【KS5U解析】湖北省荆州市沙市中学2020届高三下学期5月第三次模拟数学（文）试题 Word版含解析

1、湖北省荆州市沙市中学2019-2020学年高三第三次模拟考试文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由集合，集合求即可.【详解】解:由集合，集合，则,故选:b.【点睛】本题考查了集合交集的运算，属基础题.2.已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为（ ）a. b. -2c. d. 2【答案】b【解析】分析】根据复数除法的四则运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，整理出复数代数形式的标准形式，得到答案.【详解】.故选：b【点睛】本题考查复数

2、的基本概念和复数的四则运算，属于基础题.3.中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法.某大学开设这四门课供学生选修，男生甲选其中三门课进行学习，已知他选修了京剧，则他选修书法的概率为( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先求出4门课程里选3门课程（京剧已选）的基本事件的个数，再求出从4门课程里选3门课程他选修了京剧，且选修书法的基本事件的个数，然后结合古典概型的概率公式求解即可.【详解】解：因为4门课程里选3门课程（京剧已选），再从剩下的3门课程中选2门即可，共有京剧，武术，中医，京剧，武术，书法，京剧，中医，书法3种不同的选择，又从4门课程里选3门课程他选修了京剧，且选修书法

3、共有京剧，武术，书法，京剧，中医，书法 2种不同的选择，所以选书法的概率为，故选：d.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属基础题.4.已知，则的值为( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】将两边同时平方，再结合同角三角函数的关系及二倍角公式求解即可.【详解】解：因为，两边同时平方得，所以，所以，故选：c.【点睛】本题考查了二倍角公式，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题.5.设等差数列前项和为，若，则（ ）a. 13b. 15c. 17d. 19【答案】d【解析】【分析】因为，可得，从而求出，根据等差数列的性质可计算的值.【详解】因为，所以，即，解得，所以.故选：d【点睛

4、】本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列的通项公式，属于基础题.6.公元5世纪，我国古代著名数学家祖冲之给出了圆周率的两个近似分数值：（称之为“约率”）和（称之为“密率”）一几何体的三视图如图所示（每个小方格的边长为1），如果取圆周率为“约率”，则该几何体的体积为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】该图为三棱锥和半圆锥组成，按棱锥和圆锥的体积公式计算，体积公式中的代值计算时用计算即可.【详解】如图，组合体有半个圆锥与一个三棱锥放一起形成，所以故选：a.【点睛】本题考查由三视图还原几何体并求体积，考查棱锥和圆锥体积公式，考查新概念的理解，属于基础题.7.函数的图象可能是(

5、 )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再结合特殊变量对应的函数值的符号判断即可得解.【详解】解：由函数，则，所以为偶函数，又偶函数图像关于轴对称，所以b，d不正确，又因为，即c不正确，故选：a.【点睛】本题考查了偶函数图像的性质，重点考查了函数图像的对称性，属基础题.8.菱形中，点为线段的中点，则为( )a. b. 3c. d. 【答案】b【解析】【分析】先建系，再结合向量数量积的坐标运算求解即可.【详解】解：建立如图所示坐标系，所以，则，所以，故选：b.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题.9.数列的前项和为，满足，则( )

6、a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先由数列的递推关系可得当为奇数时，所以奇数项为以1为首项，2为公比的等比数列；当为偶数时，所以偶数项为以3为首项，4为公比的等比数列，再结合等比数列前项和的求和公式求解即可.【详解】解：由，当为奇数时，所以奇数项为以1为首项，2为公比的等比数列；当为偶数时，所以偶数项为以3为首项，4为公比的等比数列，所以，故选：a.【点睛】本题考查了等比数列前项和的求和公式，重点考查了等比数列的判断，属基础题.10.点在直线上，则实数的取值范围是( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先判断出点的轨迹，然后结合直线与圆的位置关系求解即可.【详解

7、】解：因为，所以的轨迹是半径为1的圆，直线恒过与圆有公共点，如图，临界为相切时刻，所以，故选：b.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.11.已知双曲线：的左右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的渐近线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】因为，所以点p在以为直径的圆上，且圆心为o，所以，已知， ，所以根据正切函数的二倍角公式可计算的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】，所以点p在以为直径的圆上，且圆心为o，又已知，.故选：d【点睛】本题考查求双曲线离心率，考查正切函数的二倍角公式，考查数形

8、结合的数学思想，属于中档题.12.设函数，若有两个零点，则的取值范围是( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先将表示为关于的函数，再利用导数求函数的值域即可得解.【详解】解：由可知，又，令，则，则函数在为减函数，在为增函数，又，故选：d.【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用导数求函数的值域，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】先求出函数的导函数，然后结合导数的几何意义求解即可.【详解】解：由，得，则，即当时，所以切线方程为：，故答案为：.【点睛】本题考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基

9、础题.14.设，满足约束条件，则的最小值是_【答案】2【解析】【分析】根据条件画出约束条件所表示的可行域，再利用几何意义求最值，的几何意义是轴上纵截距的2倍，所以只需求出在轴上纵截距的最小值，则可得出结果.【详解】如图，不等式组所表示的平面区域，令，移动此直线，当目标函数过取得最小，且故答案为：.【点睛】本题考查线性规划求最值问题，考查线性目标函数的几何意义，属于基础题.15.设抛物线：焦点为，斜率为正数的直线过焦点，交抛物线于，两点，交准线于点，若，则直线的斜率为_.【答案】【解析】【分析】先分别过，作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义有，然后再求解即可.【详解】解：分别过，作准线的垂线

