37.分式全章复习与巩固(提高)知识讲解

1、分式全章复习与巩固（提高）【学习目标】0的条件.1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为2. 了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则.3掌握分式的四则运算.4结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的 知识体系.5. 结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解 法，体会解方程中的化归思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1分式A叫做分式.其中AB般地，如果 A、B表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子 叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所

2、以分式的分母不能为 0,即A当BM 0时，分式A才有意义.B2. 分式的基本性质A_AxM A_AMB BxM B 5-M （M为不等于0的整式）.3. 最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式， 要进行约分化简.要点二、分式的运算1. 约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分 .2通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分 式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.3 .基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似，具体运算法则如下：(1)加减运算a

3、b a +b错误！未找到引用源。；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相c c c加减.b d bd(2 )乘法运算-b两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，(3)除法运算？斗2 = ? 2 =巴，其中ab d b c bc;异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减ac二丽，其中a、b、ed是整式，bdHO.把分母相乘的积作为积的分母b、c、d 是整式，bed H 0.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘(4 )乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方。4. 零指数J =1(x0).5.负整数指数盯戸二ShO/为止整数)，6. 分式的混合运算顺序先算乘方，再

4、算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2. 分式方程的解法解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方 程.3. 分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的根-增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根.验根的方法是将 所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0,如果为0，即为增根，不为 0，就是原方程的解.要

5、点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量” 等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质血1、当X为任意实数时，下列分式一定有意义的是（A.x+1孟+1D.ki-1【答案】C；【解析】一个分式有无意义， 取决于它的分母是否等于UBM 0.当x = 0时，X2 =0，所以选项 A不是；当0.即若一是一个分式，则一有意义BB1x = 2时，2x +1 = 0，所以选项B不是；因为X2 0，所以X2 aO，即不论x为何实数，都有X2

6、+ 20，所以选项C是;当x = 1时，1 x I - 1 = 0，所以选项D不是.【总结升华】分式有意义的条件是分母不为零，无意义的条件是分母为零把下列各式分子与分母中各项的系数都化为最简整数.0.4x2 + y2 10 .-0.6y21x21 -a +-b 解：(1) 231 r-a -b344 ) + -b X123丿11 -a b 咒124丿6a+16b4a -3b0.3x +0.2y _(0.3x +0.2y)x100 _ 30x +20y(2)0.05X - y (0.05X -y) X1005x-100y5(6x + 4y)5(x-20y)_ 6x + 4y ；x-20y (0.

7、4x2+0.3y2 )10040x2 +30y2(3)原式=2 2 2 2(0.25x -0.6y )咒10025x -60y5(8x2+6y2) 225(5x -12y )8x2+6y2 ； -5x2 -12y2 要把小数先化成最简分数；相【总结升华】在确定分子和分母中所有分母的最小公倍数时, 乘时分子、分母要加括号，注意不要漏乘.类型二、分式运算11243、计算：1-x +1+X +1 + X2 +1 + X4【思路点拨】 本题如果直接通分计算太繁琐，观察比较发现，前两个分式分母之积为平方差公式，通分后与第三个分式的分母又符合平方差公式，以此类推可解此题.【答案与解析】22444解：原式=

8、+ + = + =8 .1-X21+X21+X41-X41+X41-X8【总结升华】 此类题在进行计算时采用“分步通分”的方法，逐步进行计算，达到化繁为简 的目的在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑.举一反三：1【变式】计算+(a + 2005)(a + 2006)a(a +1) (a+ 1)(a +2) (a+2)(a +3)【答案】1a +1丿、a +1 a +2 丿la+2005 a+2006 丿1111+a+1 a+1 a + 2 a+2 a+3a+2005 a+ 2006a + 20062006a+2006 a(a+2006) a(a+2006)a2 + 2006a类型三、分式条件

9、求值的常用技巧4、已知X2X+l=4，求 42Xx4 +x2 +1的值.【思路点拨】直接求值很困难，根据其特点和已知条件，能够求出其倒数的值,这样便可求X4 + X2 +1的值.【答案与解析】解：方法一：X4 +x2 +1/4 ,2 , . .2 (X +x +1)hX1十-X/2Xk X-1,x + 丄=4XX4 +x2 +1=15 , /42X +x +115方法二:原式(x4 +x2 +1) + X2、+1A】2J1X丿1x2+1+4 fx2+4rX I X-1115【总结升华】(1 )本题运用转化思想将所求分式通过分式的基本性质转化为已知分式的代数式来求值.11X4 + X2 +1(2

