(完整版)中考几何最值问题(含答案)

1、实用标准文档几何最值问题一.选择题（共6小题）1. （ 2015?孝感一模）如图，已知等边 ABC的边长为6,点D为AC的中点，点 E为BC的 中点，点P为BD上一点，则 PE+PC的最小值为（）文案大全考点：轴对称-最短路线问题.分析：由题意可知点 A点C关于BD对称，连接AE交BD于点P,由对称的性质可得，PA=PC 故PE+PC=AE由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值.解答:解： ABC是等边三角形，点 D为AC的中点，点 E为BC的中点， BD丄 AC, EC=3连接AE线段AE的长即为PE+PC最小值，点E是边BC的中点， AE丄 BC, AE= 上丨-:上3.

2、9;；, PE+PC的最小值是 3.-；.故选D.离分别为10cm和40cm, B点到y轴的距离为 当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（C. 50 !. - 50D. 50+50点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键.2. （ 2014?鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB, AB=50cm A、B到x轴的距 30cm,现在在x轴、y轴上分别有动点 P、Q,）考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质.专题： 分析：压轴题.过B点作BM! y轴交y轴于E点，截取EM=BE过A点作AN! x轴交x轴于F点，截 取NF=AF连接MN交X, Y轴

3、分别为P, Q点，此时四边形 PABC的周长最短，根据题 目所给的条件可求出周长.解答：解：过B点作BM1 y轴交y轴于E点，截取EM=BE过A点作AN!x轴交x轴于F点, 截取NF=AF连接MN交x, y轴分别为P, Q点，过M点作MKLx轴，过N点作NKLy轴，两线交于 K点.MK=40+10=5Q作BL丄x轴交KN于L点，过A点作AS丄BP交BP于S点. LN=AS=：| |-=40. KN=6O+4O=1O0 MN=：_=5° !/ MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50四边形PABC的周长=50 口+50. 故选D.州B1乓 "9'U*Qo严7?本

4、题关键是找到何时四边形点评：本题考查轴对称-最短路线问题以及坐标和图形的性质, 的周长最短，以及构造直角三角形，求出周长.3. （2014秋？贵港期末）如图，AB1 BC, AD丄DC, / BAD=11O ,在BC CD上分别找一点 M 叫当厶AMN周长最小时，/ MAN的度数为（）A. 30 °B. 40C. 50°D. 60 °考点：轴对称-最短路线问题.分析：根据要使厶AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A', A，即可得出/ AA' M+Z A =Z HAA =70 °，进而

5、得 出/ MABZ NAD=70，即可得出答案.解答：解：作A关于BC和CD的对称点A , A，连接A A ,交BC于M交CD于 N,则 A A即为 AMN勺周长最小值，作 DA延长线AH ./ DAB=110 ,/ HAA =70°,/ AA M+Z A =Z HAA =70°,/ MA A=Z MAB Z NADZ A", Z MABZ NAD=70 , Z MAN=11O - 70° =40 °.故选B.点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M, N

6、的位置是解题关键.4. （ 2014?无锡模拟）如图，Z MON=90，矩形 ABCD勺顶点A, B分别在OM ON上，当B 在边ON上运动时，A随之在边OM±运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2, BC=；.运 动过程中，当点 D到点O的距离最大时，OA长度为（）考点：勾股定理；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线.分析：取AB的中点，连接 OE DE根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE利用勾股定理列式求出 DE然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出OE、D三点共线时点 D到点O的距离最大，过点 A作AF丄OD于 F,利用Z ADE的余弦列式 求出DF

7、,从而得到点F是OD的中点，判断出 AF垂直平分OD再根据线段垂直平分 线上的点到两端点的距离相等可得OA=AD解答：解：如图，取AB的中点，连接 OE DEvZ MON=90 , OE=AE=AB二 X 2=1,2 2三边形 ABCD是矩形， AD=BC=二在Rt ADE中，由勾股定理得，-牛 | J + ：-=2 ,由三角形的三边关系得，O E、D三点共线时点D到点O的距离最大,此时，OD=OE+DE=1+2=3过点 A作 AF丄 OD于 F,则 cos Z AD,解得DF丄,2/ OD=3点F是0D的中点, AF垂直平分0D OA=AD=:.故选B.点评：本题考查了勾股定理，三角形的任意

8、两边之和大于第三边，直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，作辅助 线并判断出0D最大时的情况是解题的关键，作出图形更形象直观.5. （ 2015?鞍山一模）如图，正方形 ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1,长为西的线段MN在AC上运动，当四边形 BMNE勺周长最小时，贝U tan / MBC勺值是（A.卫B.丄33C.二D.1考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质.分析：根据题意得出作 EF/ AC且EF=二，连结DF交AC于M在AC上截取MN=二，此时四 边形BMNE勺周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案.解答：解

9、:作 EF/ AC且 EF='：,连结DF交AC于 M,在AC上截取 MN=二，延长DF交BC于 P,作 FQ! BC于 Q则四边形BMNE的周长最小，由/ FEQ2 ACB=45，可求得 FQ=EQ=1/ DPC2 FPQ / DCP玄 FQP PF3A PDC1 PQ 1.FQPQ十QE+EC.1，1 _PQ+24解得：pqW ,3 pcL ,38由对称性可求得 tan / MBC=tanZ PDC='二.4 3故选:A.vzDC5点评：此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出M, N的位置是解题关键.6. （ 2015?江干区一模）如图， ABC中，CA

