高数A第八章第三节ppt课件

1、第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面旋转曲面柱面柱面二次曲面二次曲面曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.曲面方程的定义曲面方程的定义(1) 曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程上任一点的坐标都满足方程;(2) 不在曲面不在曲面S上的点的坐标都不满足方程上的点的坐标都不满足方程;如果曲面如果曲面S0),( zyxF有下述关系有下述关系:那么那么,0),( zyxF方程方程就叫做曲面就叫做曲面S的方程的方程,而曲面而曲面S就叫做方程的图形就叫做方程的图形.一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念与三元方程与三元方程xyz

2、OS0),( zyxF解解RMM |0 202020)()()(zzyyxx2202020)()()(Rzzyyxx 所求方程为所求方程为球心在原点的球面方程球心在原点的球面方程2222Rzyx 的的、半径为、半径为建立球心在点建立球心在点RzyxM),(0000.球球面面方方程程例例特殊特殊),(zyxM设设是球面上任一点是球面上任一点,R21221221221)()()(zzyyxxMM 例例 下述方程表示什么样的曲面？下述方程表示什么样的曲面？ 042222 yxzyx解解5)2()1(222 zyx原方程可以表示为：原方程可以表示为： 所以方程表示？所以方程表示？ 研究空间曲面有研究空

3、间曲面有(1)已知曲面已知曲面,(2)已知方程已知方程,两个基本问题两个基本问题(讨论旋转曲面讨论旋转曲面)(讨论柱面讨论柱面, 二次曲面二次曲面)求方程求方程;研究图形研究图形.二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线这条定直线叫旋转曲面的轴这条定直线叫旋转曲面的轴.此曲线称此曲线称称为旋转曲面称为旋转曲面. .旋转一周所成的曲面旋转一周所成的曲面, ,母线母线. . 为方便为方便,平面取作坐标面平面取作坐标面, 旋转轴取旋转轴取作坐标轴作坐标轴. 常把曲线所在以一条平面曲线以一条平面曲线母线母线轴轴d),(zyxM设设zz 1)1(22yxd 如图，如图，C

4、为为yoz平面内的曲线平面内的曲线将将,1zz 0),(11 zyf0),(22 zyxf得方程得方程轴轴的的距距离离到到点点zM)2(|1y 221yxy 代入代入), 0(111zyM ),(zyxMxyzO0),(: zyfC为曲面上任一点，为曲面上任一点，旋转曲面旋转曲面, 求其方程求其方程.f(y,z)=0,C绕绕z轴旋转一周，形成轴旋转一周，形成), 0(111zyMM是由是由C上的点上的点0),(11 zyf旋转而得到，其中旋转而得到，其中由于由于0),( yf22zx 旋转曲面方程旋转曲面方程.旋转一周的旋转一周的即为即为0),( zyfyOz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲

5、线同理同理,0),( zyfyOz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线旋转曲面方程为旋转曲面方程为旋转一周的旋转一周的0),(22 zyxf绕绕z轴轴绕绕y轴轴xyzO 曲线方程中与旋转轴相同的变量不动曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 总之总之,位于坐标面上的曲线位于坐标面上的曲线C,绕其上的绕其上的一个一个 坐标轴转动坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以所成的旋转曲面方程可以这样得到这样得到 :而用另两个的变量的平方和的平方根而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、加正、负号负号)替代曲线方程中另一个变量即可替代曲线方程中另一个变量即可.0),(22 zyxf 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周

6、将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成求生成的旋转曲面的方程的旋转曲面的方程.122 cz旋转双曲面旋转双曲面例例双曲线双曲线(1)12222 czax分别绕分别绕x轴和轴和z轴轴;绕绕x轴旋转轴旋转绕绕z轴旋转轴旋转2c22zy 22ax1 22yx 2a绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面(2)12222 czayyOz坐标面上的椭圆坐标面上的椭圆绕绕y轴和轴和z轴轴;(3)pzyyOz22 坐标面上的抛物线坐标面上的抛物线绕绕z轴轴. B方程方程222)(yxaz (A) xOz平面上

