(完整版)《集合的含义及其表示》知识梳理

1、集合的含义及其表示一、集合1集合 某些指定的对象集在一起成为集合。(1) 集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a A;若b不是集 合 A 的元素，记作 b A；(2) 集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设 A 是一个给定的集合， x 是某一个具体对象，则或者是 A 的 元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素， 指属于这个集合的互不相同的个体 (对 象)，因此，同一集合中不应重复出现同一 元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列 顺序无关；( 3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列

2、举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 (或变化) 范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意： 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法， 要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。( 4)常用数集及其记法非负整数集(或自然数集) ，记作 N；正整数集，记作N*或N+;整数集，记作 Z；有理数集，记作 Q;实数集，记作R。2 集合的包含关系(1) 集合A的任何一个元素都是集合 B的元素，则称A是B的子集

3、(或B 包含A),记作A B (或A B)；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A B且B A,则称A等于B,记作A=B;若A B且AM B,则称A是B的真子集，记作A目B;(2) 简单性质：1) A A; 2) A;(3) 若 A B, B C,则 A C;(4) 若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集(其中2°- 1个真 子集)；3 全集与补集(1) 包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ;(2) 若S是一个集合，A S,贝U, Cs=x|x S且 x A称S中子集A的补集；(3) 简单性质：1) Cs(Cs)=A; 2) CsS= , Cs

4、=S。4 交集与并集(1) 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集 A B x| x A且x B。(2) 一般地，由所有属于集合 A或属于集合B的元素所组成的集合，称为 集合A与B的并集。并集A B x|x A或 x B。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合， 区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常 常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5集合的简单性质1)AAA,A,AB B A;2)AA, AB B A;3)(AB)(AB);

5、4)ABAB A;AB A B B ；5)CS(ATB) =:(CsA)U(CsB)，Cs (AU B) = ( CsA)T( CsB)二、函数1函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数X,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f： A- B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x) , x A。其中，x叫做自变量， x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值 的集合f(x)| x A 叫做函数的值域。注意：(1) “y=f(x) ”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“ y=g(x) ”；(2)函

6、数符号“ y=f(x) ”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘 x。2构成函数的三要素 ：定义域、对应关系和值域(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含 三种形式： 自然型：指函数的解析式有意义的自变量 x的取值范围(如：分式函数的 分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数， 对数函数的真数为正数， 等等)； 限制型：指命题的条件或人为对自变量 x的限制，这是函数学习中重点， 往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； 实际型：解决函数的综合问题与应用问题时， 应认真考察自变量x的实际 意义。（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学

7、要求能用初等方法求 一些简单函数的值域问题。 配方法（将函数转化为二次函数）；判别式法（将函数转化为二次方程）； 不等式法（运用不等式的各种性质）：函数法（运用基本函数性质，或抓住 函数的单调性、函数图像等） 。3两个函数的相等函数的定义含有三个要素，即定义域 A、值域C和对应法则f。当函数的定 义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此， 定义域和对应法则为函数的两个基本条件， 当且仅当两个函数的定义域和对应法 则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。4区间（ 1 ）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（ 2 ）无穷区间；（ 3）区间的数轴表示。5映射的概念

8、一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f,使对 于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那 么就称对应f: A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“ f: A B”。函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱 化为“任意两个非空集合” ，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对 应关系，这种的对应就叫映射。注意:（ 1）这两个集合有先后顺序， A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不 同的其中 f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。 （2） “都有唯一”什么意 思？包含两层意思:一是必有一个；二是只有一个

9、，也就是说有且只有一个的意思。6常用的函数表示法（1）解析法:就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式 叫做函数的解析表达式，简称解析式；2）列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3) 图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的关系。7分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间， 而每个子区间的解析式不同， 这 种函数又称分段函数；8复合函数若 y=f(u), u=g(x), x (a, b), u (m, n)，那么 y=fg(x)称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是 g(x) 的值域。三、函数性质1奇偶性(1) 定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有

10、f( x)= f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f( x)=f(x)，则称f(x) 为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上 述两条性质，则 f(x) 既是奇函数，又是偶函数。注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的 整体性质； 由函数的奇偶性定义可知， 函数具有奇偶性的一个必要条件是， 对于 定义域内的任意一个X,则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于 原点对称)。(2) 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定 f( x

