t + /3 /3）

15、cmcm，从，从 t=0 t=0 时刻起，到质点位置在时刻起，到质点位置在X= - 2cmX= - 2cm处且向处且向 x x 正方向运动的最短时间间隔为正方向运动的最短时间间隔为 112 T30 t根据题意根据题意1/ 2（s）0 t /3解：解：t395一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为特征量为 10m rad/s 例例一物体作简谐运动一物体作简谐运动, 其速度最大值其速度最大值vm=310-2 ms-1, 其振幅其振幅A210-2m若若t0时，物体位于平衡位置且向时，物体位于平衡位置且向

16、x轴的负方向运动求：轴的负方向运动求： (1) 振动周期振动周期T (2) 加速度的最大值加速度的最大值 (3) 振动方程的数值式振动方程的数值式6x(m)14710105OA340解：解：(1) ，周期周期 (2) (3) 当当x=0时，从振幅矢量图可知，时，从振幅矢量图可知， 初相初相 , 振动函数为振动函数为m2AATvm24.2sATv2222mm4.5 10m/saAAvxO0t 22m1.5 rad/sAv22 10cos(1.5) m2xt41例例一轻弹簧在一轻弹簧在60N的拉力下伸长的拉力下伸长30cm现把质量为现把质量为4Kg的物体悬挂在该弹簧的的物体悬挂在该弹簧的下端并使之

17、静止，再把物体向下拉下端并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后由静止释放并开始计时求：，然后由静止释放并开始计时求： (1) 物体的振动方程物体的振动方程 (2) 物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力时弹簧对物体的拉力 (3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短处所需要的最短时间时间 解：弹簧劲度系数解：弹簧劲度系数 静止时弹簧伸长量为静止时弹簧伸长量为 (1)设向下为正方向，则设向下为正方向，则 （若设向上为正方向，则（若设向上为正方向，则 ）；）； 振动函数为振动函数为2602.0 10 N

18、/m0.3Fkx024 9.80.196 m2.0 10mgxk00.1mA 7.07 rad/skm0.1cos(7.07 ) mxt42(2)物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方5cm（即（即0.05m），此时弹簧的净伸长为），此时弹簧的净伸长为 l=x0-0.05=0.196-0.05=0.146m 弹簧对物体的拉力弹簧对物体的拉力 F=kl=2000.146=29.2N(3) 5cm是振幅之半，物体从平衡位置到振幅之半所需最短时间是是振幅之半，物体从平衡位置到振幅之半所需最短时间是 例例如图，劲度系数为如图，劲度系数为k的弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为的弹簧一端固定在墙上，另一

19、端连接一质量为M的的容器，容器可在光滑水平面上运动当弹簧未变形时容器位于容器，容器可在光滑水平面上运动当弹簧未变形时容器位于O处，处，今使容器自今使容器自O点左侧点左侧l0处从静止开始运动，每经过处从静止开始运动，每经过O点一次时，从上点一次时，从上方滴管中滴入一质量为方滴管中滴入一质量为m的油滴，求：的油滴，求： (1) 容器中滴入容器中滴入n滴以后，容器运动到距滴以后，容器运动到距O点的最远距离；点的最远距离； (2) 容器滴入第容器滴入第(n+1)滴与第滴与第n滴的时间间隔滴的时间间隔Mxl0O43解：解：(1) 容器中每滴入一油滴的前后，水平方向动量值不变，而且在容器容器中每滴入一油滴

20、的前后，水平方向动量值不变，而且在容器回到回到O点滴入下一油滴前，点滴入下一油滴前， 水平方向动量的大小与刚滴入上一油滴后水平方向动量的大小与刚滴入上一油滴后的瞬间后的相同。依此，设容器第一次过的瞬间后的相同。依此，设容器第一次过O点油滴滴入前的速度为点油滴滴入前的速度为v，刚滴入第个油滴后的速度刚滴入第个油滴后的速度 为为v,则有则有 系统机械能守恒系统机械能守恒 由由、解出、解出 (2) 时间间隔时间间隔( tn+1-tn )应等于第应等于第n滴油滴入容器后振动系统周期滴油滴入容器后振动系统周期Tn的一的一半半 vv)(nmMM2202121vMkl22)(2121vnmMkx0)/(ln

21、mMMxknmMTtttnnnn/ )(211442 简谐振动的能量简谐振动的能量 如如 弹簧谐振子弹簧谐振子kmx0 x系统机械能守恒系统机械能守恒以弹簧原长为势能零点以弹簧原长为势能零点ckxm22212145（1） 动能动能( (以弹簧振子为例以弹簧振子为例) ) O x Xmk2m)(sin21)sin(212122222ktAmtAmmEv46（2） 势能势能 线性回线性回复力是复力是保守保守力力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒. .O x Xm)(cos2121222ptkAkxE（3） 机械能机械能222pk2121kAAmEEE47简简 谐谐 运运 动动

