双曲线的标准方程及其几何性质

1、双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质1双曲线的定义：平面内与两定点Fi、F2的距离差的绝对值是常数 (大于零，小于丨F1F2I )的点的轨迹叫双曲线。两定点Fi、F2是焦点，两焦点间的距离|F1F2 |是焦距，用2c表示，常数用2a表示。(1) 若丨MF | - | MF | =2a时，曲线只表示焦点 F2所对应的一支双曲线.(2) 若| MF | - | MF | =-2 a时，曲线只表示焦点 Fi所对应的一支双曲线.(3) 若2a=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以Fi、F2为端点向外的两条射线.x2 若2a >2c时，动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方

2、程：2 2X - y =1( a > 0,b > 0)表示焦点在x轴上的双曲线;2 .2a b2b2=1( a > 0,b > 0)表示焦点在y轴上的双曲线判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上3.双曲线的简单几何性质:标准方程2 2x y22 1 ( aA0,bA0 )a by x2=1 ( a > 0,b >0 )a b图象J米a, b,c关系a2 +b2 = c2范围|x|a,yE R|y Aa, x运 R顶点(土a,0)(0, 士a)对称性关于x,y轴成轴对称、关于原点成中心

3、对称渐近线ydxa.a离心率e=£(>1)a焦占八'、八、F(土c,0)F(0, 土c)等轴双曲线：x2-y 2= a2( a丸)，它的渐近线方程为y = ±<,离心率e= J"2 4.直线与双曲线的位置关系， 可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的 个数来确定。(1)通常消去方程组中变量 y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一 元二次方程的判别式 匚，则有：匚0=直线与双曲线相交于两个点；0= 直线与元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平双曲线相交于一个点；丄：0= 直线与双曲线无交点.（2）若得

4、到关于x（或y）的行于双曲线的一条渐近线.（3）直线l被双曲线截得的弦长AB =J(1 + k2)(X1 _X2)2 或 J (1十責)(y2)2，其中 k是直线I的斜率，（xi , yi） ,（X2 , y2）是直线与双曲线的两个交点A , B的坐标，且2 2(Xi _x2) = (x1 x2) -4x1x2 , x1 x2 , x1x2 可由韦达定理整体给出.二、例题选讲例1、中心在原点，焦点在 x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为（）A . x2 y2= 1 B. x2 y2 = 2C. x2- y2=2D. x2-y2=I2解析：由题意，设双曲

5、线方程为 拿2a= 1(a>0)，则 c= . 2a,渐近线 y= x, a二迄，二a2= 2.双曲线方程为x2 y2 = 2.答案：B例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.5（1）过点P（3,2），离心率e二2Fi、F2是双曲线的左、右焦点,P是双曲线上一点，双曲线离心率为由e，2由点P（3, -.2）在双曲线上,又 a2 b2由、得a2=1 ,若双曲线的实轴在 y轴上，设2 X 2 a2每=1为所求.b29.12 . 2 ?a b2 2 2 2 a b = c .解之，得b17（不合，舍去）.2F1PF2 =60 , S PF1F2 =12.3 .解：（1）依题意，双曲线的实

6、轴可能在x轴上，也可能在 y轴上，分别讨论如下.22如双曲线的实轴在 x轴上，设冷-爲=1为所求.双曲线的实轴只能在 x轴上，所求双曲线方程为x2-4y2=1a b22（2）设双曲线方程为笃ac因 F| F? = 2c ,而 e = =2 ,a由双曲线的定义，得|PFJ_|PF2| =2a=c 由余弦，得2 2(2c)2=|PF +|PF2 -2 PF, PF2 cosNF.PF? =(|PF 卜 |PF2+2|PF同。cos60°),二 4c2 =c2+|PFPF2 又 S苗F2 =*|PFi PF2 si门60。= 12%/3，二 |PF, PF2 =48 .2 2二 3c2 =

7、48 , c2 =16，得 a2 =4 , b2 =12 .二所求双曲线的方程为 - 1 412三、巩固测试题1 到两定点F1 -3,0、F2 3,0的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹 （D ）A.椭圆B.线段C.双曲线D.两条射线2 22.方程x . y=1表示双曲线，则k的取值范围是(D)1+k 1kA .-1:：: k ：1B. k 0C.k _0D.k . 1 或 k ： -123.双曲线2x2y1的焦距是(C)m2 十124 -mA. 4B. 2、一 2C.8D.与m有关2 2224.若 0 : k : a，双曲线 r - 一-1与双曲线x2y21 有(D)a k b kabA.相

8、同的虚轴B.相同的实轴C.相同的渐近线D.相同的焦点2 25.过双曲线- y 1左焦点F1的弦AB长为6,则：ABF2 （ F2为右焦点）的周长是（A ）169A. 28B22.22C. 14D. 126.双曲线y y = 1412的焦点到渐近线的距离为( )A. 2 3B. 2C. 3D . 12 2解析：双曲线X-器=1的焦点为（4,0）或（-4,0）. 渐近线方程为y = £x或y= J3x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d=2 27.以椭圆- y1的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的曲线的方程为（）A852 2xy2 x2y 2 x2y2 x2yA .1B

