第二章_大气运动基本方程组_图文

1、数值天气预报第二章大气运动基本方程组兰州大学大气科学学院数值天气预报数值天气预报：在给定的初始条件和边界条件下，数值求解大气运动基本方程组，有已知的初始时刻的大气状态预报未来时刻的大气状态。构建数值天气预报的方程组要根据大气运动所遵循的基本物理规律给出相应的数学表达式，并进行必要的相应简化。大气运动遵循牛顿第二定律、质量守恒定律、热力学能量守恒定律、气体实验定律和水汽守恒定律，它们的数学表达式分别称为动量方程、连续方程、热力学方程、状态方程和水汽方程等。此外在实际的数值预报和模拟中还可以针对实际的问题，给出其他相应的预报方程，比如污染物方程，各种水质方程等。 前面给出的大气动量方程是以矢量的形

2、式给出的，在实际的数值预报过程中，需要把这种矢量形式的方程展开成相应的标量形式的方程组。在实际的气象学研究和数值模拟及预报中，物理量个别变化首先是以Largrange形式表示的，这样的表示主要是针对气体微团来进行的。然而在实际的应用中并不方便，主要是由于通常我们对于大气中各种物理量的观测是固定在观测点上的，并不是针对气体微团来进行的，因此需要把各种预报方程在相应的坐标系中展开。与通常采用笛卡尔坐标系的方法不同，在大气科学中，通常采用球坐标系、柱坐标系以及局地直角坐标系等曲面正交坐标系来进行理论研究和进行数值天气预报。球坐标系中的基本方程组实际地球是一个椭球体，其半径在赤道和极地相差22公里。这

3、个差值比地球半径小得多，因而气象上一般都把地球当作球体，其平均半径为6371公里。设表示经度，为纬度，r 是以地心为原点的质点位置向量。由直接坐标转换或借助于普遍的正交曲线坐标都可以推导出球坐标中标量形式的运动方程和连续方程:球坐标系中的大气方程组球坐标系：大气是围绕地球运动通常采用球坐标作为坐标系。( , , r 分别是在球面上点P 的经度、纬度和地心指向P 点的长度，相对应的单位矢量分别为与纬圈相切指向东、与经圈相切指向北以及和地表面相垂直指向天顶。需要注意的是：这三个单位矢量随着在地球面上的位置不同而方向不同。利用球坐标描述大气运动最为适宜，但运动方程和连续方程比较复杂。因此出了研究全球

4、范围的大气运动采用球坐标外，一般多采用局地直角坐标系。 局地直角坐标系对短期预报，在不太大的水平范围(例如1、2千公里 内，可以略去地球此率的影响。令a cos d =dx , ad =dy这相当于采用了一个新的坐标系，它的原点在观测点，x 轴自该点指向正东，y 轴指向正北，z 轴指向天顶(垂直向上 。在这种定义下，显然对不同的观测点，坐标轴的方向是不同的。这种坐标称为局地直角坐标系或简称局地直角坐标系。局地直角坐标中，运动方程和连续方程的形式为: 地图投影在进行天气分析或数值天气项报时，需要用天气图来填绘观测到的或计算出来的气象资料，推导大气运动方程组时，水平方向上经常采用直角坐标(x，y,

5、 如果用差分方法求数值解，一般取正方形网格；这些都要求把地球这一球面上的气象要素表示在一个平面上。因此我们要研究怎样将球面投影在平面上、这种投影的性质、投影图上大气运动方程组的形式以及如何计算地图投影放大系数等。一、基本概念地图投影就是假设将地球表面投影到一个简单的曲面上，如平面、圆锥面或圆柱面上，这种曲面称为投影面或映象面。将曲面沿某一经线展成平面，称为映象平面。投影面上的图形(即投映面在几何形状、长度、面积等方面与实际球面上的相应图形不可能全都一致。距离保持不变的投影称为等距投影。两条交线之间的夹角保持不变的投影叫做正形投影或保角投影。 普遍曲线正交坐标系中的方程组地球自转角速度在X ，Y

6、 和Z 方向的分量分别为：如下为曲线坐标系中的方程组：数值模式的初值条件和边值条件前面给出的是数值天气预报的一般方程，对某个特定时间的预报而言还需要给出定解条件。（1）初值条件：初始时刻气象要素的空间分布v =v 0+at 要确定质点运动任意时可的速度，必须知道v 0 其中=(u,v,w,p,T,q 等模式需要预报的气象要素。如何确定初始条件，将在第四章、 第八章中详细介绍。 边值条件：上下边界、内边界、侧边界(3 水平（侧）边界条件：对于中尺度或者区域模式，由于模式是建立在一个大气中有限的区域内，因此，在模式的水平边界处，需要有边界条件。详细内容在第四章介绍。(4 内边界条件：大气内部经常会

7、出现气象要素的过渡带或者不连续面，例如锋面和逆温层、海洋和大气的界面等，在这种情况下有关气象要素的梯度是不连续的，此时运动方程和连续方程都会失去意义，这时一般把这种不连续面看成大气的内边界。前面我们给出了进行数值预报的闭合方程组及其相应的初、边值条件。从理论上来说，就可以采用数值的方法进行求解。然而，在实际的大气数值模拟（预报）制作过程中还需要考虑到很多实际的问题，比如在Z 坐标系中，如何获得各个等高面的气象资料？等高面和地形相交后出现的侧边界问题如何处理？在局地直角坐标系中，如何保证球面的距离与局地直角坐标系中的距离更加接近，变形更少？在实际的数值求解中如何保证它稳定有效的数值积分？等等问题

