论有限的物质空间

1、论有限的物质空间刘天池摘要：本文假设物质空间是有限的，从而介绍了客观空间的形态。在几何学上，认为空间的曲率半径大于0，对以黎曼几何为主的非欧几何学及绝对微分学作出了简单的讨论，得出了在有限的理想空间中多个点的夹角距离关系。同广义相对论结合，指出度规空间在不同广义坐标的表达形式。在电动力学上，对场作用的本质进行分析，给出了场对于距离的发散关系，导出了引力常量G随距离而减小的可能的原因，为验证假设指明了实验可行的方法，同时讨论了短程力产生的可能性。本文为超弦理论提供了高维的空间模型，为大统一理论提出了可行的方向。关键词：有限；空间；变换；非欧几何；广义相对论The Theory of Limit

2、SpaceLiu Tian-ChiCollege of Physics and Electronic Information Physics No: 070512014Tutor: Feng Heng-QiangAbstract: This article supposes the objective space is limited, and introduces the shape of the objective space. In geometry, this article thinks the curvature radius of the space is larger than

3、 zero, and discusses non Euclidean geometries concentrate on Riemannian geometry and absolutes differential calculus, and reaches the conclusion about the relation of angle and distance among multiple points. Then combining the General Relativity Theory, this article expresses forms of different gen

4、eralized coordinates about metric space. In electrodynamics, the nature of field interacting is analyzed, the relation about divergence between field and distance is given, and the possible reason of gravitational constant G decreasing with the increasing of distance is derived out. So the experimen

5、tally feasible method for the whole theory is pointed out. At the same time the possibility of occurring short-range force is discussed. Therefore the whole theory provides a high dimensional space model for Superstring Theory, and proposes a feasible orientation for grand unite theory. Key words: l

6、imit; space; change; non Euclidean geometries; General Relativity目录摘要11.1导论41.2约定于假设4约定4公设：4假设5一个理想试验52模型52.1 经典空间62.2 广义相对论空间72.3有限论空间73变换83.1经典变换83.2有限论变换84场114.1物体间的弧距作用114.2物体间的弦距作用124.3对H空间的作用125实验135.1水星的近日点的进动135.2引力常数的测量14参考文献141.1导论人类自古就在研究宇宙，但始终无法测出宇宙的尽头。从而无法解释宇宙的空间是有限大的还是无限大的，是有边界的还是无边界的。

7、无数的经典实验似乎说明了我们所处的空间是一个平直的无限大的空间。但是，随着科技的进步，我们发现了平直的欧几里德几何学在广阔的宇宙中并不适用。爱因斯坦的广义相对论指出时空不是平直的。并有一些实验作论据。但是仔细分析这些实验可以发现，在可以定量分析并且误差允许内的实验都是在太阳系内的太阳附近做出的，其他的实验并不能使人完全信服。这只能说明在该区域中却是存在着某种空间的弯曲，而这种弯曲是否与引力质量有关，是否与太阳的距离有关，都无法证实。更本质的，广义相对论与经典的力学理论一样，都假设平直空间为不受引力质量作用的原始空间1。超弦理论也有认为宇宙是有限的。但是在寻找高维数的空间上遇到了难题。本论从有限

8、的空间出发，在高维的空间中建立宇宙模型，为弦论解决维数困难2。从另一种意义上说，如果某一区域没有任何物质，我们往往称之为空的区间，或空间。很难想像存在没有空间却有容积的一个区域，物质穿越它时却是超距的。我们不得不承认空间是一种客观存在的物质。为了与普通意义上的物质区别，有人称之为第二物质。作为一种物质，我们很难想象它却是无限大的。同时我们也很难想象它存在边界。所以本论假设的物质空间是一种有限无边的形态。1.2约定于假设约定 空间的维数：描述某空间所有的点的位置所需要的独立参量的个数。 M空间：客观的空间，或我们所处的这个空间。 H空间：可视为希尔伯特空间，指M空间的一个高维包容空间。其中 si