11、) 与 f(x) 的关系； 作出相应结论：若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0 ，则 f(x) 是偶函数；若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0 ，则 f(x) 是奇函数。( 3)简单性质： 图像的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于原点对 称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于 y 轴对称； 设f(x) , g(x)的定义域分别是Di,D2，那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶 +偶 =偶，偶 偶 =偶，奇 偶=奇2单调性(1) 定义:一般地，设函数 y=f( x) 的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的 某

12、个区间D内的任意两个自变量X1,X2,当Xi<X2时，都有f(Xi)Vf(X2)( f( Xi)> f( X2), 那么就说f(X)在区间D上是增函数(减函数)； 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量Xi, X2；当Xi<X2时，总有f(Xi)Vf(X2)(2) 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D叫做y=f(x)的单调区间。(3) 设复合函数y= fg(x)，其中u=g(x) , A是y= f g(x)定义域的某个 区间，B是映射g

13、 : x u=g(x)的象集： 若u=g(x)在A上是增(或减)函数，y= f(u)在B上也是增(或减)函 数，贝U函数y= fg(x)在A上是增函数； 若u=g(x)在A上是增(或减)函数，而y= f( u)在B上是减(或增)函数， 贝函数 y= fg(x) 在 A 上是减函数。(4) 判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取 xi，X2 D，且 xi<X2； 作差 f(xi) f(x2) ； 变形(通常是因式分解和配方) ； 定号(即判断差f(Xi) f(X2)的正负)； 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。( 5)

14、简单性质 奇函数在其对称区间上的单调性相同； 偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内：增函数 f (x) 增函数 g(x) 是增函数；减函数 f (x) 减函数 g(x) 是减函数；增函数 f (x) 减函数 g(x) 是增函数；减函数 f (x) 增函数 g(x) 是减函数。3最值(1) 定义最大值：一般地，设函数 尸f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对 于任意的x I，都有f(x) < M;存在x° I，使得f(xo) = M。那么，称M是函 数 y=f(x) 的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对 于任意的x

15、I，都有f(x) >M;存在x° I，使得f(xo) = M。那么，称M是函 数 y=f(x) 的最大值。 函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x° I，使得f(xo) = M; 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x I，都有 f(x) < M (f(x) > M )。(2) 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法： 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值； 利用图象求函数的最大(小)值; 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(x)在区间a, b上单调递增，在区间b, c上单调递减则函数 y

16、=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b) ;如果函数 y=f(x) 在区间 a， b 上单调递减，在区间 b， c 上单调递增则函数y=f( x) 在 x=b 处有最小值 f(b) ;4周期性(1) 定义：如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都 有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数；(2) 性质：f(x+T)= f(x)常常写作f(x T) f(x T),若f(x)的周期中， 存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；若周期函数f(x)的周期为 T,则f( CDx)(3工0)是周期函数，且周期为 占。5. 函数图象(1) 作图方法：以解析式表示的函数

17、作图象的方法有两种，即列表描点法 和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函 数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势) ；描点连线，画 出函数的图象。运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、 变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等 理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为 基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。(2) 三种图象变换：平移变换、对称变换和伸

18、缩变换等等； 平移变换：I、水平平移：函数y f(x a)的图像可以把函数y f (x)的图像沿x轴方向向左(a 0)或向右(a 0)平移|a|个单位即可得到；左移h右移h1) y=f( x)y=f( x+h) ； 2) y=f( x)y=f(x h)；U、竖直平移：函数y f(x) a的图像可以把函数y f (x)的图像沿x轴方向向上(a 0)或向下(a 0)平移|a|个单位即可得到；上移h下移h1) y=f( x)y=f( x)+ h ； 2) y=f( x)y=f( x) h。对称变换:I、函数y f( x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于y轴对称即可得到;y轴y=f( x) y=

19、f( x)U、函数yf(x)的图像可以将函数f(x)的图像关于x轴对称即可得到;X轴y=f( x) y=f(x)到;到。川、函数y原点y=f( x) y=f( x)的图像可以将函数f(x)的图像关于原点对称即可得f( x)f(y)的图像可以将函数yf(x)的图像关于直线y x对称得直线y xy=f(x) x=f(y)V、函数y f (2a x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于直线x a对称即可得到;直线x ay=f( x)y=f(2 a x)。 翻折变换:I、函数y |f(x)|的图像可以将函数yf (x)的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y f (x)