10、，垂足分别为，则为中点，在中，设，则，故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线的定义，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题.16.如图，边长为4的正方形，为中点，为边上一动点，现将，分别沿，折起，使得，重合为点，形成四棱锥，过点作平面于.平面平面；当为中点时，三棱锥的体积为；为的垂心；长的取值范围为 .则以上判断正确的有_（填正确命题的序号）.【答案】【解析】【分析】对于，由面面垂直的判断定理即可判断；对于，利用等体积法求三棱锥的体积即可；对于，假设为垂心，则，平面，可得，又不恒为2，对于，沿将折到四边形内，即位置，此时沿翻折，由可得.【详解】解：对于，如图所示，所以折起后不变，平面，平面，

11、平面，平面平面，即正确；对于，当为中点时，即正确；对于，当运动时，若为垂心，则，平面，又，平面，即，又不恒为2，即不正确；对于，如图（3）沿将折到四边形内，即位置，此时沿翻折，如图，即正确，故答案为：.【点睛】本题考查了线与面的位置关系，重点考查了空间几何体的体积的运算，属中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角，的对边分别为，满足.（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理可

12、得，结合运算即可；（2）由余弦定理结合三角形的面积公式可得解.【详解】解：（1）由正弦定理可得，则；（2）由余弦定理可得，得，化简得，又，则，解得，或，所以三角形周长为.【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属基础题.18.如图，四棱锥，平面，底面梯形，为中点.（1）证明：直线；（2）若平面与棱交于，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明平面，再证明即可；（2）先证明为四棱锥的高，再结合棱锥的体积公式求解即可.【详解】证明：（1）证明：如图，连结，在中，易得，在中，又平面，又，平面，又平面，；（2）取中点，连结，在中，分别为，

13、中点，又，四点共面，即为平面与棱的交点；平面，又，平面，平面，为中点，又，平面，平面，即为四棱锥的高.【点睛】本题考查了线面垂直的判定及线线垂直的证明，重点考查了棱锥的体积的求法，属中档题.19.2019年春节前后，中国爆发新型冠状病毒（sars-cov-2）如图所示为1月24日至2月16日中国内地（除湖北以外的）感染新型冠状病毒新增人数的折线图，为了预测分析数据的变化规律，建立了与时间变量的不同时间段的两个线性回归模型.根据1月24日至2月3日的数据（时间变量的值依次为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11）建立模型：；根据2月4日至2月16日的数据（时间变量的值依次为12，13，1

14、4，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24）建立模型：.1月24日1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日1月30日1月31日2月1日2月2日2月3日12345678910113321742983374485936907377206489262月4日2月5日2月6日2月7日2月8日2月9日2月10日2月11日2月12日2月13日2月14日2月15日2月16日12131415161718192021222324830741693683559464431377377299259211160（1）求出两个回归直线方程；（计算结果取整数）（2）中国政府为了人民的生命安全，

15、听取专家意见，了解了病毒信息，并迅速做出一系列的隔离防护措施，但新冠状病毒在世界范围内爆发时，某些欧美国家采取放任的态度，不治疗、不隔离、不检测，甚至不公布，请你用以上数据说明采取一系列措施的必要性，不采取措施的后果.参考数据：，参考公式：.【答案】（1），；（2）见解析.【解析】【分析】（1）结合题设的参考数据及参考公式求回归方程即可；（2）利用回归方程，结合题设对应图像分析即可得解.【详解】解：（1）当时，所以模型：；当时，所以模型：；（2）由图可观察出除湖北外由于我国的隔离防护等一系列措施的实施，从2月3日以后新冠状病毒新增确诊病例出现了拐点，逐渐减少，呈下降的趋势，效果显著；假如不采取

16、措施，任由其发展，按模型的规律发展下去，在2月16日，即时，新增确诊病例预测为，是采取措施后的十几倍，所以任何国家和政府都应把人民生命财产安全放在首位.【点睛】本题考查了线性回归直线方程的求法，重点考查了阅读能力及对数据的处理能力，属基础题.20.函数，.（1）设是函数的导函数，求的单调区间；（2）证明：当时，在区间上有极大值点，且.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求出，再求出，然后解不等式，求解即可；（2）先利用零点定理证明为函数的极大值点，再构造函数，利用导数证明即可.【详解】解：（1）定义域为，则，令，由，在上单调递减，在上单调递增；（

17、2）由（1）可知在上单调递减，由，设，使得，即时，时，所以为函数的极大值点.，即，将代入整理得：，设，则，在上单调递减，所以当时，恒成立.【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用导数证明不等式恒成立，属中档题.21.已知椭圆：的离心率为，左右顶点分别为，右焦点为，为椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与轴交于点，过点作的平行线交轴与点，试探究是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点.【答案】（1）；（2）存在.【解析】【分析】（1）由当在轴时，面积最大，得，然后结合求解即可；（2）先设，求出点，的坐标，然后求出以为直径的圆的方程，再结合在椭圆上，代入方程

18、整理得圆的方程为，然后令，求解即可.【详解】解：（1）由题意知，当在轴时，面积最大，所以，又，联立，得，所以椭圆的方程为.（2）设，其中，则，所以直线的方程为，令，得，即，又，所以直线的方程为，令，得，即，所以，以为直径的圆的方程为：，又，且在椭圆上，所以，代入方程整理得圆的方程为，令，则，所以存在点，使得以为直径的圆恒过点.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，主要考查了圆的方程，重点考查了运算能力，属中档题.（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系（1）写出曲线的直