9、(i=1,2,3,n)为基矢，xi为si方向上的坐标数。由于本论所指的空间均为位置空间，所以xi与si均为实数。在n维空间中建立n个独立的基矢是完备的。公设：公设：M空间为3维空间。若不考虑自旋s=±12是否可以作为位置独立参量，M空间可视为3维空间。公设：M空间是局部各向同性的。此假设的严格定义应为：局部的M空间在不考虑引力质量的作用下的任意相互垂直的法截线之曲率（高斯曲率）相等。没有任何理由认为M空间各点均是各向同性的。所以这条假设并没有实际的意义，只是用来方便做理想空间的推导。由此公设可得出M空间不存在边界。假设假设：我们所处的这个空间(M空间)是一个有限的空间。记其某一上界为

10、Va。一个理想试验假设这是有限论唯一一个假设。我们可以模拟这样一个实验。有一个体积不可忽略的正球体，以任意并始终保持不变的速度v前进。其中，球的半径为r（球的体积远远小于Va）。其中过球心并垂直v的截面称为主截面。规定运动初始时间为0。易知在0t 的时间段内主截面划过的体积V(t)=r2vt (1)如果这个空间的任一区域不被主截面划过超过1次，则由假设可知VaV(t) (2)所以 Var2vt (3)或 t Var2 v (4)根据以上推理可得：如果取 t> Var2 v，那么在这个空间中，必然存在某一区域，被主截面划过至少两次！或者说若从某个区域以固定的方向运动，怎么会再次回到这个区域

11、呢？这是与经典理论不符的。由此，我们可以对直线产生一个新的认识：直线是没有起点和终点的。但它或者是闭合的，或者是受限存在某一不大于 Va的有限区域中。2模型建立高维的包容空间H，其维数为n。M空间为其某一子集。那么必然存在一个几何约束集 F=¦jX1,X2,X3,Xn=0 | j=1,2,3,m（这里我们假设集合中的约束元素是相互独立的），使得M空间在F的约束下的描述是完备的。易知，M是任一约束Fj的子集。由公设可知：F的元素的个数m= n-3。也就是说 ¦1(X1,X2,X3,Xn)=0 ¦2(X1,X2,X3,Xn)=0 ¦3(X1,X2,X3,Xn

12、)=0 ¦n-3(X1,X2,X3,Xn)=0这是一个无规则的3维空间。由公设可知：在M空间中，各向同性，即有各向相同的曲率K=1Rc (5)不妨设将上式对于任一M以外的约束(包容)空间Fj均成立。此举不会影响M空间的形态。但却使上式满足于任一约束空间Fj。现给出两组Fj可能的解：¦j=aj,iXi+aj=0 (6)或 ¦j=(Xi-aj,i)(Xi-aj,i)-rj2=0 (不对j求和) (7)这里采用爱因斯坦规则，即重复指标自动求和。若不特别声明，本论均使用此规则。2.1 经典空间即M空间是无限大的。那么(6)式必然是唯一的正解。对于任一给定的 j ，在Fj的

13、空间中任取两点(X1,i)与(X2,i)。令¦j(X1,i)-¦j(X2,i)得0=aj,i(X1,i X2,i) (8)即矢量 aj=aj,isi 与矢量(X1,i X2,i)si 垂直。若使 X1,i趋向于X2,i,则矢量 aj 与Fj中任一线元垂直；或aj与Fj空间垂直。所以aj与M空间垂直，或在aj所描述的空间中任意线元与M空间垂直。现建立正交归一的基矢S1,S2,S3与aj彼此独立,则由S1,S2,S3的线性叠加即可完备描述M空间。令Xi为Si的坐标数i=1,2,3，则两点间的距离dS2=dXidXi (9)2.2 广义相对论空间广义相对论是对经典时空的修正。考虑

14、到引力质量对平直空间的弯曲，可建立高斯坐标X1，X2，X3，变换关系为dXi=XiXjdXj (10)距离dS2=dXidXi=XiXjXiXkdXjdXk=GjkdXjdXk (11)其中Gjk为2阶度规张量。为了保证高斯坐标与笛卡尔坐标变换存在逆变换，其雅克比行列式D=D(Xi)D(Xj) (12)必须不等于0或。2.3有限论空间根据假设，M空间应该是有限大的。那么(7)式应该是唯一的正解。在Fj中任取两个约束，不妨设为F1与F2，在M空间中任取两点(x1,i)与(x2,i)。易知(x1,i)与(x2,i)亦属于F1或F2。令f1(x1,i)+f2(x2,i)-f1(x2,i)-f2(x1