10、=CB AB=6, CD=4 E是高线 CD的中点，以 CE 为半径O C. G是O C上一动点，P是AG中点，贝y DP的最大值为（）A.工2B. !2C. 2一；D.考点：圆的综合题.分析：根据等腰三角形的性质可得点 D是AB的中点，然后根据三角形中位线定理可得DP二BG然后利用两点之间线段最短就可解决问题.2解答：解：连接BG,如图./ CA=CB CDL AB AB=6, AD=BD=AB=3.又 CD=4 BC=5 E是高线CD的中点,CE=；CD=2 CG=CE=2根据两点之间线段最短可得：BG< CG+CB=2+5=.7当B、C G三点共线时，BG取最大值为7. P是AG中

11、点，D是AB的中点， PD=.BG2 DP最大值为2故选A.点评：本题主要考查了圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，利用三角形中位线定理将DP转化为BG是解决本题的关键.二.填空题（共3小题）7. （ 2014?江阴市校级模拟）如图，线段 AB的长为4, C为AB上一动点，分别以 AC BC 为斜边在AB的同侧作等腰直角 ACD和等腰直角厶BCE那么DE长的最小值是2 .考点：等腰直角三角形.分析：分析：设AC=x BC=4- x，根据等腰直角三角形性质，得出据勾股定理然后用配方法即可求解.CD匝 x, CD 竺(4- x),根2 2解答:解

12、：设 AC=x, BC=4- x, ABC BCD均为等腰直角三角形，CD里x, CD(4- x),2 2/ ACD=45，/ BCD =45°/ DCE=90 , D臣CD+C昱二x2+. (4 - x) 2=x2 - 4x+8= (x - 2)-22+4,当x取2时，DE取最小值，最小值为：4.故答案为：2.点评：本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值.& （ 2012?河南校级模拟）如图，矩形 ABCD中，AB=4, BC=8 E为CD边的中点，点 P、Q为BC边上两个动点，且 PQ=2当BP= 4 时，四边形 APQB的周长

13、最小.考点：轴对称-最短路线问题. 专题：压轴题.分析：要使四边形APQE勺周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ勺值最小即可.为 此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在 AD上截取线段 AF=DE=2作F点关于BC 的对称点G,连接EG与BC交于一点即为 Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点， 即为P点，则此时AP+EQ=E小，然后过 G点作BC的平行线交DC的延长线于H点， 那么先证明/ GEH=45，再由CQ=E（即可求出BP的长度.解答：解：如图，在AD上截取线段AF=DE=2作F点关于BC的对称点G连接EG与BC交 于一点即为 Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即

14、为 P点，过G点作BC的平 行线交DC的延长线于H点./ GH=DF=6 EH=2+4=6 / H=90°,/ GEH=45 .设 BP=x 贝U CQ=BG BP PQ=8- x-2=6 - x, 在厶 CQE中，/ QCE=90，/ CEQ=45 , CQ=EC 6- x=2, 解得x=4.点评:题目具有一定的代表性，是9. （ 2013?武汉）如图，E, F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足 AE=DF连接CF交 BD于点G连接BE交AG于点H.若正方形的边长为 2，则线段DH长度的最小值是 1 .考点：正方形的性质.专题：压轴题.分析：根据正方形的性质可得 AB=AD=

15、CD / BAD* CDA / ADG2 CDG然后利用“边角边” 证明 ABE和厶DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得/仁/ 2，利用“ SAS'证明厶ADGD CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得/2=7 3,从而得到/ 1 = 7 3,然后求出/ AHB=90，取AB的中点0,连接OH OD根据直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半可得 0H丄AB=1,利用勾股定理列式求出 0D然后根据三角形的三边2关系可知当 O D H三点共线时，DH的长度最小.解答：解：在正方形 ABCD中, AB=AD=CD 7 BAD=Z CDA 7 ADG7 CDG在厶 ABED DCF中，A

16、B=CEZBAL=ZCDA ,AE=DF ABEA DCF( SAS ,7 仁7 2,在厶 ADG CDG中AD=CEZADG=ZCDG ,DG=DG ADG CDG( SAS , 7 2=7 3 , 7 仁 7 3 ,7 BAH+7 3=7 BAD=90 , 7 1+7 BAH=90 , 7 AHB=180 - 90° =90°,取AB的中点O,连接OH OD则 OH=AO=AB=1,在 Rt AOD中, OD=上 J J f ,根据三角形的三边关系，OH+DM OD当O D H三点共线时，DH的长度最小, 最小值=OD- OH= !- 1 .(解法二：可以理解为点 H是

17、在Rt AHB AB直径的半圆©，上运动当 O H D三点共线时，DH长度最小）斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出 也是本题的难点.直角三角形斜边上的中线等于 DH最小时点H的位置是解题关键,三解答题（共1小题）10. （2015?黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题： 如图1 ,在厶AB（其中/ BAC是一个可以变化的角） 中，AB=2, AC=4,以BC为边在BC的下方作等边 PBC求AP的最大值.小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点 B为旋转中心将 ABP逆时针旋转60°得到 A BC,连接A' A,

18、当点A落在A C上时，此题可解（如图2）.请你回答：AP的最大值是 6.参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：则AP+BP+C的最小值是_ ' _ I ： 7如图3,等腰Rt ABC边AB=4, PABC内部一点 （或不化简为ba - $ V壬）_.（结果可以不化简）考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；等腰直角三 角形.专题：几何综合题.分析：（1）根据旋转的性质知 A A=AB=BA =2, AP=A C,所以在 AA' C中，利用三角形 三边关系来求 A C即AP的长度；（2）以B为中心，将 APB逆时针旋转60°得到 A'P'B .根据旋转的性质推知 PA+PB+PC=P'A +P'B+PC.当 A'、P'、P、C 四点共线时，（P'A ' +P'B+PC）最短，即 线段A'C最短然后通过作辅助线构造直角三角形A' DC在该直角三角形内利用勾股定理来求线段 A C的长度.解答：解：（1）如图2,：公ABP逆时针旋转60°得到 A' BC,/ A BA=60&