(完整word版)计算方法及答案

1、计算方法练习题一一、填空题1.蔥=3.14159的近似值3.1428，准确数位是（）。2 .满足 f （a）二 c, f （b）二 d 的插值余项 R（x）二（）。3 .设Pk（x）为勒让德多项式，则（P2（x）, P2（x）=（）。4 .乘幕法是求实方阵（）特征值与特征向量的迭代法。5 .欧拉法的绝对稳定实区间是（）。6. e =2.71828具有3位有效数字的近似值是（）。9 .已知1 25 4_-A7 .用辛卜生公式计算积分生（）。01 +x8 .设=（ajk）第k列主兀为aP”，则aP严=()10 .已知迭代法：Xni =（召），（n =0,1，）收敛，则"（X）满足条件（）

2、。、单选题1已知近似数a,b,的误差限；（a）, ；（b），则；（ab）=（）。A. ；(a) ；(b) b. ；(a)；(b) c. a ；(a) b ；(b)d. a ；(b)；(a)2 .设 f(x) = x2 x，则 f1,2,3=()A.lB.2C.3D.43 .设A =1 I则化A为对角阵的平面旋转3-().JIJIJIJIA. B. C. D. 2 3464 .若双点弦法收敛，则双点弦法具有（）敛速.A.线性B.超线性C.平方D.三次5 .改进欧拉法的局部截断误差阶是（）A. 0(h)23B. o(h ) c. o(h )D. 0( h4 )A. 11027 .矩阵A满足(6.近

3、似数a =0.47820 102的误差限是（）。1 1B. 10C. 102 2),则存在三角分解 A=LR。A. det A = 0B.det Ak = 0(1 込 k ： n)c. det A 0 d. det A ： 0已知 x = (-1,3,-5)丁，则 |x1 =()。A . 9B.5C. 3D . 5设Pk（x）为勒让德多项式，则（P3（X）, R（X）=()。2222一B .C . 一D .57911计算题'X1 + X2=3求矛盾方程组：*捲 +2x2=4的最小二乘解。% - x2 = 22 1.用n = 4的复化梯形公式计算积分-dx，并估计误差。1 x2论 +5x

4、2 +3x3 =6.用列主元消元法解方程组：2x-i 4x2 3x3 = 5。4捲 6x2 2x3 二 4.用雅可比迭代法解方程组：（求出x）。_4-1'.0.用切线法求x3 -4x，1 = 0最小正根（求出x1）o已知f （x）数表:x012y-204求抛物插值多项式，并求f（0.5）近似值。已知数表:x012y13 . 24 . 8求最小二乘一次式。89A.三、12345671 1 1&已知求积公式：f (x)dx ： Ao花-)Af(O) Azfg)。求Ao,Ai,A，使其具有尽可能高代数精度，并指出代数精度。4109用乘幕法求 A = 131的按模最大特征值与特征向量。

5、'0 1 4 一"y" = 2x y10.用予估校正法求初值问题：Fy在x = 0(0.2)0.4处的解。.y(0)=1四、证明题1.证明：若f ”(x)存在，则线性插值余项为：f牡)R(x)(x xo)(x xj, xo ： : x1。2!y" = -10y2.对初值问题''，当0 < h兰0.2时，欧拉法绝对稳定。.y(0) = 13设P(A)是实方阵A的谱半径，证明：P(A)勻A。4证明：计算.a(a 0)的单点弦法迭代公式为：xn彳=ex. a，n = 0,1，。C + Xn计算方法练习题二一、填空题1 近似数a =0.635

6、00 103的误差限是()。2 .设|x|>>1,则变形 1 X -X =()，计算更准确。 +2x2 =3 一3 用列主元消元法解：，经消元后的第二个方程是()。2石 +2x2 =44 用高斯一赛德尔迭代法解4阶方程组，则x3m° =()。5 已知在有根区间a,b上 , f '(x), f ''(x)连续且大于零，则取 X。满足()，则切线法收敛。6已知误差限；(a), ；(b),则；(ab)二()。7 用辛卜生公式计算积分1 dxD. 40/0)0D. (D-U)，L5 设双点弦法收敛，则它具有()敛速°A.线性B.超线性C.平方 1

