利用MATLAB绘制系统根轨迹

1、第4章利用MATLAB绘制系统根轨迹一、利用MATLAB绘制系统根轨迹相关知识假设闭环系统中的开环传递函数可以表示为：KG°G)G&)=尺 s'" + 叶' +5 = k 竺!=尺(s + B)G + Z2)G + S)=Ks" + q$"T +. + an_S + an den (s + 戸)(s + 必)G +则闭环特征方程为： + K = 0den特征方程的根随参数K的变化而变化，即为闭环根轨迹。控制系统工具箱中提供了 rlocusO函数，可以用来绘制给左系统的根轨迹，它的调用格式有以下几种：rlocus(num, den)

2、rlocus(num, den, K)或者rlocus (G)rlocus(G, K)以上给泄命令可以在屏幕上画岀根轨迹图，貝中G为开环系统Go(s)的对象模型,K为用 户自己选择的增益向量。如果用户不给岀K向量，则该命令函数会自动选择K向量。如果在 函数调用中需要返回参数，则调用格式将引入左端变量。如R, K=rlocus(G)此时屏幕上不显示图形，而生成变量R和K。R为根轨迹各分支线上的点构成的复数矩阵，K向量的每一个元素对应于R矩阵中的一 行。若需要画岀根轨迹，则需要采用以下命令：plot(R> 11)plot()函数里引号内的部分用于选择所绘制曲线的类型，详细内容见表1。控制系统

3、工 具箱中还有一个rlocfind0函数，该函数允许用户求取根轨迹上指左点处的开环增益值， 并将该增益下所有的闭环极点显示出来。这个函数的调用格式为：K, P二rlocfind (G)这个函数运行后，图形窗口中会岀现要求用户使用鼠标左位的提示，用户可以用鼠标左 键点击所关心的根轨迹上的点。这样将返回一个K变量，该变量为所选择点对应的开环增益, 同时返回的P变量则为该增益下所有的闭环极点位巻。此外，该函数还将自动地将该增益下 所有的闭环极点直接在根轨迹曲线上显示出来。例4.1已知系统的开环传递函数模型为：Ks(s + l)($ + 2)=KG°(s)利用下而的MATLAB命令可容易地验

4、证出系统的根轨迹如图4-1所示。» G=tf(l, conv(l, lf 1,2),0);rlocus(G);gridtitle(' Root_Locus Plot of G(s)=K/s(s+1)(s+2)1) xlabeH1 Real Axis1)%给图形中的横坐标命名。ylabel Imag Axis1)%给图形中的纵坐标命名。K, P=rlocfind(G)用鼠标点击根轨迹上与虚轴相交的点，在命令窗口中可发现如下结果 select_point=0. 0000+1. 39211K=5. 8142P 二-2. 29830-0. 0085+1.3961i-0. 0085-1

5、.3961i所以，要想使此闭环系统稳定，英增益范围应为0<K<5.81.参数根轨迹反映了闭环根与开环增益K的关系。我们可以编写下而的程序，通过K的变 化，观察对应根处阶跃响应的变化。考虑K二0.1, 0.2, ,：!, 2,5,这些增益下闭环系统的 阶跃响应曲线。可由以下MATLAB命令得到。» hold off; %擦掉图形窗口中原有的曲线。Real Axis4 3 2 10SRCSE-3图4-1系统的根轨迹t=0:0. 2:15;Y二;for K=0. 1:0. 1:1,2:51GK=feedback(K*G, 1);y=step(GK,t);Y二Y, y;endpl

6、ot (t, Y)对于for循环语句，循环次数由K给出。系统画岀的图形如图4-2所示。可以看出，当 K的值增加时，一对主导极点起作用，且响应速度变快。一旦K接近临界K值，振荡加剧， 性能变坏。2图4-2不同K值下的阶跃响应曲线4. MATLAB绘图的基本知识通过以上实例的应用，我们已初步尝试了 MATLAB的绘图功能。MATLAB具有丰富的获 取图形输出的程序集。我们已用命令plotO产生线性x-y图形(用命令loglog. semilogx. semi logy或polar取代命令plot,可以产生对数坐标图和极坐标图)。所有这些命令的应用 方式都是相似的，它们只是在如何给坐标轴进行分度和如

7、何显示数据上有所差别。(1 )二维图形绘制如果用户将X和Y轴的两组数据分别在向量x和y中存储，且它们的长度相同，则命令 plot (x, y)将画出y值相对于x值的关系图。例4.2如果想绘制出一个周期内的正弦曲线，则首先应该用t=0:0.01:2*pi (pi是系 统自左义的常数，可用help命令显示英左义)命令来产生自变量t：然后由命令y=sin(t) 对t向量求出正弦向量y,这样就可以调用plot(t,y)来绘制出所需的正弦曲线，如图4-3 所示。图4-3 个周期内的正弦曲线(2) 一幅图上画多条曲线。利用具有多个输入变量的plot()命令，可以在一个绘图窗口上同时绘制多条曲线， 命令格式

