循环冗余校验码

1、循环冗余校验码（CRC）的基本原理 循环冗余校验码（CRC）的基本原理：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。 校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2R，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。 几个基本概念 1、多项式与二进制数码 多项式和二进制数有

2、直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。 多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。 如生成多项式为G(x)=x4+x3+x+1， 可转换为二进制数码11011。 而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为C(x)=x3+x2+x+1。 2、生成多项式 是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。 在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错

3、误位置。 应满足以下条件： a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。 b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。 c、不同位发生错误时，应该使余数不同。 d、对余数继续做模2除，应使余数循环。 将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示： N           K           码距d&

4、#160;          G(x)多项式           G(x)7           4            3       

5、    x3+x+1            10117           3            4            x4+x3+x2+1  

6、0;       11101图9 常用的生成多项式 3、模2除（按位除） 模2除法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位做下一位的模2减。步骤如下： a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。 b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。 c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。 【例1】1111000除以1101： 1011商 1111000-被除数 1101 除数 010000 1101 01010

7、1101 111余数 CRC码的生成步骤 1、将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。 2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2R 3、用生成多项式（二进制数）对信息码做模2除，得到R位的余数。 4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。 【例2】假设使用的生成多项式是G(x)=x3+x+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。 解： 1、将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011。 2、此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文C(x)左移3（R）位变成1010000 3、用生成多项式对应的二进制数对左

8、移4位后的原始报文进行模2除： 1001-商 - 1010000 1011-除数 - 1000 1011 - 011-余数（校验位） 5、编码后的报文（CRC码）： 1010000 +          011 - 1010011 CRC的和纠错 在接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0,则码字无误。若如果有一位出错，则余数不为0，而且不同位出错，其余数也不同。可以证明，余数与出错位的对应关系只与码制及生成多项式有关，而与待测碼字（信息位）无关。图10给出了G(x)1011

9、，C(x)1010的出错模式，改变C(x)（码字），只会改变表中码字内容，不改变余数与出错位的对应关系。 如果循环码有一位出错，用G(x)作模2除将得到一个不为0的余数。如果对余数补0继续除下去，我们将发现一个有趣的结果；各次余数将按图10顺序循环。例如第一位出错，余数将为001，补0后再除，第二次余数为010，以后依次为100，0ll，反复循环，这就是“循环码”名称的由来。这是一个有价值的特点。通信与网络中常用的CRC 在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC码产生r位的校验位。它只能检测出错误，而不能纠正错误。一般取r=16，标准的16位生成多项式有C

10、RC-16x16+x15+x2+1 和 CRC-CCITTx16+x15+x2+1。 一般情况下，r位生成多项式产生的CRC码可检测出所有的双错、奇数位错和突发长度小于等于r的突发错以及（1-2-(r-1)）的突发长度为r+1的突发错和（1-2-r）的突发长度大于r+1的突发错。例如，对上述r=16的情况，就能检测出所有突发长度小于等于16的突发错以及99997%的突发长度为17的突发错和99998%的突发长度大于17的突发错。所以CRC码的检错能力还是很强的。这里，突发错误是指几乎是连续发生的一串错，突发长度就是指从出错的第一位到出错的最后一位的长度(但是，中间并不一定每一位都错)。 【例3

11、】某循环冗余码（CRC）的生成多项式 G(x)x3+x2+1，用此生成多项式产生的冗余位，加在信息位后形成 CRC 码。若发送信息位 1111 和 1100 则它的 CRC 码分别为A和B。供选择的答案 A： lllll00           1111101           1111110        

12、0;  1111111B： 1100100          1100101           1100110           1100111解：A：G(x)1101，C(x)1111 C(x)*23÷G(x)1111000÷11011011余111得到的CRC码为1111

13、111B：G(x)1101，C(x)1100 C(x)*23÷G(x)1100000÷11011001余101得到的CRC码为1100101【例4供选择的答案： A： 水平垂直奇偶校验                        循环求和         &

14、#160;                 循环冗余                           正比率 B： 模2除法    &#

15、160;                   定点二进制除法                      二十进制除法        

16、;            循环移位法 C： 可纠正一位差错                                                   可检测所有偶数位错 可检测所有小于校验位长度的突发错                     可检测所有小于、等于校验位长度的突发错 E： 3/7