(完整版)错位相减法求和附答案

1、错位相减法求和专项错位相减法求和适用于an'bn 型数列，其中an,bn分别是等差数列和等比数列，在应用过 程中要注意：项的对应需正确；相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1i已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数nu.，数列.的前*项和为 '，点.-均在函数的图象上.（I）求数列况的通项公式；（I）设,是数列.的前项和，求，.解析考察专题：2.1 , 2.2, 3.1 , 6.1;难度：一般答案（I）由于二次函数的图象经过坐标原点，则设；-=；川-於，上弈心二稣心I ； i J - , I' 口，A：；虫又点- 卜

2、均在函数F二/V）的图象上，I.瑙；7 '时，、 二 工 -:! “又- ?，适合上式，I粘=2刃*1 （7分）（I）由（I）知，打=（扣+ 1）7 ,Y _I ',上面两式相减得：-rri =3 2l +2+2S + *2")-(2岬 +1卜2*1=2整理得匚二甘1卜2曲42 (14分)2已知数列：的各项均为正数，是数列： 的前n项和，且45 =;/ 2 + M 一3JIXTRT(1)求数列的通项公式;(2)'的值.答案查看解析解析(1 )当n = 1时，I 2 I 3刊宁一亍解出a1 = 3,又 4Sn = an2 + 2an一 3当.-时4sn-1 =+

3、 2an-1 3他-J),即<-<|- + -|) = °,"(% 一叫-广 2) = 0代"叫-(-), 二数列是以3为首项，2为公差的等差数列，6分二 = 3 + 2n -1) = 2/? + I(2)Tt)-3x2' +5x2z +L第3页共15页又一 1'l'-I)-工二-6 卡 $-22戸 +(2+l)-2WT12分3.(2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分)设函数I- -,数列匕前项和I，数列携=，满足化 J：Z. <-.(I)求数列的通项公式耳；(I)设数列i的前：项和为 ，数列： 的前“项和

4、为；，证明：十务< 3答案(I由二” 一2匸二®，得- <二仏!是以;为公比的等比数列，故绻=(-严.JnJk-ij 2i 7(I)由 b«=+< 叫-件 得?<lx用错位相减法可求得: 5 > - . < ': < Q .(注：此题用到了不等式：I T -进行放大.)4已知等差数列 中，.; 是与 的等比中项.(I)求数列的通项公式:(I若'求数列解析(I因为数列 是等差数列，是 与.的等比中项所以',又因为，设公差为，则'- '1 , 所以，解得'-或 ,当；-时，所以或.，所以,

5、所以、1M 1:所以2|：-二丁 1- - I 2-： 2 ' |两式相减得-=2（22'2:4-D = 2第15页共15页所以（13 分）5已知数列：的前-项和=,，曲51；2 八，等差数列；：中， 且公差 -.(I)求数列 帆、时的通项公式;(I)是否存在正整数,使得若存在，求出“的最小值,若不存在，说明理由”丄u = il *i =上£ + L/.肖h, u 2S.4-1 丄 口解析(I)时，相减得：% =她卫")p 6 = 2坤4 “ 二処二3叫，又,-数列. 是以1为首项，3为公比的等比数列,（6分）（I）讥=(2卄1)旷入、=5xi+5xi +

6、7xi?+L +（2；j-l）xyz-n2rf+l）xy1金令37； =3x3+5x3l+7x3J+L 4（2ff-l）x3" l+（2iJ+l）x3<得：如=3xl+2(3*Vi-L +3")“I)汀二匚"3鼻,：tnxy>60n，即3" >60，当讯啞3 , 3“ 60，当 w>4 o 3' >60"的最小正整数为 4.( 12分)6.数列满足"心二恥二'，等比数列满足"二九哄二论.(I) 求数列叮，曲 的通项公式；(I)设-二，求数列 的前厂项和 .解析(I)由.，所以数列

7、是等差数列，又',所以：- 二= = 8由二d二込，所以,，所以，即，/> =于所以.(6分)c u bc -1(I)因为，所以，则'：-;y二” 2T =l<2J-i-2-2441-2>+- + (n-l)*2"il + n-2所以，-T =：2= + > + - * + 2；TTl两式相减的.,7； =(yj-2,+2+4 八、所以.(12分)7.已知数列 满足，其中为数列 的前*项和.(I求*的通项公式；h ='*(I若数列 满足：C )，求 的前，项和公式 解析I )1，一得,(5分)(Iw-，-：； - : -： 1两式相减得

8、(13 分)烬1dn-1+n dn( n*IN.旦1 I 28设d为非零实数,an= d+2 d2+(n1) (I写出ai, a2, a3并判断an是否为等比数列.若是，给出证明 若不是，说明理由(I设bn=ndan(n IN),求数列bn的前n项和S.答案(I由已知可得 ai=d, a2=d(1+d) , a3=d(1+d) 2.1擋吨鬲护k=lJI k=l=dXCn,t1dk=d(d+i) an=由此可见,当d = 1时,an是以d为首项,d+1为公比的等比数列当d=-1时,ai=-i, an=0(n > 2)此时an不是等比数列.(7分)(I 由(I 可知，an=d(d+1) n-