20、的x轴上方部分即可得到;y.yy=f(x) 11 /y=|f(x)| 1I1/1I /Va 0入C Xb c xU、函数y f (|x|)的图像可以将函数y f (x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y f(x)在y轴右边部分即可得到yj11y=f(x)+1yI/1/1- /y=f(|x|)1Ja 0-b7a°b.C+x 伸缩变换：I、函数y af(x) (a 0)的图像可以将函数y f(x)的图像中的每一点横坐 标不变纵坐标伸长(a 1)或压缩(0 a 1 )为原来的a倍得到；y ay=f(x) y=af(x)U、函数y f (ax) (a 0)的图像可以将函

21、数y f (x)的图像中的每一点纵坐 标不变横坐标伸长(a 1)或压缩(0 a 1 )为原来的-倍得到。ax af(x)y=f(x) y=f( ax)(3) 识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。6. 方程的根与函数的零点(1)函数零点概念：对于函数y f(x)(x D)，把使f(x) 0成立的实数 x叫做函数y f (x)(x D)的零点。函数零点的意义：函数y f(x)的零点就是方程f(x) 0实数根，亦即函数 y f (x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f (x) 0有实数根函数y f (x)的图象与x轴有交点 函数y f (x)有零点。二次函数y ax2 bx c(a

22、0)的零点：1) >0,方程ax2 bx c 0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点;2) =0，方程ax2 bx c 0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与 x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；3) < 0,方程ax2 bx c 0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二 次函数无零点。零点存在性定理：如果函数y f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条 曲线，并且有f(a)f(b) 0，那么函数y f (x)在区间(a,b)内有零点。既存在 c (a,b)，使得f(c) 0,这个c也就是方程的根。7. 二分法二分法及步骤：对于在

23、区间a，b上连续不断，且满足f (a) f (b)0的函数y f (x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近 零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：(1) 确定区间a，b，验证f(a) f(b) 0,给定精度 ；(2) 求区间(a， b)的中点捲;(3) 计算 f(x1)： 若f(xJ=0，贝U X!就是函数的零点； 若 f (a) f (x1) <0，则令 b = X!(此时零点 X。 (a, xi); 若 f(xj f (b) <0，则令 a=Xi (此时零点 x° (X

24、i,b);( 4)判断是否达到精度 ；即若|a b|，则得到零点零点值a (或b);否则重复步骤24。注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是使f(x) 0的实数；从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与X轴交点的横坐标；若函数f (x)的图象在X Xo处与X轴相切，则零点Xo通常称为不变号零点；若函数f (X)的图象在X Xo处与X轴相交，则零点Xo通常称为变号零点。注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件f(a) f(b) 0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。8. 二次函数的基本性质(1) 二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c； y=a(x Xi)( x %) ； y=

25、a(x X)2+n。1(2) 当a>0, f(x)在区间p, q上的最大值M,最小值m,令xo=- ( p+q)。2若 <p，贝U f(p)=m, f(q)=M ；2a若 p< <xo,贝U f( )= m, f( q)= M ；2a2a若 xoW <q,贝U f(p)= M , f( )= m；2a2a若>q,则 f(p)= M , f(q)=m。2a(3) 二次方程f(x)= ax +bx+c=0的实根分布及条件。 方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小 a f(r)<0 ；b2 4ac 0, 二次方程f(x)=0的两根都大于r r,2a

26、a f (r)0b2 4ac 0,二次方程f(x)=O在区间(p, q)内有两根b2aq,a f(q) 0, a f(p) 0； 二次方程f(x)=0在区间(p, q)内只有一根f(p) f(q)<0，或f( p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p, q)内成立。四、基本函数1 .指数与对数运算(1)根式的概念：定义：若一个数的n次方等于a(n 1,且n N )，则这个数称a的n次方根。即若xn a，则x称a的n次方根n 1且n N ),1) 当n为奇数时，a的n次方根记作n a ；2) 当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相 反数，记作 n