8、为：plot(xl» Yl, x2, Y2» » xn, Yn)xl. Yl、x2、Y2等一系列变量是一些向量对，每一个x-y对都可以用图解表示出来， 因而可以在一幅图上画出多条曲线。多重变量的优点是它允许不同长度的向量在同一幅图上 显示出来。每一对向量采用不同的线型以示区别。另外，在一幅图上叠画一条以上的曲线时，也可以利用hold命令。hold命令可以保持 当前的图形，并且防止删除和修改比例尺。因此，后来画出的那条曲线将会重叠在原曲线图 上。当再次输入命令hold,会使当前的图形复原。也可以用带参数的hold命令一一hold on 和hold off来启动或关闭

9、图形保持。(3) 图形的线型和颜色为了区分多幅图形的重叠表示，MATLAB提供了一些绘图选项，可以用不同的线型或颜 色来区分多条曲线，常用选项见下表4-1表4- 1 MATLAB绘图命令的多种选项选项意义选项意义f _,实线1f短划线>f虚线/_ f点划线'r'红色用星号绘制各个数据点'b'蓝色'o'用圆圈绘制各个数据点s'绿色/f用圆点绘制各个数据点'yz黄色'xr用叉号绘制各个数据点表4-1中绘出的各个选项有一些可以并列使用，能够对一条曲线的线型和颜色同时作出 规泄。例如-g,表示绿色的短划线。带有选项的曲线绘制

10、命令的调用格式为：plot (XI, Y1,S1,X2,Y2,S2,)(4) 加进网络线、图形标题、x轴和y轴标记一旦在屏幕上显示出图形，就可以依次输入以下相应的命令将网络格线、图形标题、X、 y轴标记叠加在图形上。命令格式如下：grid(网络线)title(f图形标题')xlabel ( ' x 轴标记')ylabel (' y 轴标记)函数引号内的字符串将彼写到图形的坐标轴上或标题位置。(5) 在图形屏幕上书写文本。如果想在图形窗口中书写文字，可以单击按钮A|,选择屏幕上一点，点击鼠标，在光 标处输入文字。另一种输入文字的方法是用textO命令。它可以在屏幕

11、上以(x,y)为坐标 的某处书写文字，命令格式如下：text (x, y, f text * )例如，利用语句text(3, 0.45, ' sint')将从点(3, 0.45)开始，水平的写出“sint”。(6) 自动绘图算法及手工坐标轴定标在MATLAB图形窗口中，图形的横、纵坐标是自动标泄的，在期一幅图形画岀之前，这 幅图形作为现行图将保持不变，但是在另一幅图形画出后，原图形将被删除，坐标轴自动地 重新标左。关于瞬态响应曲线、根轨迹、伯徳图、奈魁斯特图等的自动绘图算法已经设计出 来，它们对于各类系统具有广泛的适用性，但是并非总是理想的。因此，在某些情况下，可 能需要放弃绘

12、图命令中的坐标轴自动标卫特性，由用户自己设立坐标范国，可以在程序中加 入下列语句：v=x-min x-max y-min y-maxaxis(v)式中v是一个四元向量。axis(v)把坐标轴泄标建立在规左的范帀内。对于对数坐标图，v 的元素应为最小值和最大值的常用对数。执行axis(v)会把当前的坐标轴标泄范围保持到后面的图中，再次键入axis可恢复系 统的自动标定特性。Axis(r sguare')能够把图形的范围设左在方形范用内。对于方形长宽比，英斜率为1 的直线恰位于45°上，它不会因屏幕的不规则形状而变形。Axis(' normal')将使长宽比恢 复

13、到正常状态。二、附录利用MATLAB绘制系统根轨迹的一些其它实例例4.3已知知-单位反馈系统开环传函为G(s) = k ye亠R(s鳥(1 + 2s + 2)试在根轨迹上选择一点，求岀该点的增益k及其闭环极点的位置，并判断在该点系统的稳左 性。程序：num二1,3;den=conv(conv(conv(l 0JJ1 5),1 6),1 2 2);rlocus(numden);(k,poles=rlocfind(sys);range=33:l:37f;cpole=rlocus(num,den,range);range,cpole结果：selected_point = -5.3780 - 0.04

14、76ians =Columns 1 through 533.0000-5.5745 + 0.66971 -5.5745 - 0.66971-1.7990-0.0260 + 1.3210134.0000-5.5768 + 0.6850i -5.5768 - 0.68501-1.8154-0.0155+ 1.3340i35.0000-5.5791 + 0.70011 -5.5791 - 0.700 li-1.8313-0.0052+1.3467136.0000-5.5815 + 0.7147i -5.5815 - 0.7147i-1.84660.0048+ 1.359 li37.0000-5.5838 + 0.72911 -5.5838 0.729li -1.86150.0146+ 1.3712iColumn 6-0.0260 1.321 Oi-0.0155- 1.3340i-0.0052- 1.3467100146- 1.3712i例4.4已知带有延迟因子的系统开环传递函数为:s(s + l)(0.5s + l)1）试绘制根轨迹图：2）求系统临界稳立时根轨迹增益：3）求系统k=0.5时单位阶跃响应曲线。 程序：nl=l；