9、1,从而 bn=nd2(d+1) n-1,Si=d21+2(d+1) +3(d+1) 2+(n1) (d+1) n-2+ n( d+1) n-1.当 d=-1 时，Sn=d2=1.当d乂1时，式两边同乘d+1得(d+1) Sn=d2(d+1) +2(d+1) 2+(n1) (d+1) n-1+n( d+1) n. ，式相减可得-dSn=d21+(d+1) +(d+1) 2+(d+1)n-1-n( d+1) n=d化简即得 Sn=(d+1) n(nd-1) +1.综上，Sn=(d+1) n(nd-1) +1. (12 分)9. 已知数列an满足 a1=0，a2=2，且对任意 m，n I*都有 a

10、2m-1 +a2n-1 =2am+n-1+2(m-n) 2(I 求 a3, a5；(I 设 bn=a2n+1-a2n-1(n IN),证明:bn是等差数列;(I 设 Cn=(an+1-an) qn-1 (q 丰 0, n *I,N求数列cn的前 n 项和 S.答案(I由题意,令 m=2, n=1 可得 a3=2a2-a1+2=6.再令 m=3, n=1 可得 a5=2a3-a1+8=20. (2 分)(I证明：当n iN时,由已知(以n+2代替m)可得a2n+3+a2n-i=2a2n+i+8.于是a2(n+1) +1-a2(n+1)-1-(a2n+1-a2n-1) =8, 即 bn+1-bn=

11、8.所以，数列bn是公差为8的等差数列.(5分)(I由(I、( I的解答可知bn是首项bi=a3-ai=6,公差为8的等差数列则 bn=8n-2,即 a2n+i-a2n-i=8n-2.另由已知(令m=1)可得，an =-(n-1)那么,an+1 -an =吧2-2n+仁-2n +1=2 n.于是,Cn=2nqn-1.当 q=1 时，Sn=2+4+6+ +2n=n(n +1).当 qMl时,Sn=2 - q4 q6 2q+2n n-q.两边同乘q可得qSn=2 q4 - q6 角+2(n1) n-q2n 勺上述两式相减即得(1-q) Sn=2(1+q1+q2+-+q-1) -2nqn=2-2nq

12、n=2 1-q叫时(n+Qh+1所以Sn=2 n(n+l)(q=l) ”综上所述,丄化加忤込分)10. 已知数列an是公差不为零的等差数列,a1=2且a2,a4,a8成等比数列(1) 求数列an的通项公式；求数列an 的前n项和.答案(1)设数列an的公差为d(d丰0),由条件可知：(2+3d)2=(2+d) (2+7解得 d=2.(4 分) 故数列an的通项公式为 an=2n(n I N(6分)(2) 由 (1)知an訓=2n x 3n,设数列an 的前n项和为Sn, 则 Sn=2 X2+4 x3+6 x3 +2n X2 3,32Sn=2 X 4+4 X 6+ +(2n2) X魁2n X 严

13、,故-8Sn=2(32+34+36 +3n)-2n X ?n+2,(8 分)所以数列an 的前n项和Sn=.(12分)11. 已知等差数列 满足、.J；二.M又数列 中- 且(1)求数列 ,的通项公式若数列, 的前项和分别是'',且“ J ：求数列，的前，项和(3) 若 ' ''' 对一切正整数厂恒成立，求实数的取值范围答案(1)设等差数列;叫的公差为d ,则有,LF, + U 5,(a, +4(/)2( + rf) = 3.、仏二 I + (” I)X 2 = 2 片 1 (耳 qY ),门九-X产o，二字二工®C），.数列： 是以訂

14、二F为首项，公比为的等比数列.，-也二沙丁 ：=脣“飞汀.分由可得.'-'I- - 12 13 Z'九，=：；、弋七二，!'-'':.Iiufl=+ Sx3s+（H-i）xr"+wxj,H2J ，（2）分（3）“（1）-（2）得附:工 ¥ 1 V 1，扌（2xl4：r%1 |#（加1）注Jl =9（j + 1）x3u>0 ,l'-' I Il当.= - j时，-取最小值二匕3 39 > s 7，即 X曹析，4 4当，"I时,恒成立当；小丨时，由.解得-即实数：,的取值范围是12. 设

15、9;，为数列；的前巴项和，对任意的八'，都有 "为常数,且11（1）求证：数列是等比数列;（2）设数列；宀：的公比t "：数列匕；满足二 心：丁Lzm，求数列i的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和.答案188. (1)当"1时, 当 >2时，> 叫又用为常数，且c，,嗷列m1,公比为 止的等比数列.（2 ）由（1）得,q - f（rn） - | | fn 勿 2见 25屯=/（A, i）=I_1_ 1 rI,J C.|Ll 丄是首项为2 ,公差为1的等差数列.22/i1（C）o2” 14-丄（3）由（2）知 ,贝U= 2,xl

16、 + 21>3+2S5+- + 2"+_22xU2'x3+2'x5+2flx（2ff-3）+ 2'x（2rj-1）一得Tn = 2*11 x（2«-1）-2-2 -2*2讪7fl = 2""1 x(2fi- 1J-.2II 2一 =2""x(2n -3) + 6分1413. 设等差数列an的前n项和为 S,且S4=4S2, a2n=2an+1.(I求数列an的通项公式;(I设数列bn的前n项和为Tn,且Tn+対=入(为常数),令Cn = b2n(n IN),求数列Cn的前n 项和Rn.答案(I设等差数列an的首项为ai,公差为d.fid=+ 4(L2n<)d= 202(11-1)(1+1*由 S4=4S2, a2n=2an + 1 得解得