27、a(a 0)。 性质：1) (n a)n a ； 2)当n为奇数时，n an a ; 3)当n为偶数时， na |a| a(a 0)。a(a 0)(2)幕的有关概念规定:1)ana aa(n N ;n个2) a01(a0)3) a p1 ap(pQ，4)man vam (a 0, m、n N 且 n 1)性质：1) ar as ar s(a 0, r、s Q)；2) (ar)sars(a 0, r、sQ)；3) (a b)r ar br(a 0, b 0,rQ)。注：上述性质对r、s R均适用。(3) 对数的概念 定义：如果a(a 0,且a 1)的b次幕等于N,就是ab N，那么数b称以 a为

28、底N的对数，记作loga N b,其中a称对数的底，N称真数。1) 以10为底的对数称常用对数，logic N记作lg N ；2) 以无理数e(e 2.71828 )为底的对数称自然对数，log e N，记作In N ； 基本性质：1) 真数N为正数(负数和零无对数)；2) loga10 ；3) loga a 1 ； 4)对数恒等式：alogaNN。 运算性质：如果a 0,a0,M0,N0,则1) log a(MN ) loga M log a N ；2) logaM loga M loga N ；N3) log a M n n log a M (n R) 0 换底公式：log a N log

29、 m N (a 0,a 0,m 0,m 1, N 0),log ma1) logab log ba 1 ； 2) logambn - log a b。m2 指数函数与对数函数（1）指数函数:定义：函数y ax（a 0,且a 1）称指数函数,1）函数的定义域为R; 2）函数的值域为（0,）；3）当0 a 1时函数为减函数，当a 1时函数为增函数函数图像：0 <n< 1 a> I1）指数函数的图象都经过点（0, 1）,且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x轴为渐近线（当0 a 1时，图象向左无限接近x轴，当 a 1时，图象向右无限接近x轴）；3） 对于相同的a（a 0,且a

30、1），函数y ax与y a x的图象关于y轴对称。 函数值的变化特征：0 a 1a 1x 0时0 y 1，x0时y1，x 0时y 1，x0时y1，x 0时y 1x0时0y 1，（2）对数函数: 定义：函数y logax（a 0,且a 1）称对数函数,1）函数的定义域为（0,） ； 2）函数的值域为R；3）当0 a 1时函数为减函数，当a 1时函数为增函数;4）对数函数y logax与指数函数y ax（a0,且a 1）互为反函数 函数图像:0<£Z< 1a> 11yxJCHOof1）对数函数的图象都经过点（0, 1）,且图象都在第一、四象限；2） 对数函数都以y轴为渐

31、近线（当0 a 1时，图象向上无限接近y轴；当a 1时，图象向下无限接近y轴）；3）对于相同的a（a 0,且a 1），函数y loga x与y log1 x的图象关于x轴a对称。 函数值的变化特征：0 a 1a 1x 1时y 0，x 1时y 0，x 1时y 0，x 1时y 0，0 x1时y0.x0时0 y 1 .3幕函数y x （0,1）在第一象限的图象，可分为如图中的三类:1010在考查学生对幕函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幕函数1 1 1 y x中 限于在集合 2， 1， -，-，-，1，2，3中取值。232幕函数有如下性质：（1）它的图象都过（1, 1）点，都不过第四象

32、限，且除原点外与坐标轴都不相交；（2）定义域为R或（，0）（ 0，）的幕函数都具有奇偶性，定义域为R或0，的幕函数都不具有奇偶性；（3）幕函数y x （0）都是无界函数；在第一象限中，当0时为减函数，当0时为增函数；（4）任意两个幕函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点；必修 2 知识点一、立体几何初步（一）几何体1柱、锥、台、球的结构特征（1）柱 棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个 四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体叫做棱柱； 棱柱中两个互 相平行的面叫做棱柱的底面， 简称为底； 其余各面叫做棱柱的侧面； 相邻侧面的 公共边叫做

33、棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱 柱圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的 几何体叫做圆柱； 旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱 的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥 棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体叫做棱锥； 这个多边形面叫做棱锥的底面或底； 有公共 顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点； 相邻 侧面的公共边叫做棱锥的侧棱

34、。底面是三角锥、四边锥、五边锥 的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱 锥圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成 的曲面所围成的几何体叫做圆锥； 旋转轴为圆锥的轴； 垂直于轴的边旋转形成的 面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。棱锥与圆锥统称为锥体。3）台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥， 底面和截面之间的部分叫做棱台； 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； 棱台也有侧面、 侧棱、顶 点。圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥， 底面和截面之间的部分叫做圆台； 原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面； 圆台也有侧面、 母线、轴。圆台和

