第四节广义积分初步ppt课件

1、第四节第四节 广义积分初步广义积分初步定积分存在的两个必要条件定积分存在的两个必要条件:(1)积分区间有限积分区间有限积分区间无限被积函数有积分区间无限被积函数有界界积分区间有限但被积函数无界积分区间有限但被积函数无界 广义积分广义积分(无穷积分无穷积分)(瑕积分瑕积分)(2)被积函数有界被积函数有界一一.无穷积分无穷积分abblimadxxf)(badxxf)(badxxf)(abalimbdxxf)(cdxxf)( cdxxf)(cdxxf)(一一.无穷积分无穷积分1.定义定义设设)(xf在在),a上连续上连续,取取 babdxxf)(lim存在存在,如果极限如果极限, ab 则称此极限值

2、为函数则称此极限值为函数)(xf在在),a上的无穷积分上的无穷积分.记作记作: adxxf)(此时也称无穷积分收敛此时也称无穷积分收敛,否则称无穷否则称无穷积分发散积分发散.ab 即即 adxxf)(babdxxf)(lim注注 (1)无穷积分的几何意义无穷积分的几何意义: 当当0)( xf时时 adxxf)(表示由曲线表示由曲线)(xfy 与直线与直线ax 和和x轴所围成的向右无限延伸的轴所围成的向右无限延伸的平面图形的面积平面图形的面积.xyoa)(xfy (2) adxxf)(的敛散的敛散性与性与a无关无关.2.定义定义设设)(xf在在,(b上连续上连续,取取 baadxxf)(lim存

3、在存在,如果极限如果极限, ba 则称此极限值为函数则称此极限值为函数)(xf在在,(b上的无穷积分上的无穷积分.记作记作: bdxxf)(此时也称无穷积分收敛此时也称无穷积分收敛,否则称无穷否则称无穷积分发散积分发散.ab 即即bdxxf)( baadxxf)(lim3.定义定义 设设)(xf在在),(上连续上连续,同时收敛同时收敛,假如假如则称它们的和为函数则称它们的和为函数)(xf在在),(上的无穷积分上的无穷积分.记作记作: dxxf)(此时也称无穷积分收敛此时也称无穷积分收敛,否则称无穷否则称无穷积分发散积分发散.c cdxxf)( cdxxf)(和和(某个实数某个实数)c为某个实数

4、为某个实数,即即dxxf)(cdxxf)(cdxxf)(例例1.讨论广义积分讨论广义积分 exxdx3ln的敛散性的敛散性.解解 exxdx3ln bebdxxx3ln1lim bebxdxlnln1lim3bebx)ln21(lim2 )21ln21(lim2 bb21 即广义积分收敛即广义积分收敛,值为值为.21dxx 0211dxx 0211dxx 211bbdxx0211limbbarctanlim20arctanx2xarctan)2(2bbx0arctanlimdxx 02110arctan x2)()(lim)()(aFxFxFdxxfxaa 例例2.讨论广义积分讨论广义积分dx

5、xp 11的敛散性的敛散性.解解 bpbdxx11lim故广义积分故广义积分 bpdxx11 1 pbln1 p)1(111 pbp 1 p1 p 1 p11 p 1 p时收敛时收敛,1 p时发散时发散.例例3.讨论广义积分讨论广义积分dxxx 21的敛散性的敛散性.解解dxxx 021而而 021limaadxxx02)1ln(21limaax )1ln(21lim2aa 即即dxxx 021发散，发散， 故故dxxx 21发散发散. dxxx21dxxx 021dxxx 021 02)1ln(21x例例 知知xxaxaxlimaxdxex224求常数求常数a的值的值1, 0aa(1993年

6、考研真题年考研真题8分分)解解xxaxaxlimxxxaxa11limaaxaaxxxaxa 11lim)(ae2 axdxex224 axdex222 axex222 axdxxe24aea222 axxde22aea222 axex22 axdxe22aea222 aea22 ae2 由由ae2aea222 aea22 ae2 得得1, 0aa?lim22xxex二二.瑕积分瑕积分badxxf)(badxxf)(ab a0limbadxxf)(badxxf)(ab b0limab cbadxxf)(bcdxxf)( cadxxf)(二二.瑕积分瑕积分1.定义定义设设)(xf在在,(ba上连

