偏微分方程资料

1、1 Fourier 变换定义：若，则称为 二的Fourier变换，记作FMF几训或hi。切1f( A)=卜 g )/ dwa、相反，如果一 ，则称为：的傅里叶逆变换，记为：-产护对对于维函数，定义F( 斗1）- I）U 1.0= 0占（血+ 1）-孑（他一】）z-o= H 占（旧十1）亠（他-1）解之得:冷（砒一1） r+取Fourier逆变换得到:方法二：运用叠加原理及行波法来求解根据线形片未分方程的叠加原理，方程可以分解成下面的两个问题的求解:I % - % - fsin x(1)叮&02 0,%(仏= 0% -廿 “ =(2) J= 0, “0) = sin a那么原方程的解可以写成：对

2、于方程（1），依据齐次化原理，方程的求解可以转化成下面问题的求解:|乜-忙0w-f a;r） = 0,= r sin x/) = j 履 x, Cr)c/r并且根据行波法，可以求得上述方程的解为：jI呎兀| t= T co$(x- /+ r) + r cos(x+ /- r)对于方程(2),直接根据行波法可以求得：| |hJM = 一 J 叮“d亘-cosfx- f)-coa(x+ 計X f那么原方程的解为：u =斗十 u2 = fsin x2分离变量法2 . 1分离变量法的物理背景以及基本思想分离变量法又称为Fourier方法，而在讨论波动方程时也称为驻波法。此方法 源于物理事件中的如下事实

3、：机械振动或电磁振动总可以分解为具有某种频率 和振幅的简谐振动的叠加。而每一个简谐振动具有形式：jll j1 ,这正是物理上的驻波。从数学的角度看，驻波就是知 含变量和只含变量 的函数的乘积，即具有分离变量的形式。由此启发我们 在求解线性定解问题的时候，可尝试先求出满足齐次方程和齐次边界条件的具 有变量分离形式的解叮U)= XB(x)Tn(t)然后将它们叠加起来，记为:Kt-1然后再利用初始条件确定各项中的任意常数，使其成为问题的解2. 2使用分离变量法解题得五个步骤:(1分离变量：将分离变量的形式代入方程以及边界条件中(2解常微分方程(3决定解的结构(4利用叠加原理得到级数形式的解(5利用初

4、始条件和尚未利用的边界条件来确定叠加系数。例1:试用分离变量法来求解下面定解问题ltfl -= 0 (0 X /.0 0)l /4/ ) I 叠加过程：定解问题的级数形式解为也和)二心At 确定叠加系数，将的表达式带入初始条件中，得1n挥4 工 Acosx-卩(末)(0 /)如*热 + 工cos A=(o x o利用Fourier余弦展开，系数得到J 护（耳）cos 二-xdx用分离变量法同样得步骤可以求得下面两个常用问 题的解为：uti -百讪詬=0(0 x A0 f) wx0)=护(U 址(嵐0)=.(对u(041) = u( A z) = 0百ftrF arm , mt礼 f) =& c

5、os1 + /? sin1 sin au( - Au订=0(0 a AO = x(l I)tr(Of0= u(AO = 0解：是下列定解问题的解I ut/ - ni/u = 0 (0 jv A0 / )u( a0) = 0.= xlf- A)w(0j)二 u(Jj- 0该定解问题的级数形式解为4h皿t sin x由初始条件来确定系数，由于“I 0 | V sin 0x= x(l- x)X(丿一 asin xdx =x:sin xdx(1 - Cos Z )所以，方程的解为4/一jJ rtjru(編)-工-1 -卜 Iflsin /sin 丄 a站直召7/2. 3非齐次问题的齐次化边界条件必须是