22、 能能 量量 图图tkAE22pcos21tAmE222ksin214T2T43T能量能量otTtx tvv, xtoTtAxcostAsinv221kAE 048简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守简谐运动能量守恒，振幅不变恒，振幅不变kEpEx221kAE AApExOEBC49能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程推导推导常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx50例例 劲度系数为劲度系数为k的轻弹簧挂在质量为的轻弹簧挂在质量为m半径为半径为R的匀质圆柱体的对称轴上的匀质圆柱体的对称轴上使之作无滑动的滚动使之作无

23、滑动的滚动证明：圆柱体的质心作谐振动证明：圆柱体的质心作谐振动 并求出谐振动的角频率并求出谐振动的角频率k 水平面水平面c有时由谐振动能量求谐振动的特征量会更方便有时由谐振动能量求谐振动的特征量会更方便51const.212121222cccJmkx弹簧原长处为坐标原点弹簧原长处为坐标原点设原点处为势能零点设原点处为势能零点质心在质心在xc时系统的机械能为时系统的机械能为k 水平面水平面c解：分析振动系统机械能守恒解：分析振动系统机械能守恒 建坐标如图建坐标如图xo（注意上式中的（注意上式中的 是刚体转动的角速度）是刚体转动的角速度）52.const212121222cccJmkx221mRJ

24、cRccmkxcc224321两边对两边对t求导数求导数得得03222ccxmktxdd将将代入上式代入上式得得53与动力学方程比较知与动力学方程比较知 物理量物理量xc的的 运动形式是谐振动运动形式是谐振动mk32kmT232方便方便03222ccxmktxdd圆频率圆频率周期周期54o5 10 例例 解：圆频率解：圆频率sradmk/2 根据功能关系，弹簧振子的振幅根据功能关系，弹簧振子的振幅A满足：满足：221kAFx mkFxA204.02 设向右为正方向，则设向右为正方向，则 = )2cos(204. 0 tx55 62、=3解解：由由 振振动动能能量量由由振振幅幅矢矢量量图图可可知

25、知振振动动方方程程mMmm22mmmFF= Kxk = 2 N/mx11E =kA =kx=22v V = A0.16Jx = 0.4cos 2t+= 2rad/mAA3= 0.4 mm1 1563 简谐振动的合成简谐振动的合成一、两个振动方向相同一、两个振动方向相同 S.H.V.的合成的合成二、二、N个振动方向相同个振动方向相同 S.H.V.的合成的合成三、三、 拍拍四、四、 两个垂直方向谐振动的合成两个垂直方向谐振动的合成五、谐振分析五、谐振分析57 当一个物体同时参与几个谐振动时当一个物体同时参与几个谐振动时 就需考虑振动的合成问题就需考虑振动的合成问题 本节只讨论满足线性叠加的情况本节

26、只讨论满足线性叠加的情况 本节所讨论的本节所讨论的同频率同频率的谐振动合成结果的谐振动合成结果 是波的是波的干涉和偏振光干涉干涉和偏振光干涉的重要基础的重要基础 本节所讨论的本节所讨论的不同频率不同频率的谐振动合成结果的谐振动合成结果 可以给出重要的可以给出重要的实际实际应用应用58 一一 两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成 设一质点同时参与设一质点同时参与两独立的同方向、同频两独立的同方向、同频率的简谐振动：率的简谐振动：11A1xxO2x2A2)cos(111tAx)cos(222tAx两振动的位相差两振动的位相差 =常数常数12干涉的理论基础）干涉的理论基础）5

27、9 两个两个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成后仍为后仍为同同频率的频率的简谐简谐运动运动)cos(212212221AAAAA)cos(tAx11A1xxOAx21xxx2x2A222112211coscossinsintanAAAA60cos2212221AAAAA 若若021AAA21AAA反相反相 合振动合振动减弱减弱同相同相 合振动合振动加强加强特殊结果：特殊结果： 若若21AA 若若两振动同相两振动同相两振动反相两振动反相12AA 0A可能的最强振动可能的最强振动“振动加振动振动加振动”不振不振动动61两个同方向简谐振动的振动方程分别为：两个同方向简谐振动的振动方程分

28、别为： 求合振动方程求合振动方程2135 10cos(10)(SI)4xt2216 10cos(10)(SI)4xt221212222022cos3156256cos()10445sin(3/4)6sin(/4)84.81.485cos(3/4)6cos(/4)7.81 10cos(101.48)()AAAA AmarctgradxtSI 解解：依依合合振振动动的的振振幅幅及及初初相相公公式式可可得得则则所所求求的的合合振振动动方方程程为为62二、二、 振动方向相同振动方向相同 振动频率相同振动频率相同 振幅相同振幅相同 相邻相位差相同相邻相位差相同 的的N个个SHV的合成的合成 taxcos

