微积分上机作业

1、微积分上机实验报告学生系别: 学生专业: 学生班级: 学号姓名: 指导老师:2012年5月28号选作第2题、第6题2、题目：(数值积分)人造地球卫星的轨道可视为平面上的椭圆，地心位于椭圆的一个焦点处.已知一颗人造地球卫星近地点距地球表面 439 km远地点距地球表面2384 km,地球半径为6371 km求该卫星的轨道长度.2 2卑 £ =1 (焦点在X轴)。函数每给X 一个值都有唯一的一个值与a b之对应，而椭圆确有2个值，所以椭圆不属于函数，故将椭圆分为上下两部分，上下两部分分别为算法：椭圆的标准方程:函数，先求出上半椭圆的长度，再乘两倍既是椭圆的长度。2 2电乂 = 1 (y&

2、gt;=0),两边对x求导有:a b上半椭圆方程:2-b x =f (x) = -ba y构造上半椭圆的弧微分ds二-J f '2(x)二v 4b2，作为积分微元。采用数值积分的方法,a a x通过for循环语句在积分域内构造很多个小长方形，以这些长方形面积之和代替积分数值。当步长很小，长方形个数很多时，长方形面积之和则很接近这个积分的数值。运用C语言编写程序，定义数值积分函数，采用 for循环语句，依据精度的不同设置不同的步长,依次求和，即可计算出近似结果，得到椭圆长度。 在编写程序之前，计算椭圆的长半轴和焦距的一半的长度：长半轴 a=(439+2384+6371*2)/2=7782

3、.5焦距的一半 c=a-6371-439=972.5短半轴 b=a*a-c*cC 语言源程序：#include<stdio.h> #include<math.h>#define a 7782.5#define c 972.5#define b sqrt(pow(a,2)-pow(c,2)#define n 1.0e-3main()double L=0,x,f;for(x=-99999*a/100000;x<a;x+=n) f=sqrt(1+pow(b,2)*pow(x,2)/(pow(a,4)-pow(a,2)*pow(x,2);L=L+f*n;L=L*2;pri

4、ntf(" 卫星的轨道长度为 :");printf("%lfn",L);结果：分析：对于这个程序，当 x 取值到 -a 时，积分微元的分母为零，对应的 y 值为 0，所以在程序中， x 最初 取值为-99999*a/100000。当这个值越接近-a时，计算出来的值越接近真实值。同时，在程序中， 步长越小，分出的小矩形越多，计算出的值越接近真实值。但是随着步长的减小，运算量会增加， 运算时间也会增长，例如，本程序中 n=1.0e-3 ，如果取 n=1.0e-4 时，运算时间大大加长，这是该 程序的不足之处。6题目：（最小二乘法）（1）假设t时刻人口增长速度

5、与t时刻人口总数p（t）成正比，比例系数为k,求t时刻人口总数。（2）据统计，六十年代人口增长情况如下表:年196019611962196319641965196619671968人口（百万）297230613151321332343285335634203483试求出最佳拟合曲线，并预测2020年时的世界人口（3）能否用该模型作长期人口预报？为什么？怎样改革该模型？kt+b解：（1）p=e（2）y=logp=kt+b，即能体现线性关系，通过最小二乘法建立经验公式，通过MATLAB件可求出该直线方程。算法：1、首先画出散点图；2、其次观察图中点的分布规律，确定为线性关系，求出函数表达式；n23

6、、 最后求出f（t）与测量值y j的偏差的平方和Q='（f（tj）_yj）i =1令Q取最小值，便可确定f （t）表达式中的未知参数，从而得到f （t ）。函数关系：y=kt+b，其中常数k，b待定。由最小二乘法知，问题变为求二元函数Q （k，b）9 2八（ktb-yj的最小值。i吕j利用多元函数极值的必要条件，得¥=2（kti by） ti=0Q 9¥=（" b"） =0整理化简，得唯一驻点 k=0.0186，b=-28.4331依据问题的实际意义，Q （k，b）定有最小值，且驻点唯一，所以（0.0186，-28.4331 ）为Q （k，0.0

7、186t-28.4331b）的最小值点，所求经验公式 y=0.0186t-28.4331 ，p=Q9.1389当 t=2020 时，y=9.1389，则 p=eMATLAB?序：先编写程序得到最佳拟合曲线（此为程序截图）：通过plot函数得到图形：所得图形趋近于一条直线，直线方程：y=kx+b。接着编写程序，通过polyfit函数得到线性方程的一次项系数和常数项值(此为程序截图)：y=kt+b 其中 k=0.0186b=-28.4331即 y=0.0186t-28.4331当 t=2020 时，y=9.1389，贝U p二©89预测2020年时的世界人口为e9.1389人。(3)不能用该模型作长期人口预报，因为没有考虑到其因素的影响，比如说经济因素、文化因素、医疗卫生因素、自然资源因素等。可以采用下列模型，或其综合：逻辑斯蒂克人口模型：以Nm记自然资源和环境条件所能允许的最大人口数。把人口增长的速 率除以当时的人口数称为人口的净增长率。人口的净增长率随着N(t)的增加而减小，且当N(t) > Nm时，净增长率趋于零。因此人口方程可写成：其中r为常数。模型(8.2 )称为逻辑斯蒂克人口模型。人口模型应当包含对人口产生主要影响的因素：生育率、死亡率、年龄结构、男女比例。建立Leslie人口模型，充分反应生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人