15、,i),整理可得0=(x1,i x2,i)·(a1,i- a2,i) (13)即矢量 (x1,i x2,i)si 与矢量 a1-2 =(a1,i- a2,i)si 垂直。若使(x1,i)趋向于(x2,i)，则矢量 a1-2与 F1或F2空间任一线元垂直，即矢量 a1-2与M空间中任一线元垂直，矢量 a1-2与M空间垂直。同理，在约束集F中，n-3个不同的j相互配对，可找到n-4个类似于a1-2的矢量均与M垂直，并且相互独立。同理可以建立正交归一的基矢S1,S2,S3,S4与任一 a1-2正交，则S1,S2,S3,S4完备描述M空间。令Xi为Si的坐标数i=1,2,3,4。由公设易知它

16、们并不是独立的。当然我们也可以建立完备的高斯坐标x1,x2,x3其变换为dXi=Xixjdxj (14)距离 dS2=gjkdxjdxk (15)但由假设易知Xi 与xj有限。考虑到雅克比行列式(12)式可能为0或。所以有限论空间一般仍以4参量的坐标形式给出。在广义相对论中，没有理由认为引力质量只是对M空间的作用，我们可以把它拓展到对包容空间H仍有效果。这样我们认为引力作用并不受空间维数的约束。详见4.3节。仿照(11)式，两点间的距离可写为ds2=GijdXidXj (16)Gij为2阶纯空间度规张量。其意义已与(11)式完全不同。3变换本章只考虑不受引力作用的原始理想空间，即令空间度规张量

17、为单位张量。3.1经典变换在H空间中任取三个点A,B,D构成三角形。令B与D的经典距离 |BD|2=XbdiXbdi=a2 (17)我们称之为(伪)超距或弦距同理令AB=d ;|AD|=b。易证：cosA=d2+c2+a22bd (18)这是经典空间的余弦定理。3.2有限论变换 所谓距离，也叫短程线或测地线，就是指过两点的自由粒子的运动轨迹或光迹。在M空间中，收到几何约束的情况下，两点的光迹不能直接在H空间中超距作用。在M空间中有意义的距离应为H空间中的一条曲线。定义M空间中的距离s=Rcda。其中rc是光迹中某点在运动方向上的曲率半径，da为其所对应的圆心角。考虑到公设局部各向同性，上式可变

18、为s=Rcda=Rca，a即为S在H空间所对应的圆心角。我们称该距离为弧距。那么3.1中的M空间中的ABD的夹角距离关系应写为cosd=cosa cosb+sinasinbcosD (19)图1其中a，b，d为 |BD|、|AD|、|AB| 所对应曲率圆的圆心角，C为球心；或a=|BD|rc，b= |AD|rc， d=|AB|rc证明：如图2，过D点做弧AD、弧BD的切线交CA、CB的延长线于H、I。（C、H、I本质上是超越M空间的在H空间中的点，C是曲率圆心）易知： DH=Rctana , DI=Rctanb HI2=Rc2tan2a+Rc2tan2b-2Rc2tanatanbcosD CI

19、=Rccosa,CH=Rccosb cosd=Rc2cos2a+Rc2cos2b-Rc2tan2a-Rc2tan2b+2Rc2tanatanbcosD2Rc2cosacosb =12cosbcosa-sin2acosbcosa+cosacosb-sin2bcosacosb+2sinasinbsinD =cosa cosb+sinasinbcosD式(19)称为有限论基本变换式，简称基本变换式。其表示出了M空间中任意三个点之间的夹角距离关系，是M空间中的余弦定理。图2例1在M空间中，到某一定点O的距离为r的点的集合构成一经典球面是s，在球面内任取某一线元dl，由(19)式易知 cosdlRc=c

