谈相似三角形解题技巧与口诀

1、1 相似三角形解题技巧及口诀 常见相似类型: 【双垂直结论，即直角三角形射影定理】： 【1】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; 【2】 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 （1） AC3A CD4AD:CD=CD:BECD2=AD?BD ACSA ABOAC:AB=AD:AOAC2=AD?AB （3） CDBA ABC BC:AC=BD:BC BC2=BD?AB 结论：十得 AC2:BC2=AD:BD 结论：面积法得 AB?CD=ACB3 比例式 【证明等积式（比例式）策略】： 1、 直接法：找同一三角形两条边 变化：等号同侧两边同一三角形， 三点

2、定形法 2、 间接法： 对线段比例式或等积式的证明： 常用等线段替换法、中间比过渡法、面积法等若比例式或等 积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移” （必要时需添辅助线），使其分别构成 两个相似三角形来证明. 3 种代换 等线段代换； 等比代换； 等积代换； 创造条件 添加平行线一一创造“ A”字型、“ 8 ”字型 先证其它三角形相似一一创造边、角条件 相似判定条件：两边成比且夹角等、两角对应相等、三边对对应成比 【口诀】：遇等积，改等比，横看竖看找相似； 不相似，莫生气：等线等比来代替; 平行线，转比例，等线等比来代替; 厶 ABC 中，AB=AC DEF 是等边三角形, 求证：B

3、D?CN=BMCE 证明： ABC 中，AB=AC / B=Z C. / DEF 是等边三角形，/ FDE=/ FED. MDBM AEC 条件ZA-D ?遇等积，改等比，横看竖看找相似 条条件AEDE 条件AE是RtABC 舸浚上的稿 A 字形，斜 A 字形，8 字形、斜 8 字形（或称 X 型），双垂直（母子型），旋转形 2 BD BM BDMh CEN - 即 BD?CN=BMCE CE CN3 反馈： 如图， ABC 是等边三角形， D E 在 BC 所在的直线上，且 AB?AC=BDCE 求证： ABDA ECA 证明： ABC 是等边三角形（已知）， AZ ABC=/ ACB-60

4、 （等边三角形的三内角相等，都等于 60), / / AZ ABD-ZACE（等角的补角相等）， D B C E AB CE 又 AB?AC-BDCE(已知)，即 BD AC ABMA ECA （两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似） 4 Rt ABC 中，/ BAC=90 , AD 丄 BC 于 D, E 为 AC 的 中点，求证：AB?AF=A（?DF 分析：比例式左边 AB, AC 在厶 ABC 中，右边 DF、AF 在 ADF 中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间 比进行代换。通过证明两对三角形相似证得结论。 AB BD 证厶 ABC DBA AB BD AC AD 梯形 AB

5、CD 中, AD/BC, 作 BE/CD,求证: 证明： AD/ BC, A OC OA=OB OD 又 BE/ CD A OE OC=OB OD A OC OA=OE OC OC2=OA- OEAB AC 于 M N 两点。 求证：BP?PC-BMCN 证明：连接 PM PN MN 垂直平分 AP, A AM-MP AN-PN 又 MN 为公共边， AMN PMN( SSS , AZ MPNZ BAC-60 , TZ BPM+Z CPN-120，/ BPM+Z / BMP-120 , AZ BMPZ CPN E ? BP BM 由Z B-Z C-60O,A MPBA PNC - - 即 BP

6、?PC-BMNC NC PC AC D 为 AB 上一点，E 为 AC 上一点，AD=AE 直线 DE 和 BC 的延长线交于点 P,求证：BP:CP=BD:CE. 证明：过点 C 作 CF/ AB 交 PD 于 F / AD= AE / ADE=z AED / CF/ AB / CFE=z ADE / CEF=Z AED CFE=Z CEF CE= CF 如图，在 ABC 中，M 是 AC 的中点，P, Q 为边 BC 的三等分点.若 BM 戸工中曰 cl 2BF BF 司理可得: BE= - , BM= - ; 5 2 BF EM=BM-BE= 10 3BF DE=BE-BD= 20 1

7、BF : FG: GE=: 4 20 1 = 5 : 3 : 2 10 ?彼相似，我条件，创造边角再相似 如图，AE* *AE=AD*AB,且/ ABE=/ C,试说明 BC0A EBD. 证明：因为 AE*AE=AD*AB 所以： AEMA ABE 所以:/ ADE/ AEB; 所以:/ BDE/ CEB 所以： BC0A EBD. 已知 ABD s ACE，求证： ABC s ADE D证明：/ ABD ACE / BAD=/ CAE AB AD AC AE / BAD+/ BAE=Z CAE+Z BAE 即/ BAC=/ DAE 担些 AD AE ABCS ADE C 已知，如图， DABC 内一点连接 BD AD,以 BC 为边在 ABC 外作/ CBE2 ABD 7 D E 分别在 ABC 的 AC AB 边上，且 AE?AB=ADAC, BD CE 交于点 O. 求证： BO0A COD. 又 CF/ AB PdA PBD BP/CP= BD/CF B