35、棱台统称为台体。（4）球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球 体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直 径叫做球的直径。（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。2空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；3空间几何体的直观图（1）斜二测画法 建立直

36、角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX, 0Y,建立直角坐标系； 画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的o' x' , O' Y ,使 X'OY' '=450 （或 1350），它们确定的平面表示水平平面； 画对应图形，在已知图形平行于 X轴的线段，在直观图中画成平行于 X 轴，且长度保持不变；在已知图形平行于丫轴的线段，在直观图中画成平行于 Y轴，且长度变为原来的一半； 擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、丫轴及为画图添加的辅助线（虚线）。（2）平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。

37、（二）面积与体积1 .多面体的面积和体积公式名称侧面积（S侧）全面积（S全）体积（V）棱柱直截面周长XIS底 h=S直截面 h棱柱直棱柱chS侧+2S底S底 h棱锥棱锥各侧面积之和-S底h3正棱锥-ch'2S侧+S底棱棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S1-h（ S上底+S下底3正 棱台台丄（c+c' ）h'2下底+Js下底S下底）表中S表示面积，c'、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h'表示斜 高，I表示侧棱长。2.旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2 n rln rln (r1+r2)lS全2n r(l+r)n r( l+r)n(r1+r

38、2)l+nz 2 2、(r 1+r 2)4n R2Vn r h(即 n r2l)1 n r2h n r h312 2-n h(r 卄灯 2)3-n R33表中I、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，ri、2分 别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径。（三）空间点线面1. 平面概述（1） 平面的两个特征：无限延展平的（没有厚度）（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3） 平面的表示：用一个小写的希腊字母 、 等表示，如平面、平 面；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。2. 三公理三推论：公理1:若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这

39、个平面内：Al,Bl,A , B I公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这 些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理3:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面。3. 空间直线:（1）空间两条直线的位置关系：相交直线一一有且仅有一个公共点；平行直线在同一平面内，没有公共点；异面直线不同在任何一个平面内， 没有公共点。相交直线和平行直线也 称为共面直线。异面直线的画法常用的有下列三种:（2）平行直线：在平面几何中，平行

40、于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也 是成立的。即公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。（3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式：A , B ,a , B a AB与a是异 面直线。4 直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）一一用两分法进行两次分类。它们的图形分别可表示为如下,符号分别可表示为a，al线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式:,b ,a/

41、 b a /aa线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面 和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。推理模式：all , a , I b a/b .5. 两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于 一个平面，那么这两个平面平行。a定理的模式：bal b P llallbll推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交 直线，那么这两个平面互相平行。推论模式：alb P,a ,b ,a I b P ,a ,b ,a/a,b/b ll （2）两个平面

42、平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平6. 线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一 条，必垂直于另一条。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和 这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条 斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线， 如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条 斜线的射影垂直。PO ,0推理模式： PAI Aa A0。a , a AP注意：三垂线指FA, PO, AO都垂直a内的直线a其实质是：斜线和平 面内一条直线垂直的判定和性质定理要考虑 a的位置，并注意两定理交替使 用。7. 线面垂直定义：如果一条直线

43、I和一个平面a相交，并且和平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 I和 门" 平 面a互相垂直其中直线I叫做平面的垂线，平面a叫做直线I的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线I与平面a垂直记作：I丄a直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线垂直于这个平面。直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条 直线平行。8. 面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：（线面垂直 面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。两平面垂直的性质定理：

44、（面面垂直 线面垂直）若两个平面互相垂直，那 么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。二、解析几何初步1 倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做 直线的倾斜角，范围为0,。2 斜率：当直线的倾斜角不是 900时，则称其正切值为该直线的斜率，即 k=tan ;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。3. 过两点pi（xi, yi）, p2（X2, y2）（ xi工X2）的直线的斜率公式：k=tan»一 （若x2 捲xi = X2，则直线pip2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°）。4. 直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直 线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk斜率b纵截距倾斜角为90°的直线 不能用此式点斜式y- y0=k（ x- X。）（X0，y°）直线上已知点，k斜率倾斜角为90°的直线 不能用此式两点式y yi = x xi yyiX2 xi（x