7、06 .2=1.41424-,则近似值的精确数位是(7D.三次)oD. 10*)0D. 04 11&若A =，则化A为对角阵的平面旋转角 日=( )o14 一A. 10°B. 10C. 10；7 若A.4 2】；1L ，匕【2 4 一01112 022 一，则有22二(B. 3C.4兀A.-2兀B.3JIJTC.D.469.改进欧拉法的绝对稳定实区间是()oA.-3 , 0B. -2.78 , 0C. 2.51 , 0D. -2 , 0二、计算题x0122 x8若A=A。用改进平方根法解 Ax二b，则0二( )o9 当系数阵A是()矩阵时，则雅可比法与高斯一赛德尔法都收敛。1

8、0若人=爲，且卜i a剛(i K3)，则用乘幕法计算 人茫( )o二、选择题1 已知近似数 a 的；r(a)=10/0，则；r(a)二()A. 10/0B. 20/ 0C. 30/02设Tk(X)为切比雪夫多项式，则(T2(X).T2(X)=(江JTA.0B .C.D. :426 413 .对A = J直接作二角分解，则r22 = () 0：3 6 一A. 5B. 4C.3D. 24.已知A=D-L-U，则雅可比迭代矩阵 B= ( )oA.D(L U)B. D(L-U)C.(D-L)U1.已知f(x)数表y-4-22用插值法求f(x)=o在0 , 2的根。2.已知数表x0123y2.89.21

9、5.220.8求最小二乘一次式。3用n=4的复化辛卜生公式计算积分1 dx02 x，并估计误差。4用雅可比法求 A5用欧拉法求初值问题3 10130的全部特征值与特征向量。卫 0 3一y2x y 在 x=0(0.1)0.2 处的解。.y(0) -16已知函数表x12y-10F y02求埃尔米特差值多项式H (x)及其余项。1上的最佳平方逼近一次式。1&求积公式：J。f(x)dx Af (0)+Bf (人)，试求捲,A, B,使其具有尽可能高代数精度,并指出代数精度。9用双点弦法求 x7 .求 f(X)= X 在-1， - 5x 2 = 0的最小正根(求出 X2)。i y'二 x

10、 y10用欧拉法求初值问题：在x=0(0.1)0.2处的解。I y(o)=i四、证明题1.证明：| 州51a2证明：计算5 a的切线法迭代公式为：Xn 1(4Xn ), n =0,1，5Xn3设lo(X)，ln(X)为插值基函数，证明:n'Tk(x)"。k卫4若B ：:1。证明迭代法： f 2x(m)Bx(m) F,m=0,1,收敛。3 3计算方法练习题一答案一.填空题$ -2,0X2 =1,f vt)21. 102.(x-a)(x-b) 3.4 按模最大2!51工16 .- 10,7.-=,8.1 X . X9.丄b 玄彳必罚a32x2m a34x4m) ) ,10. f(

11、x°):>0a33二单选题l.C2.A3.C4.E5.C6. C7. D 8. B9. B三. 计算题l.(X1,X2)=(xX2 -3)2(X12X2-4)2(X1-X2-2)2,2.=0,=0 得:3% +2x2 =92人 +6x2 =9解得兀=®,X2 = 9。7142dx：11 8 8 8 185 6 7 20.697,M 2R(x)196在0,0.5上,=0 ,由迭代公式:X； _ 4Xn 13x； - 4计算得：XT = 0.25。6 利用反插值法得f(0)讥(0)-(0 4) -丄(0 4)(0 2) =1.752247.由方程组:4a0 6a = 48

12、*614102，解得:30 二3"6，所以 g1(x)3 6x。dx1 r 1 8 88 10.4062,8 2 9 10 11 3M2|R(f)匸 212 167680.00132 。25 3 6'4 6 2 414 6 2 43.2435T12 3T224-46241 i2 2 41 i1 112 16回代得：X=(-1,1,1)T4因为A为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。防卄J(i+x2m)4雅可比迭代公式为：円x2m制=1(3+ x1m) + x3m) ,m = 0,1,。 4(m卅)1 /彳丄 (m)、x3=-(vnx2)4取 x(0) =(1,1,1)T 计算得

