矩阵的各种运算详解

1、的线性运算定义1 设有两个宀矩阵:1和门1,矩阵与丄的和记作 丄-,规定为ll + ll 斫2 十 b2 - %十呵卄巧1 如十H 勺s+% n v m i*+ l 站 24 $测注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算两个同型矩阵的和， 即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵设矩阵记-力=（刑），称，为矩阵的负矩阵，显然有z+H）=o.由此规定矩阵的减法为上-养+（-切定义2数I与矩阵A的乘积记作 d或.，规定为%）.它满足下列运算规律:褊1 娅 *% %数与矩阵的乘积运算称为数乘运算矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算都是同型矩阵，左丿是常数，则一一U ；（4）一

2、，一上（8）和上+m fK注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算、矩阵的相乘定义3 设&血九片=（口“）鬧屮=L疗匸伽从=虹血曲总泌务“31九矩阵上与矩阵父的乘积记作 几8,规定为其中 mm ：-，记号丄 常读作左乘丄或丄右乘注：只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能进行乘法运算若J-.：，则矩阵/的元素；即为矩阵的第.行元素与矩阵!的第列对应元素乘 积的和即V偽=（和如细;牛矩阵的乘法满足下列运算规律（假定运算都是可行的）:（j! + 5）CUC+BC;C（H + BC4 +阴（1）（2）（3）（4）注：矩阵的乘法一般不满足交换律2 4-2A=例如，设3匸24、广

3、24人5-3丁_3;“ 93则BA而于是丄J广】且从上例还可看出：两个非零矩阵相乘或 L .此外，矩阵乘法一般也不满足消去律广24匚2 V5小-3讥1 .占0 0;,可能是零矩阵，故不能从 AB=O 必然推出A=qo3AC=则但定义4如果两矩阵相乘，有qJqJ，即不能从一一一必然推出一例如，设4/2Y13JO 0J 卫 0J I。4八0 0BCt则称矩阵A与矩阵B可交换简称A与B可换. 注：对于单位矩阵亠，容易证明云更儿讥一儿:-a AfgEji _盘椒a，或简写成EA=AE=A可见单位矩阵.在矩阵的乘法中的作用类似于数1.更进一步我们有命题1设丄是一个n阶矩阵，则丄是一个数量矩阵的充分必要条

4、件是丄与任何n阶矩阵可换。命题2 设i均为n阶矩阵，则下列命题等价：（1）丄-二】（2）I（3）甘貯（4）丿一上-二 IA-三、线性方程组的矩阵表示 设有线性方程组询+嘟+洛f 旳闷+码円+&M厂见若记巾11a21 a22 叮%Iff,X-3VII,b =V V VAi务帖知內十务已4+务必厂片，则利用矩阵的乘法,线性方程组（1）可表示为矩阵形式：AX=h其中矩阵上称为线性方程组（1）的系数矩阵.方程又称为矩阵方程. 如果二二二“是方程组 的解，记列矩阵则J 1 u，这时也称一1是矩阵方程（2）的解；反之,如果列矩阵一1是矩阵方程（2）的解,即有矩阵等式 !=成立，贝一丄 即I宀丄.也是线性方

5、程组（1）的解.这样,对线性方程组（1）的讨论便等价于对矩阵方程（2）的讨论.特别地，齐次线性方程组可以表示为1=0.将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利四、矩阵的转置定义6把矩阵上的行换成同序数的列得到的新矩阵，称为的转置矩阵，记作】（或二）.即若11如兔/卫=% a220 Sd % 11如护二 13 a22 % V 1 V 1 Vla %务紗.矩阵的转置满足以下运算规律（假设运算都是可行的）：川习二厂乩u五、方阵的幕定义5 设方阵；，规定Xt/=,止兀iR炳自然数.1称为上的卜次幕方阵的幕满足以下运算

6、规律（假设运算都是可行的）：,7 -.注：一般地苑.亠“丫： 为自然数命题3设均为n阶矩阵， AB= BA,则有（虫那=护叭用为自然数，反之不成立。六、方阵的行列式定义7 由阶方阵上的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）,称为方阵上的行 列式,记作-1或七二注：方阵与行列式是两个不同的概念，阶方阵是个数按一定方式排成的数表 ，而阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值（实数或复数）方阵上的行列式 满足以下运算规律（设为1阶方阵，一为常数）：.；二-I：7.站进一步二施1七、对称矩阵定义8设为阶方阵,如果即% = （ij=l,2rny则称为对称矩阵. 显然，对称矩阵的元素关于主对角线

7、对称.例如105丿均为对称矩阵如果则称为反对称矩阵八、共轭矩阵定义9设 虫=（如 为复（数）矩阵，记其中亠表示臂的共轭复数,称二为A的共轭矩阵共轭矩阵满足以下运算规律 （设： 为复矩阵,!为复数,且运算都是可行的）:（1） 一- ：（2） ：.-（3）U.例题选讲：矩阵的线性运算n阶数量矩阵0 3、2-2-1 0Cl23p432-PA=03i,B5-3D1已知/03J2-5a Jr3J2fl5-24、4157gB=5197已知J462-1f-，且,求二上例1 （讲义例1）-儿二二求（讲义例2）（讲义例3）例4设，. 义，BA也有意义；但J,个 1x3 矩阵，B是 3x1 矩阵，因此AB有意AB

8、 = (1, 6 4)= 1x1+0x14-4x0 = 1,a代1 ,B=Lo(2)IaJ$ JkAI=(3)an /v勺A丿n、川、w,生产甲、乙、丙三种产品,矩阵A矩阵B表示各种产品的单位价格（元）及单位利润例6 （讲义例4）某地区有四个工厂I、 表示一年中各工厂生产各种产品的数量 ， （元）,矩阵C表示各工厂的总收入及总利润沧111 an G 訂 InrIV甲B=乙,丙单位单位价格利润总收入IIIIIIV总利润fl 0 4BA =1(1 0, 4)=1x11x01x4=1 0 40x1 0x0 0x4;o 0 0丿oaafkax、k %;，则(1)例5设（这种记法表示主对角线以外没有注明

9、的元素均为零）旳+ 3a3 +b2因此地屈二 24 二（-2）（-12）二邮|其中,&卫-1亠是第.个工厂生产第卜种产品的数量别是第种产品的单位价格及单位利润，j及5 一山匚 分别是第.个工厂生产三种产品的总收入及总利润.则矩阵的元素之间有下列关系：如如+知妇1 + djjtji 如血+兔也空+戏1333cn 6122111 + 旳曲1 + 2331 席21 如 + 位朮22 + 2333Si C22111 +冬!如+他心1+ a3322 +皿曲】C3l C32总收入总利润其中即八C=AB.（讲义例（讲义例勺00010000I00（讲义例5）求与矩阵6）证明：如果 二川则有U + 町Cpl+型 （AB）CCAB）.12可交换的一切矩阵.10 (1)设，1-12 2-13205-i014-11-325- 3b，则41F为二阶矩阵7）解矩阵方程月二OX1At =，则Li例11 （讲义例8）已知r2,1-12(求.q o -rJ 2 1 3Z =2 1 0B =03 1例13设3 2 -1,?J 0 2求二.例12（讲义例9）设则= -12B =r-2 1-2 1-