8、必须在构建数值模式的时候进行很好的处理。大气模式的垂直坐标变换一方面，由于模式需要上下边界；另一方面，不同的模式物理过程需要在不同垂直坐标下描述。因此，不同坐标系之间经常需要相互转换。其中，一个主要的转换是垂直坐标的转换。垂直坐标变换主要是对局地直角坐标系的方程组进行相应的展开处理。由于局地直角坐标系中的方程是利用几何高度Z 作为垂直坐标的，因此，对于各种气象场的分析只能在等高面上来进行，因此它的适用性并不高。一般的数学变换是纯粹的几何变换，并不涉及物理内容。由于在大气科学中选取气象要素作为垂直坐标，因此这种变换不仅应该满足数学上的一些要求，也应该满足物理上的要求。 坐标系中的方程组静力方程

9、水平运动方程利用静力方程，气压梯度力可以改写成：上式表明坐标系中的水平气压梯度力是由两项组成的，在地形陡峭的地区， 两项的近似计算为：这两项的数值都很大，但其符号相反，因此在地形陡峭的地区，坐标系中的水平气压梯度力是两个大值的小差，难于精确计算。这说明，采用坐标系中使得模式的下边界变得非常简单，但它并没有解决处理地形问题存在的困难，而是把P 坐标系中下边界难于处理的问题转化为水平气压梯度力的精确计算问题。在实际的数值预报中，可以采用静力扣除法或者先在等压面上计算气压梯度力，然后在把它插值到等面上去等方法来处理。 坐标系中的方程组连续方程这个连续方程不再是一个诊断方程，它与P 坐标系的连续方程相

10、比变得更为复杂。但在实际的数值模式设计中，它却是一个非常有用的方程，不仅可以预报地面的气压倾向，也可以用来诊断各个等面上的垂直速度。垂直速度方程 热力学方程状态方程在实际的数值模拟实践中，还需要把预报方程改写成相应通量形式的方程，这种通量形式的方程易于构造守恒的差分格式，也便于讨论大气中的能量转换关系。坐标系中通量形式的方程通过利用连续方程和动量方程、热量方程、水汽方程，很容易得到。坐标系的下边界条件非常简单，也便于讨论地形对大气运动的影响。但是，前面提到，坐标系中的水平运动方程变得相对比较复杂，在地形陡峭的地区，气压梯度力很难精确计算。随着数值天气预报理论研究的进展和技术的进步，这个问题逐步

11、得到改善。尽管坐标系存在一些问题，但它仍然是数值天气预报常用的一种坐标系，为其他追随地形坐标系的建立，提供了非常重要的指导作用。气候模式方程组数值模式在短期天气预报中取得了显著的进展。开始尝试建立适合于长期数值积分的模式用于气候预测和试验。由于气候系统具有向外源适应的特征，一些在天气尺度模式（中尺度模式）中显得不重要，时间尺度较长的物理过程则必须在气候模式中描述。因此，气候模式需要对气候系统各个子系统中的物理过程进行描述的同时，也要考虑它们之间复杂的相互作用，因此气候模式较短期和中期天气预报模式而言，需要考虑更多的因子。目前的气候模式主要包含了大气、海洋这两个流体系统，并考虑了陆面等过程。早期

12、的气候模式称为大气环流模式GCM，其中大气模式称为AGCM（Atmospheric General Circulation Model，美国的Community Atmosphere Model-CAM），海洋模式称为OGCM（Oceanic General Circulation Model），陆面模式为LSM（Land Surface Model）等，全部考虑在内的模式称为耦合模式CGCM（Coupled General Circulation Model ）。第一个大气环流模式是Phillips（1956）构造的，模式采用了准地转方程组来作为基本的方程组，并利用该模式进行大气环流方面的模

13、拟研究。此后大气环流模式得到了快速的发展，在模式中不断引进有关边界层、平流层、比较细致的大气气溶胶辐射效应以及水汽相变等有关的物理过程。大气环流模式的基本方程组中有关的模式离散化方法、守恒格式的设计、物理过程参数化等的基本思路和中尺度模式一致在AGCM 中，Phillips 提出的坐标系，非常有利于描述复杂大地形对气候系统的影响。AGCM 的模式方程组如下：目前世界各国的GCM 采用的垂直 坐标形式较多。GCM 模式需要考虑 的物理过程非常复杂，尤其是目前发 展的气候系统模式CSM（Climate System Models）。但在实际的研 究过程中，根据研究的对象，也可采 用一些简化的气候模式进行有关的数 值试验。简化的气候模式 主要包括能量平衡模式、辐射对流模 式、统计动力模式等。 小结 1 大气运动基本方程组包含两个水平运动方程、静 力平衡方程、状态方积、连续方程、热力学方程和 水汽方程。它们在不同的平坐标和垂直坐标里可以 展开成不同的标量形式。 2 数值天气预报中常用的水平坐标有球坐标和局地 直角坐标。后者是由前者简化而来的。