13、:x h(0.5,1.25,0.5)T。5.因为 f(0) =10, f (0.5)二0.8 7 5:0，所以 x： 0,0.5，2f (x) =3x 4 ： 0, f (x) =6x _ 0。由 f (X0)f (x) _0,选 x。149.因为a22 = an = 3月12 -1,02罷42t'1=4,X1=(,0)2 2所以:2 =3,X2 =(0,1,0)T72 x/FT*2,X3=(,0)T2 210应用欧拉法计算公式：yn 1 =0.2Xn T.1yn计算得 y1 = 1.1, y2 =1.23。四证明题1设 R(x) =k(x)(x X0)(x X1), g(t) = f

14、 (t) - Lj (t) 一 k(x)(t - x°)(t - 洛)，有X0,X1,X为三个零点。应用罗尔定理，g (t)至少有一个零点g ( f ( )-2!k(x) =O,k(x)十。2.由欧拉法公式得：yn - n = 1 - Oh n I y° - 0。当0 ： h乞0.2时，则有yn n|勻y° -0。欧拉法绝对稳定。3因为 A=(A-B)+B, a 乞 a b| 亠| b ,所以 A - B| J A-B ,又因为 B=(B-A)+A,B| J B - A| 亠| A所以 B - A| . .|B - A = A-BB|A 乞 A B4因为计算5 a

15、等价求X5 - a =0的实根,5xn axn ”-45Xn将f (x) = x5 -a, f '(x) =5x4代入切线法迭代公式得:(4xn *), n = 0,1，。5Xn计算方法练习题二答案、填空题1.10, 2.r(G) ：13. xn 1XnXn 丄 a-(n =1,2,),Xn -xnl4. 1.2,5.f(Xn n,yn 加6.|b| ；(a) |a | ；(b),7.731808. 土 ,9.严格对角占优rkk10./ (k 七) Xi(k)I Xi二、单选题1. C2. B6. A7. B3.8.4.9.三、计算题兀2血+31. sin 一510:0.582820.

16、582 10。24002.(x, y)=(x y4)2 (x 2 2 y - 3)(2x - y -6),由:X歩P=0, 06x -2y =192x _3y =5，解得:474"荷。复化梯形公式计算得：f-d 拓 1丄+6 +1茫 0.4067。0 2 x 6 27833.由丄乞1 10,解得n -3,取n=3,48n22124.卫3-121 0 -110'.0回代得:= (1,1,1J5.因为a33二 an20乜220运J2兀-41022| 0血220辽20101所以"3,x1珂子,0,子)丁2 =3,X2 =(0,1,0)T“3,x3十丄0,列2 22xH(x

17、) =(12(x-1)(x-2)2 (-1) (x-2)(x-1)2 2 = x2R(x)4&一1)2&一2)2,(1：2)4!7.设gi (x)二 a° p (x) ai pi(x)，则 a。=2 ：x3dx=0,| ：x4dx所以 g1*(x) =3x。52&设求积公式对 f (x) =1,x,x精确得:A +B =11 231= Bx1 =，解得：x1= ,B=,A = 。2 344Bx； =1.3所以求积公式为：f (x)dx ：丄f (0) 3 f(-),七4433 1 2再设f(x) =x，则左=右。此公式具有 3次代数精度。4 99 .因为 f(0) =20, f(0.5) = -0.375 ：0, 故 x 0,0.5，在0，0.5上，mi = min f "(x) =4.25, M 2 = max f "(x) = 3,KR <M22|0.5諾：1应用双点弦法迭代公式:Xn 1 - Xn(xn -Xnd)(Xn -5焉 +2)(xn - 5xn 2) -(xn5xn2),n = 1,2,.计算得:x2 ： 0.42110. yn 1 = O.IXn 0.9 yn, n =0,1，由 y0 =1，计算得： = 09 y2