10、)根据完全平方公式，熟练掌握x+丄、X2+4 X X XXX2之间的关系,利用它们之间的关系进行互相转化. 举一反三：【变式】已知a、b、c为实数，且aba +bbc1 ac1 ? ?b+c 4c+a 5求abc_的值.ab +bc+ca【答案】解：aba +ba +b13bc14ca=3,b + cb +c , L，J,_ 15ab1 11则丄+丄=3 ,丄+_ b ac b将这三个等式两边分别相加,c + a c + a=5,caa c得2 S1+ -12 , la b c 丿1 1 1=6. abcabcab+bc+ac _ab +bc + acabc2 2 27a + 4b-仮=0,求

11、:a2黑薫的值.【答案与解析】解：解关于a、b的方程组产+2b7c = 07a +4b -15c = 0得 J a = cb =2ca =c代入原式中,b =2c2 2 2 原式=4c 5(2c)2 -6 c2 + 2(2 c)2 +3c2_ -22c2-12c211【总结升华】当所求分式的分子、公母无法约分，也无法通过解方程组后代入求值时，若将 两个三元一次方程中的一个未知数当作已知数时，即可通过解方程组代入求值.举一反三：【变式】已知2 22x -xy -3y =0，且 x 工y，求一的值.xy -X - y【答案】2解：因为2x2-xy -3y =0 ,所以(X +y)(2x -3y)

12、=0 ,所以 X + y =0或 2x -3y = 0 ,又因为X H y，所以X + y工0,2所以 2x -3y =0，所以 y ,3X2XXX3所以一刍-Xy -x-y2 -X32x 3x3X3=77一一 X3类型四、分式方程的解法申尸6、解方程一6X-25-(x+3)(x+5)+ (x+3)(x5)【答案与解析】 解：原方程整理得:+(x+ 5)(x-5) (x+ 3)(x +5) (x + 3)(x-5)方程两边同乘以(x+3)(x+5)(x-5)得:6(x+3) =3(x -5) +5(x+5)去括号，移项合并同类项得：2x=8 , x=4 .检验：把 x=4代入(X+3)(x+5

13、)(x-5) h0 x=4是原方程的根.【总结升华】 解分式方程的基本思想是：设法将分式方程“转化”为整式方程，去分母是解 分式方程的一般方法，在方程两边同乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方 程但要注意可能会产生增根，所以必须验根.举一反三：【变式】学完分式方程后，张老师出了这样一道题：已知方程3的根为正数,x+4 x+k试探索k的取值范围，并请大家讨论，下面是甲、乙两学生的对话.甲：乙：4x+4x + k，故 k 4根为正数，3(x +4) =4(x +k).请问:x=12-4k aO .k 3.(1)甲的说法正确吗？若正确，请在k的范围内选取一个你喜欢的数值代入，求x的值；若不

14、正确，试举一反例说明.（2）乙的说法正确吗?【答案】解：（1 ）甲的说法不正确，举一反例说明：若k =3时，原方程转化为43X+4 X+33(x +4) =4(x +3).解得：x=0，不符合题意.（2）乙的说法是正确的.类型五、分式方程的应用V尸7、某公司投资某个项目， 现有甲、乙两个工程队有能力承包这个项目，公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天工作费用为550元，根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队，应付工程队费用多少元再求出他们各自所需的费用，进行比较【思路点拨】 本题应先求他们完成工程所用的天数，选择.2x天,【答案与解析】解：设甲队单独完成需 x天，则乙队单独完成需要1 1 1根据题意得： 一 + =x 2x 20解得：x = 30.经检验x = 30是原方程的解.当x = 30时，2x = 60,都符合题意，应付甲队 30X 1000 = 30000（元）；应付乙队 30X 2 X 550= 33000（元）.公司应选择甲工程队，应付工程队总费用为30000元.【总结升华】（1）工程问题类的应用题，常常选用工作效率或工作时间或工作量作相等关系来列方程.（2）在工程问题中，常用1表示工作总量，且工作总量=工作效率X工作天数.依据这一基本关系式找相等关