(完整word版)偏微分方程数值解试题参考答案

1、偏微分方程数值解-（10分乂设矩阵A对称正定，定义丿（x） = ；（A儿戈）-（处）（z/T） 证明下列两个问题等价：求X。 R"使丿g） = mui7（x）;（2）求下列方程组的解 :Ax=h E/?"解：设兀0 疋是/（X）的最小值為对于任意的X W R",令才(3分)(4分)傾久)=丿(忑 + Zv) =+ (Avo 一 b,X)+ (Av,X),(3 分)别取X = AVq -h,则有(Avo -/?, Avo -h)制 Avo-/?|-=O,得到 Aq = h.反之，若兀w/r满足Ax, = b，则对于任意丿（旺+攵）=傾1）=傾0） +空（山/）丿（忑

2、）,因此心是丿（X）的最小值点.评分标准:恥）的表示式3分,每问3分，推理逻辑性1分二（10分）1对于两点边值问题：务"为n心讪«(d) = Ojt(b) = 0其中 P E Ca.h).p(x) 2 mmp(.v) = P. > 0凶 e C(讪M 沁 f 已丹°(") 建立与上述两点边值问S等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的尺讥形式和GalerkinJ式的变分方程。(3分)解：设H： = U I « e 叫4 u（a） = u（h） = 0为求解函数空间,检验函数空间取V比上）,乘方程两端，积分应用分部积分得到d（n）= f（P

3、算g + 屮八皿=/（V）, V VG H（a,b） J“ ax axJ "即变分问题的Gq上肿彤式.（3分）令J(") = ；0("上)-(/» = ；ftp(爭尸+曲- dx,则变分问题的形式为 22 扎 dx,U e使丿(/) = nin J(”)(4分)评分标准:空间描述与积分步暴3分，变分方程3分，极小函数及其变分问题4分,三(20分),对于边值问题莘+ 箓 7 g）e（0、l）x（0l）."k；=°(1)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式h推导截断误差的阶。(2 )取力= 1/3，求边值问题的数值解(

4、写岀对应的方程组的矩阵形式，并求解)(3 )就取力=VN的一般情况写岀对应方程组的系数矩阵(用分块矩阵表示X解：(1)区诫离散= jh、儿=差分格式为"-管+畑一(5 分)IrIr应用如oy展开得到磁断误差为件|#+与厂其阶为0(，)(3分)12 ox OYV 未知量为U =(5，叫2川小心门矩阵形式为AU = fM中4-1 -10、T-140-111/ = 一-104-191、0-1 -14,丄4 =（3分）（4分）解为 （1丄1,1）18（B 一BO(3)矩阵为丿=4 -1 4O0-1 4,（5分）评分标准:第1问8分格式4分，截断误差4.Q7分方程4分，解3分（3）5分，形式3

5、分B的形式2分 = a,o<x<to<z<rdt dx"（儿0）=仅工人0 <x <1 z/（Oj） = »（!,/）= 0,0 < / <r（1）建立向前差分格式（最简显格式）,推导截断误差的主顶,指岀误差阶;（2 ）写岀差分格式的矩阵形式（即4 t/'+i = BUS 的形式）,用矩阵方法分析格式的稳定性（3 ）建立六点加权格式写岀计算形式，应用Founer方法（分离变量法）分析格式的稳定性。解:区域离散格式为匚竝M右（5分）应用7如展开得到，误差主项为；（；*-甞（款+。（宀5阶为<9（r + /r）（3分

6、）（2） A = E,B = diagr； - 2r, r,（4分）稳定条件为虫1/2（3分）I 严 _>/格式为丄厂丄=診&（弘+（1-叽人（3分）当& 4格式恒稳定当& < 2,稳定条件为r 宀2 2 1-2"（2分）n+lJn2b五分X逼近牛唱=。的三层差分格式了+。3=。分析格式的稳定性解:计算形式为Hjsm+b（2分）叶L（1<J放大矩阵为G ='-larsincdii f' 1 0,特征方程为M-G|=A + 2arshicdu（4分）（2分）此为三层格式，化为两层格式令I厂=町，则有-"扛）+巧令町=W

7、f严,V；=呱OM,代入格式，消去公因子，得到1Y <0辰丿,c . a ：-2ar3nah±4-4a'r'3in all .=A + 2«rsui oattA -1 = 0,-> =（2分）= L imx|人|,|A, |<1的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根，即 = 4-心尸suf创n0考虑到a的变化稳定条件为ar<i六（1。分n虹波动方程兽=-兽的初值问题的显格式推勰断误差.（5分）解:差分格式为qj;四.=0 “:,厂/r >截断误差为2nT' - a詁宀。Z）,阶为分）切。分丄对于二维抛物型方程乌=嚼+

8、爭啦向后差分格丸隐格式）.指岀截断误差阶，分析格式的稳定性。.n+l _ n解:差分格式为宁详by嗖）(4分)误差阶为0（"，）（3分）放大因子为Ga片)=子 ，恒稳定-(3分)., r cdi *. -> ph1 + 4rsiu'h 4r SUP 2 2A （10分）1分析差分格式/r" F = a S 2( + S + b S 一 S + cd(fl>o) rIr2h)的稳定性 解:写出计算形式，忽略低阶项2分,写出放大因子3分|G|=才 sin'M+l-4“(l-cosM) + 4“'(l-cosR/i)' = /(l-cosM)(l + cosk/i) + l-4“(l-cosM) + 4/'(l-cosk/i)'(2分)= 1-(1-cosR/i)4“-4'(1-cosM)-F(1 + cosM)von Neumann 条件| G< 1 变为4/ 一coskh)-才(1 + co