20、os2rRc+sin2rRccosd其中d为dl关于O对应的圆心角。或 1-12(dlRc)2=cos2rRc+sin2rRc(1-12d2)dl=RcsinrRcd (20) ds=dl2=Rc2sin2rRcd2=Rc2sin2rRcd (21)积分得： l=2RcsinrRc (22) s=4Rc2sin2rRc (23)例2在H空间中，我们先讨论4维球的体积V4与表面积S3 V4=V3XdX=-RR43(R2-X2)32dX=122R4 (24) S3=dV4dR=22R3 (25)同理 V5=V4dX；Vn=Vn-1dX； Sn=dVn+1dR (26)我们可以发现：VnRn, Sn

21、Rn-1 (27)若将Rc带入 (25)式中，可得到M空间的容积VM=22rc3 (28)例3在M空间中狭小的范围中，或令a,b,c1 那么 cosd=1-12 d2 , cosa=1-12a2 (29) (19)式可化为： 1-12 d2=(1-12a2)(1-12b2)+abcosD (30)约去二阶无穷小量12a2b2，即有d2=a2+b2-2abcos (31)或 (Rcd)2=(Rca)2+Rcb2-2(Rca)(Rcb)cos (32)这与经典空间中的余弦定理(18)式等价。亦可得出M空间中三角形内角和大于。例4当等于0或时，A，B，D共线，由(19)式可得 cosd=cosa c

22、osb±sinasinb (33) d=|a ± b| (34)与经典理论一致。4场物质间的相互作用不是超距的，只能通过场进行传递。场一般可分为以下四类。4.1物体间的弧距作用 或者说，这种场是受到M空间约束的。考虑到场的辐射行为，我们假设高斯定理仍然是正确的。但其微分形式与积分形式的变换须参照有限论变换。高斯定理具有以下形式：Eds=q (35)取经典球面s(r),场源集中于球心处，上式可化为Es=q (36)将(23)式代入，得E4Rc2sin2rRc=q (37)或 E=q(4Rc2sin2rRc)-1 (38)若场源不是点，则可采用求和或积分的方法，这里不再详述。4

23、.2物体间的弦距作用这种场是在H空间中辐射的，不受M空间约束。由于H空间为高维空间，场强E亦将随距场源的距离的增大而迅速减小，将高斯定理应用于高维空间，我们很容易得到EdSn=q (39)参考(27)式可得E=qkR1-n (40)显然这是一种短程场。4.3对H空间的作用引力场可等效于空间的弯曲。显然，对H空间的弯曲与对M空间的弯曲是局部不可区分的。因为在H空间中，以4维空间为例ds2=GijdXidXj (41)而M空间中，仍可找到一组笛卡尔坐标xi，在局部使得xiXi (42)从而ds2=Gijdxidxj (43)xi与Xi只是M空间中的不同的表象。所以在局部的广义相对论作用下，引力对H

24、空间和M空间的作用无法区分。对M空间的弯曲，我们可视为对H空间的作用。同时保证了引力不会如(40)式那样在高维空间中迅速衰减。但若假设H空间不断裂，那么引力不能只对M空间作用而对H空间无影响。所以我们仍采取(41)式作为更普遍的坐标。显然，在引力作用下，M空间在H空间中不再是一个4维的正球体表面。由此可知，虽然引力的作用是弦距作用，但引力波通过M空间传递，是弧距作用。5实验5.1水星的近日点的进动水星近日点的进动一直是近代科学关注的问题，早在1859年法国物理科学家勒韦里耶3就发现了水星5600/100年的角位移。出去行星之间的影响，仍有42.6/100年的进动难以用经典物理学解释。图3水星每周期进动的角位移=2r-lr (44)其100年运动的周期数a=100年T (45)由上两式可得a=42.6 (46)引入(22)式并根据水星轨道平均半径 r=0.5791亿千米 与周期 T=87.97天 4代入可得Rc2000r=1158.2亿千米 (47)这仅代表水星处的曲率。考虑到r= 0.38天文单位，地球处的曲率半径可以估算为Rc地=Rc水0.38-2=8021亿千米 (48)5.2引力常数的测量1798年，英国物理学家卡文迪许首次测量了引力常量G。此后的180多年中，又有许多物理工作者用不同的方法对G的值