9、 .1C .1D .135531381358 .过点P(4'4)且与双曲线計卷=1只有一个交点的直线有B. 2条解析:如图所示，满足条件的直线共有 3条.9.经过两点A( -7, -6、2), B(27,3)的双曲线的方程为2X A .7521252 2B . 17525C.212575X22X1257510.已知双曲线的离心率为焦点是(-4,0),(4,0)，则双曲线方程为2A. X_42y=1 B .12X2X212102y=1 D .6X22乂 = 110X211 .已知P是双曲线-162丫 1上的一点,9F1,F2是双曲线的两个焦点,且.F1PF2 =120则 PF1F2的面积

10、为A . 16.3 B.9.3.4： 3 D . 3.32212 .双曲线 25x -16y =400, 焦点坐标为的实轴长等于 ，虚轴长等于，渐近线方程为2 213 .直线y =x 1与双曲线-y 1相交于A,B两点，则AB =23，顶点坐标为，离心率等于12 . 4、6214过点M(3T且被点M平分的双曲线“的弦所在直线方程为13. 3x 4y -5 =0 15 .双曲线mx2 y2 =1的虚轴长是实轴长的 2倍，贝U m二222X2双曲线mx y 1的虚轴长是实轴长的 2倍， m<0,且双曲线方程为y =1 ,4m= _丄。4厂2216 .已知双曲线的离心率e-5，且与椭圆-+ 3

11、 = 1有共同的焦点，求该双曲线的方程.213 3解：在椭圆中，焦点坐标为(±.10, 0), c= 10,又 e=, a= 8, bx 21'y 1 = 2.*a a 22 2双曲线方程为82 = i.2w17已知R、F2是双曲线y2 =1的两个焦点，点P在双曲线上且满足 / F!PF90 ,4求：F1PF2的面积.X22解：/ P为双曲线y2 =1上的一个点且F1 . F2为焦点.4PFi - PF2| = 2a = 4, F|F2 = 2c = 2V5NF1PF90 在 RUPF1F2 中，PR 2+| PF2 2 =| RF2 2 = 20-吓丘卜 PF?律 PF12

12、+|PF2 2-2PF1|PF2 =16 , . 20-2PFPF2|=16 , PF1 FF2 =21 S 缶PF： =2PF1 PF2 =18. 已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-,30),右顶点为D(2,0),设点 AI1,1 .I 2丿(1)求该椭圆的标准方程;(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程;2218.(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c= .3则半短轴b=1.又椭圆的焦点在x轴上,椭圆的标准方程为 设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x 0,y 0),X0=2x 1x°1x=1 得 Yy=-y0=2y

13、-2由，点P在椭圆上，得2(2x1)4(心)2=1,线段PA中点M的轨迹方程是(X -丄)2 4(y-丄)2=1.2419. 已知椭圆C的焦点Fi (- 2罷,0)和F2 ( 2罷,0),长轴长6,设直线y = x + 2交 椭圆C于A、B两点，求线段 AB的中点坐标。解：由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中c= 2. 2 ,a=3,从而b=1,所以其标准方程是：-22乞+ 2Z + y2=1.联立方程组+ y 二1,消去 y 得，10x2 +36X+27 =0.y = x 218Xj + x2 9设 A(x1,y1),B(X2,y2),AB 线段的中点为M(xo,yo)那么：为x?,x

14、76;=-：52519 1所以y0=x0+2= .也就是说线段 AB中点坐标为(-9 ,-).55 520. 求两条渐近线为 x _2y =0且截直线x - y - 3 = 0所得弦长为 8工 的双曲线方程。3 解:设双曲线方程为x2-4y2= ._L x2-4y2= 联立方程组得：y，消去y得，3x2-24x+(36+ - )=0I x - y -3 = 0X" + x? = 836 + ,设直线被双曲线截得的弦为AB ,且A( X1, y1),B( X2, y2),那么：X1X2 =I 23 : =24 12(36)0那么：|AB|= (1 疋)(儿 X2)2 -4X1X2(1

15、1)(82 -4 363')=.8(1y2解得： =4,所以，所求双曲线方程是：-y1421.中心在原点，焦点在 x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点，且IF1F2 2 . 13，椭圆的半长轴与双曲线的半实轴之差为4,离心率之比为3 : 7。(1) 求这两条曲线的方程；(2) 若P为这两条曲线的一个交点，求 cos F1PF2的值。21、解：(1)设椭圆的方程为2 2笃-冬-1，半焦距为c13 ,a； b；2 2笃每=1,双曲线方程为a b1由已知得:a1 _ a22/_CU182=4-7印=7 n丿=3/7 ib = 6故两条曲线分别为:2222xyxyd1及149 3694(2)设一