大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第七章不等式及推理与证明题组36含解析

1、1题组层级快练（三十六）1. （2016 衡水调研卷）两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()123窗67过8窗口1112道13口B.62, 63D. 84, 855 除余 1 的数和能被 5 整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座4 组座位号知，只有 D 项符合条件.2如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1 个图形用了 3 根火柴，第 2 个图形用了 9根火柴，第 3 个图形用了 18 根火柴，则第 2 016 个图形用的火柴根数为（）解析 由题意，第 1 个图形需要火柴的根数为3X1；第 2 个图形需要火

2、柴的根数为3X（1 + 2）;第 3 个图形需要火柴的根数为3X（1 + 2+ 3）;由此，可以推出，第n 个图形需要火柴的根数为3X(1 + 2+ 3+- + n).2 016X (1+2 016)所以第 2 016 个图形所需火柴的根数为3X(1 + 2 + 3+ - + 2 016)= 3X= 3 024X2 017,故选 D.3.已知 a1= 3, a2= 6,且 an+2=為+1 an,贝 V a2 016=()A . 3B. 3C.6A.48，49C. 75, 76答案 D解析 由已知图中座位的排序规律可知，被位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的A.2 014X2 017C.2

3、015X2 017答案 D2 015X2 016D.3 024X20172答案 B解析 /ai= 3, a2= 6,a3= 3, a4= 3, a5= 6, a6= 3, a?= 3,，an是以 6 为周期的周期数列. 又2 016= 6 X 335 + 6 ,a2 016= a6= 3.选 B.4.定义一种运算“ *：对于自然数 n 满足以下运算性质：11*1 = 1,(n+ 1)*1 = n*1 + 1,贝Un*1 等于()A. nB. n + 1C. n 1答案 AD. n2解析 由(n + 1)*1 = n*1 + 1,得 n*1 = (n 1)*1 + 1 = (n 2)*1 + 2

4、=- = 1*1 + (n 1).又/ 1*1 = 1,二 n*1 =n.5.给出下面类比推理命题(其中 Q Q 为有理数集，R R 为实数集，C C 为复数集)1“若 a,b R R，则 a b= 0? a= b” 类比推出“若 a, b C C,贝 U a b = 0? a= b”.2“若 a,b R R，贝 U a b0? ab” 类比推出“若 a, b C C ,贝 U a b0? ab”.3“若 a,b, c, d R R，则复数 a+ bi = c+ di? a= c, b= d” 类比推出“若 a, b, c, d Q Q,贝 Ua+ b 2= c+ d 2? a= c, b =

5、 d”.其中类比得到的结论正确的个数是()A. 0B. 1C. 2答案 CD. 3解析提示：正确.6. （2016 济宁模拟）在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,14,推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC 的内切球体积为 V1，外接球体积为 V2，则乎=V2( )1 代 81B.1C.6464答案 D1D.27解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1 : 3,故体积之比为占=.V2277.已知 x(0,+s)，观察下列各式：14x,x,427 x , x , x , 27x+一2, x+-2=3, x +r = ;+ ;+：+-

6、34,xx22x x 33 3 x 类比有 x +n + 1(n N N*),贝Ua=()x3)观察一列算式；1?1, 1?2, 2?1, 1?3, 2?2, 3?1, 1?4, 2?3, 3?2, 4?1,A. nC. n2答案 DB. 2nnD. n解析 第一个式子是 n = 1 的情况，此时 a= 1,第二个式子是 n= 2 的情况，此时 a=4,第三个式子是 n= 3的情况，此时 a= 33,归纳可以知道 a= nn.1&已知 an=（3）n，把数列an的各项排成如下的三角形:记 A(s ,a1a2a3a4a5a6a738a912)=()1111C. (3)(扩2答案解析该三角

7、形所对应元素的个数为1, 3,5, -那么第 10 行的最后一个数为a100,第 11 行的第12 个数为 an2，即 A(11 , 12) = (3)112.9.已知函数xexef(x) = e+，且数列an满足 f(lnan)=an+1,a1=寸，则a2 015=()1 A-A.2 0151C-2 017解析解法一：由f(lnan) = an+1,得 =an+1,an+ 1即丄an+ 11an=1所以1是以=4 为首项，1 为公差的等差数列,1所以一=4+ 1x(n 1) = n + 3，所以 an= an，从而 a2 015=n + 31血，故选 D.解法二:由 f(lnan)= an+

8、1,得1an,14_=an+1,由 a1=,得 a2=彳an+141+1411_5_5a3=占511&，所以可归纳an=,从而 a2 015=1贡，故选D.10. （2016 西安八校联考t）表示第 s 行的第 t 个数，则 A（11 ,B.（护4则式子 3?5 是第（）A. 22 项C. 24 项答案 CB. 23 项D. 25 项解析两数和为 2 的有 1 个，和为 3 的有 2 个，和为 4 的有 3 个，和为 5 的有 4 个，和为 6 的有 5 个，和为 7 的有 6 个，前面共有 21 个，3?5 为和为 8 的第 3 项，所以为第 24 项.故选 C.11.（2015 陕