6、齐次化的才能构成固有值问题，这是分离变量法的关键，对于 非齐次边界条件的处理，主要思想是把非齐次的边界条件化成齐次的边界条 件。一般的做法是先选取一个适当的已知函数令x/)- HxO+ 呛使得对于新的未知函数来说，边界条件是齐次的。特别的，对于含有非齐次边界条件的非齐次方程，如果边界条件是常数，方程 中的自由项只是，的函数，则可以通过未知函数的代换同时将边界条件和方程 都化成齐次的，这时只需要选取一个只是 的函数，令if X)+ 悯 XJ)使得对于新的未知函数，边界条件和方程都是齐次的，于是可以用分离变量法求解0例1解出具有放射衰变的热传导方程叮7碍十加=0已知边界条件为曲三总用初始条件为.C

7、常数)。解：题述定解问题为AI - -Uxv - ?* = 0(0 A /.0 f)护a M & 0 = Tw0, f) = /(/t /) = 0-b令其中.，则上面的定解问题化成ut - butt = Alf eai (0 a AO l)(I)- ha0)= Tu(0. r) =A f) = 0解上述方程，采用叠加原理，上述问题可表示为M X, t) - 1( X t) + u( X f)其中：C亍；和氏在；4分别是下面两个方程的解I v - b v =0 w - b w - Ab e I(2)(心0KR T (3)j h(x,0) = ()m：- c :- .和 y；：-匚其中(2的解可

8、以直接得到对于问题(3我们采用齐次化原理，我们先求解彳AU小加严艮0二0得到其中ny瑰=J S 扩 e x 或 n xdx= * j*2朋血ri宀”T3【1-（-丨）匕n亠广*扩jt亠故（3的解为n( V, 0 = J M X, f, r )dr -则原方程的解为:D( A；f) = u JT,f)+ HI A, H例2试将定解问题utt - s2ua - 0 (0 x 0)u( v.O)=卩(uf)d.( tO)二常(时i/(0, /) - Au JO J) %(f)u(lj) + Au/,!)= a2(0的非齐次边界条件化为齐次边界条件。解：令 1,这里的边界条件为第三类非齐次边界条件,般

9、假设H 為 0=(伽 B)/i|(f)+(Cx+ D)旳其中氓心都是待定的常数，而i jin-咖f)+为了使得关于的定解问题的边界条件齐次化，二必须满足KAO+AvjAf)= /2(0即(以也*垃)旳二比(4/+ /?+ A4),(0 + (C/+ D+ hC)出二J”比较对应的系数得：B-hA= J/+ 5+ hA= 0| D- AC= 0C/+ D+ AC= 1解以上两系数方程得：I/+ h1, hA =* B=1C =, D =/+2A/+2A八 2力/+2A通过简单计算得到/+2A这样就得到下面关于的齐次边界定解问题y黑+ h *叫一茁 =(o a 0)/+ 2h两兀0) - y(x)

10、-|(0)-/)(0)/+ 2A叩兀0) -讥 A)- /)一“，(0)- P (0)/+ 2hu0,/)-加JO./) = 0 0)u(0) = (j0叭(乩0)=少(力M(V)-(0解：先对未知函数做变换,相应的 是下面初值问题V -v4| = p(/)(x 0j 0)v(0)= ?(X)-/i(0)片(汕0)=常(X)-# (0)/) - 0依据齐次化原理，只需要讨论下面初边值问题即可：% 呂匕、=0( a O.r 0)u(jO) -(p(x)眄(兀0)=训(川(i)j) = 0下面设：和 分别是 和：|到上的延拓，然后求解下面Cauchy 问题ufi 0（A 0）凶 A,0）=（2）比

11、r）二 T W由行波法求得：讥扎f）-I(.r4 7Z) + 中(X - af) + I (s)ds(3)如果希望上面的是问题（1）的解，为此就要求,即 Jit一卩*卡 0 卩兀一日“+ (s)ds. x a J3 Laplace 变换4-S定义1.7设 为定义在I上的函数，且积分（为复参变量）对复平面上某一范围收敛，则由这个积分所确定的函数称为的Laplace变换，即F( p) = f /(f) = /*e tkJu而函数的Lap lace逆变换为f(r)=匸样)2丄.(plcSp2jr“例用Laplace变换的方法解常微分方程。(f)+ j 0ty 0) u( (J. y) = y+ Iw(x,0) = 1解：令s对方程两边关于x