7、续上连续,且且 badxxf )(lim0存在存在,如果极限如果极限 )(limxfax则称此极限值为函数则称此极限值为函数)(xf在在上的瑕积分上的瑕积分. 记作记作: badxxf)(此时也称瑕积分收敛此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分否则称瑕积分发散发散.ab ,ba a即即 badxxf)( badxxf )(lim02.定义定义设设)(xf在在),ba上连续上连续,且且badxxf)(lim0存在存在,如果极限如果极限 )(limxfbx则称此极限值为函数则称此极限值为函数)(xf在在上的瑕积分上的瑕积分. 记作记作: badxxf)(此时也称瑕积分收敛此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分

8、否则称瑕积分发散发散.ab ,ba b即即badxxf)(badxxf)(lim03.定义定义设设)(xf在在,(),bcca 上连续上连续,并且并且假如假如,)(lim xfcx同时收敛同时收敛,则称它们的和为函数则称它们的和为函数)(xf在在上的瑕积分上的瑕积分. 记作记作: badxxf)(此时也称瑕积分收敛此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分否则称瑕积分 发散发散.ab ,ba c bcdxxf)( cadxxf)(和和即即badxxf)(bcdxxf)( cadxxf)(例例4.讨论广义积分讨论广义积分dxx 10211ln的敛散性的敛散性.解解因因 2111lnlimxx故故1 x是瑕

9、点是瑕点dxx 10211ln 102011lnlimdxx 100)1ln()1ln(limdxxx)2ln()2(ln22lim0 2ln22 即广义积分收敛即广义积分收敛,值为值为. 2ln22 例例5.讨论广义积分讨论广义积分dxxp 101的敛散性的敛散性.解解因因 pxx1lim0故故0 x是瑕点是瑕点)0( p 101lim dxxp故广义积分故广义积分 11 dxxp 1 p ln 1 p)1(111 pp 1 p1 p 1 pp 11 1 p时收敛时收敛,1 p时发散时发散.例例6.讨论广义积分讨论广义积分dxx 1121的敛散性的敛散性.解解因因dxx 0121dxx 10

10、21dxx 1121dxx 1121dxx 1021而而发散发散,故故发散发散例例7.断定断定dxxxx 212)11ln1(的敛散性的敛散性.解解因因)11ln1(lim21 xxxx故故1 x是瑕点是瑕点 xxxxxxx221ln)1(ln)1(lim 321)1(ln)1(lim xxxxx221)1(3lnln21lim xxxxdxxxx 212)11ln1(dxxxx 2120)11ln1(lim 210)1lnln1(lim xxln)1ln(12ln1lim0 )1ln(ln)1ln(1lim2ln10 即瑕积分发散即瑕积分发散. ln)1ln(lim0 lnlim0 1lnl

11、im0 2011lim 0lim. 0 瑕积分瑕积分1 p时收敛时收敛,1 p时发散时发散.dxxp 101)0( pdxxp 11无穷积分无穷积分1 p时收敛时收敛,1 p时发散时发散.总结总结三三. 函数函数定义定义 广义积分广义积分)0()(01 rdxexrxr是是r的函数的函数,称为称为 函数函数.性质性质1 函数是收敛的函数是收敛的.性质性质21)1( 证证 0)1(dxexbxbe0)(lim bxbdxe0lim)1(lim bbe. 1 0)(xe1性质性质3 )21(证证性质性质4)()1(rrr 0)1(dxexrxrbxrbedx0)(lim)( lim010dxexr

12、exbxrbxrb bxrbdxex0lim)(limrrebbrb ).(rr 0)(xredx0 xrex01dxerxxr)(rr)1(0limaaxxrx性质性质5)(!)1( Znnn证证)()1(nnn )1()1( nnn)1(1)1( nn !n 性质性质6 )(r10 r) 1(1 rr 1 r)()1(ssr 21 s其中其中例例7 求求.03dxexx 解解 dxexx03)4( . 6! 3 例例8 求求).32. 0()2()25()1( 解解 )25()1()123( )23(23 )121(23 )21(2123 .43 )32. 0()2()132. 0(32. 01 )32. 1(32. 01 .796. 2 四四. 函数函数定义定义 广义积分广义积分)0, 0()1(1011 qpdxxxqp是是p的函数的函数,称为称为 函数函数.和和q记作记作).,(qp 性质性质1)0, 0()1(1011 qpdxxxqp收敛收敛.性质性质2),(),(pqqp 证证xt1 ),(qp 1011)1(dxxxqp0111)1 (dtttqp1011)1 (dtttpq).,(pq 性质性质3.)()()(),(qpqpqp 例例9 计算计算).27,23( 解解 )27,