9、西文）观察下列等式:111111111-2 + 3 - 4+ 5-6=4+5+ 6据此规律，第 n 个等式可为答案 1 _ 1+1_ 4 +亠 _ 右=丄+丄 + 22 3 4 2n_ 1 2nn+1 n + 22n解析 观察等式知：第 n 个等式的左边有 2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1,分母是1 到 2n 的连续正整数，等式的右边是1 11- +- + +. n+ 1 n + 2-2n111 1故答案为1_ 1+1 _；+ 1 2n1 1 1 1+ +；- n + 1 n + 22n12.设等差数列an的前 n 项和为 Sn,则 S4, S8 S4, S12_ S8,

10、S16 S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前 n 项积为 Tn,则 T4,严成等比数列.T12解析 对于等比数列，通过类比，在等比数列bn中前 n 项积为 Tn,贝 y T4= b1b2b3b4, T8= db2b8, T12=T8b1b2b12, T16= Sb2b16，因此匚=b5b6b7b8,I4T121T16T8 T12T 迪砧八=b9b1obnb12,= b13b14b15b16,而 T4, 的公T8T12丨4丨8I12比为 q16，因此 T4, ，严，严成等比数列.I4I8I1213.设数列an是以 d 为公差的等差数列，数列 式输入“ LHQ 型类比器”左端的入口处

11、，经过“bn是以 q 为公比的等比数列.将数列 an的相关量或关系LHQ 型类比器”后从右端的出口处输出数列bn 的相关量或关系式，则在右侧的“？”处应该是=456答案 Bn= biX( q)1解析 注意类比的对应关系：+TX开方，XT乘方，OT1,所以 Bn= biX( q)n-1.1卢沟廿+务-如0-卫亍叫+乎侃-K可推测 a, t 的值，则 a+1 =4 _15=(a, t 均为正实数),类比以上等式,=47答案 41=35, a+ t= 41.15. (2016 山东日照阶段训练)二维空间中圆的一维测度(周长)1= 2nr,二维测度(面积)S=nr2,观察发现 S=I;三维空间中球的二

12、维测度俵面积)S= 4nr2,三维测度(体积)V = 3nr3,观察发现 V = S.已知四维空3间中“超球”的三维测度 V = 8nr3,猜想其四维测度 W =_答案 2nr4解析据归纳猜想可知(2nr4)=nr3,所以四维测度 W = 2n416某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：1sin213+COS217sin13 cos17;2sin 15+ cos 15 sin15 cos15;3sin218+COS212sin18 cos12;4sin2( 18 ) +COS248sin( 18 )cos48;5sin2( 25 ) +COS255sin( 25 )c

13、os55 .(1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.3223答案(1)4 (2)sina +cos (30 a sinacos(30 a=4解析 方法一：(1)选择式，计算如下：2 2sin 15 +JOS15-si n15cos15223二角恒等式为 sina+cos (30-a)-sin %cos(30a尹 4.证明如下：2 2sina+cos (30 -a)sinacos(30a)=sin2a+(cos30cosa+sin30 sina)2sin a(cos30cosa+sin30sin a).2

14、32羽.1.23 .1.2=sina+jcosa+2 Sin ocCOSa+jSina2 sin acosa2s ina32323=Tsina+cosa=：.444=1 2Sin30解析根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为，所以当 n = 6 时，a= 6, t8方法二：(1)同解法一.(2)三角恒等式为223sina+cos (30 a )sinacos(30a =4.证明如下:2 2sina+cos (30F)sinacos(30a1cos2a1+cos(60-2a)-2-+sina(cos30cosasin30osin a)11113122cos2a+2+2(cos60 cos2a+

15、sin60 sin2a sinacos asin11113312-2cos2a+2+4cos2a+毗aTsi n2a4(1cos2a11 13=14cos2a4+4cos2a=4.1.观察下图中图形的规律， 在其右下角的空格内画上合适的图形为()1 1 OOOOA-l IB-A匚1I O答案 A解析 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他 两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形.92. (2014 陕西理)观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812

16、猜想一般凸多面体中F, V , E 所满足的等式是 _答案F+ V E = 2解析 三棱柱中 5 + 6 9= 2;五棱锥中 6+ 6 10= 2;立方体中 6+ 8 12 = 2,由此归纳可得 F+ V E = 2.3. (2016 山东日照模拟)在平面几何中有如下结论：若正三角形 ABC 的内切圆面积为 Si,外接圆面积为 S2,QA则g=1推广到空间几何体中可以得到类似结论:则由 4x*Sr = *Sh，得 r=#a.並 a由相似三角形的性质可得R=46a,所以 Vl=(R)3= (#)3= :.24a4.将侧棱相互垂直的三棱锥称为直角三棱锥，它的侧面和底面分别叫直角三棱锥的直角面和斜面

17、”过三棱锥的顶点及斜面任两边上的中点的截面均称为斜面的“中面”.直角三角形具有性质：“斜边的中线长等斜边边长的一半”，仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：_ .答案 在直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一.解析 在直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一.如图所示，在直角三棱锥 A BCD 中，AB 1AC , AC _LAD , AD 1AB , E, F 分别是棱 BC , CD 的中点，则有 AE =参，AF =, EF=轨，籌=鴛=梟2，2，2 BC CD BDSAEF11若正四面体 ABCD 的内切球体积为V1,外接球体积为 V2,答案127解析设正四面体 ABCD 的棱长为 a,高为 h,四个面的面积均为S,内切球半径为r，外接球半径为 R,10EFsQBD=-,即SzAEF=；SZCBD，即在直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分S/CBD44之一.5