29、1)cos(2tax)2cos(3tax) 1(cosNtaxN63xaARN2sin2aR 2sin2RA2sin2sinNaNxxxxx321线性相加线性相加用旋矢法求解用旋矢法求解由图得由图得64xaR2sin2sinNaA 一般情况一般情况特例特例1）2k, 2, 1, 0kaNaA aa主极大主极大A2）2kNNk , 0的倍数的整数的倍数的整数0A极小极小653）) 12(kN, 2, 1, 0kRA2次极大次极大（多光束干涉的理论基础）（多光束干涉的理论基础）特例特例1）2k, 2, 1, 0kaNaA aa主极大主极大A2）2kNNk , 0的倍数的整数的倍数的整数0A极小极小

30、66三、三、 振动方向相同振动方向相同 频率略有差别的频率略有差别的 振幅相等的振幅相等的 两个两个SHV的合成的合成 拍拍分振动：分振动：tAxtAx202101coscos21线性相加：线性相加：ttAxxx2cos2cos22121021结论：结论： 合成已不再是谐振动合成已不再是谐振动 但考虑到但考虑到 1 2 可以用可以用 谐振动表达式等效谐振动表达式等效 加深认识加深认识67ttAxxx2cos2cos22121021分析：分析：2121221则则tA2cos2210较较t2cos21随时间变化缓慢随时间变化缓慢将合成式写成谐振动形式将合成式写成谐振动形式ttAxcos)(tAtA

31、2cos2)(210689tx1 2tx2 1 = 1- 2 tx合振动可看做是振幅缓变的谐振动合振动可看做是振幅缓变的谐振动合成振动如图示合成振动如图示表达式为表达式为ttAx2cos2cos22121069| 21vvv拍 拍拍 合振动的周期性的强弱变化叫做合振动的周期性的强弱变化叫做拍拍 拍频拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频测未知频率的一种方法测未知频率的一种方法tAtA2cos2)(210由式由式得得22221170四、两个垂直方向谐振动的合成四、两个垂直方向谐振动的合成1. 同频率的谐振动合成同频率的谐振动合成21)cos()cos(

32、2211tAytAx线性相加：线性相加：)cos()cos(2211tAtAyx即即 合成的一般结果是椭圆合成的一般结果是椭圆)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx7112 不同不同 椭圆形状、旋向也不同椭圆形状、旋向也不同 = = 3 /2 = 5 /4 = 7 /4 = /2 = /4PQ = 0yx = 3 /4（-3 /4）（- /2）（- /4）72 2.频率比是简单的正整数频率比是简单的正整数nmnm,21， 合成轨迹为合成轨迹为稳定的闭合曲线稳定的闭合曲线李萨如图李萨如图 yxA1A20-A2- A1达到最大的次数达到最大的次数达到最大的次数达到最大的次

33、数yxyxyx 例如左图：例如左图：23 yx 应用：应用：测定未知频率测定未知频率73五、谐振分析五、谐振分析 利用付里叶分解利用付里叶分解 可将任意振动分解成若干可将任意振动分解成若干SHV的叠加的叠加(合成的逆运算）合成的逆运算） 对周期性振动：对周期性振动：) cos(2)(10kkktkAatxT2= T 周期周期k = 1 基频基频（ ） k = 2 二次谐频二次谐频（2 ） k = 3 三次谐频三次谐频（3 ）决定决定音调音调决定决定音色音色高次高次谐频谐频74 x1t0 x3t0 x5t00ta0Tx0 +x1+x3+x5t0Tx2n = 0 , n = 1 , 2 , 3 ,

34、 方波：方波：ta0 / 20 x0 思考：思考：有时有时赞誉一歌唱赞誉一歌唱家家：声音洪：声音洪亮亮 音域宽广音域宽广音色甜美音色甜美 这这各指什么物各指什么物理因素理因素? 754 阻尼振动与阻尼受迫振动阻尼振动与阻尼受迫振动 一、一、 阻尼振动阻尼振动 二、受迫振动二、受迫振动 三、共振三、共振 76一、一、 阻尼振动阻尼振动 1.阻尼振动阻尼振动 系统在振动过程中系统在振动过程中 受到粘性阻力作用后受到粘性阻力作用后 能量将随时间逐渐衰减能量将随时间逐渐衰减 系统受的粘性阻力与速率成正比系统受的粘性阻力与速率成正比 比例系数比例系数 叫阻力系数叫阻力系数 关系式为关系式为: f77kmxox弹性F阻力f22txmtxkxdddd022txmxmktxddddm2令令称阻尼因子称阻尼因子mk20系统固有频率系统固有频率2.阻尼振动的动力学方程阻尼振动的动力学方程由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有整理得整理得式中式中78022