7、曲线平面上曲线 绕绕y轴旋转所得曲面轴旋转所得曲面; 22)(xaz (B) xOz平面上直线平面上直线 绕绕z轴旋转所得曲面；轴旋转所得曲面；xaz (C) yOz平面上直线平面上直线 绕绕y轴旋转所得曲面；轴旋转所得曲面；yaz (D) yOz平面上曲线平面上曲线 绕绕x轴旋转所得曲面轴旋转所得曲面.22)(yaz 表示表示( ).解解 cotyz 圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz yOz面上直线方程为面上直线方程为所得旋转曲面称为圆锥面所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为两直线的交点称为圆锥面的顶点圆锥面的顶点,例例 两直线的夹角两直线的夹角圆锥面的半顶角圆锥面的半顶角.)20

8、( 称为称为试建立顶点在坐标原点试建立顶点在坐标原点O,旋旋半顶角为半顶角为 的的 圆锥面的方程圆锥面的方程.转轴为转轴为z轴轴,直线直线L绕另一条与绕另一条与L相交的直线旋转一周相交的直线旋转一周L yxzOL圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz 即即 圆锥面方程圆锥面方程)cot()(2222 ayxaz即即,1时时 a1cot 4 222yxz yxzO定义定义三、柱面三、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C C这条定曲线这条定曲线C 称为柱面的称为柱面的动直线动直线L称为柱面的称为柱面的准线准线,母线母线.所形成的曲面称为所形成的曲面称为移动的直线移动的直线L L 柱面

9、柱面. .LC准线准线母线母线 例例 讨论方程讨论方程 的图形的图形.222Ryx 在在xOy面上面上, 222Ryx 解解现在空间直角坐标系中讨论问题现在空间直角坐标系中讨论问题.表一个圆表一个圆C.过过作平行作平行z z轴的直线轴的直线L,L,)0 ,(1yxM设点设点 在圆在圆C C上上, , 对对L L上任意点上任意点的坐标也满足方程的坐标也满足方程沿曲线沿曲线C, C, 平行于平行于z z轴的一切直线所形成的曲面上的点轴的一切直线所形成的曲面上的点的坐标都满足此方程的坐标都满足此方程, ,在空间在空间, ,222Ryx 就是圆柱面方程就是圆柱面方程. .此曲面称为圆柱面此曲面称为圆柱

10、面. .),(zyxMxyzOC 1M M )0 ,(1yxM,222Ryx 该方程的图形是以该方程的图形是以xOy面上圆为准线面上圆为准线,母线平行于母线平行于z轴的柱面轴的柱面.LxyzOxyzOxy 平面平面表示母线平行于表示母线平行于zxy22 .22xy xy 表示母线平行于表示母线平行于z轴轴.xy xy22 抛物柱面抛物柱面柱面举例柱面举例 其准线是其准线是xOy面面上的抛物线上的抛物线轴的柱面轴的柱面, 的柱面的柱面,其准线是其准线是xOy面上面上的直线的直线从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征：12222 czby椭圆柱面椭圆柱面12222 byax双曲柱面双曲柱面

11、 pzx22 抛物柱面抛物柱面 , 0),(, yxFzyx的方程的方程而缺而缺只含只含坐标系中表示母线平行于坐标系中表示母线平行于z轴的柱面轴的柱面,在空间在空间为为xOy面上的曲线面上的曲线C.其准线其准线母线平行于母线平行于x轴轴母线平行于母线平行于z轴轴母线平行于母线平行于y轴轴一般的，含有两个变量的方程在平面和空一般的，含有两个变量的方程在平面和空间坐标系中表示不同的图形！间坐标系中表示不同的图形！四、二次曲面四、二次曲面 1. 二次曲面的定义二次曲面的定义 相应地平面被称为相应地平面被称为三元二次方程所表示的曲面称为三元二次方程所表示的曲面称为球面、球面、二次曲面二次曲面.如如:

12、:双曲柱面等双曲柱面等)某些柱面某些柱面(圆柱面、抛物柱面、圆柱面、抛物柱面、一次曲面一次曲面.都是二次曲面都是二次曲面. 研究的方法是采用截痕法研究的方法是采用截痕法. 以下用截痕法讨论上面几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论上面几种特殊的二次曲面.从而了解曲面从而了解曲面即用坐标面和即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线考察其交线(即截痕即截痕)的形状的形状,然后加以综合然后加以综合,的全貌的全貌.现只研究几种常见的二次曲面的方程现只研究几种常见的二次曲面的方程.2. 椭圆锥面椭圆锥面22222zbyax 以垂直于以垂直于z轴的平面轴的平面z=t去

13、截此曲面，去截此曲面，22222tbyax 若若t=0,就是坐标原点就是坐标原点.随随t的增加的增加(截面逐渐远离截面逐渐远离xoy面面)即将即将z=t代入到代入到曲面方程得，曲面方程得，1)()(2222 tbyatx若若t不为不为0,得得这表示一系列椭圆这表示一系列椭圆.椭圆逐渐扩大！椭圆逐渐扩大！xyzO由此知道此曲面的形状由此知道此曲面的形状.问题：问题： 用平行于其余两个坐标面的平面用平行于其余两个坐标面的平面截这个曲面，截痕是什么形状？截这个曲面，截痕是什么形状？3. 椭球面椭球面1222222 czbyax由方程可知由方程可知, 1, 1, 1222222 czbyax即即,|,

14、|,|czbyax 这说明椭球面包含在由平面这说明椭球面包含在由平面围成的长方体内围成的长方体内.czbyax ,先考虑椭球面与三个坐标面的截痕：先考虑椭球面与三个坐标面的截痕： 012222yczax 012222zbyax截这个曲面截这个曲面,截痕方程是截痕方程是)|0(11czzz 012222xczby1222222 czbyax1z000这些截痕都是这些截痕都是再用平面再用平面 122122221zzczbyax这些截痕都是这些截痕都是椭圆椭圆.椭圆大小随椭圆大小随z1而变化而变化.椭圆椭圆.椭圆截面的大小椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化随平面位置的变化而变化.与平面与平面 ,1

15、xx 1yy 椭圆椭圆.同理同理,的截痕也是的截痕也是1222222 czbyax1x1yzxyOxyzO椭球面的几种特殊情况椭球面的几种特殊情况:)1(1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆122222 czayx方程可写为方程可写为ba 1222222 czbyaxa绕绕z轴旋转而成轴旋转而成.xyzOcba )2(1222222 azayax球面球面2222azyx 方程可写为方程可写为xyzOxyzO4. 双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax特点是特点是: 平方项有一个取负号平方项有一个取负号,另两个取正号另两个取正号.

16、0Oxyzt分析：分析：用平行于用平行于xoy面的平面的平面截这个曲面，截痕面截这个曲面，截痕是什么形状？是什么形状？问题：问题：用平行于其余两个坐标用平行于其余两个坐标面的平面截这个曲面，面的平面截这个曲面，截痕是什么形状？截痕是什么形状？1222222 czbyax1222222 czbyax类似地类似地,亦表示亦表示单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax单叶双曲面单叶双曲面.方程方程双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyax 特点是特点是:平方项有一个取平方项有一个取正号正号,另两个取负号另两个取负号.包含上、下两个曲面包含上、下两个曲面.xyzO用平面用平面z=t去截此曲面，去截此曲面，当当t c时得到什么形状时得到什么形状的截痕？的截痕？问题：问题：用平行于其余两个坐标面的平面用平行于其余两个坐标面的平面截这个曲面，截痕是什么形状？截这个曲面，截痕是什么形状？5. 抛物面抛物面zbyax 2222椭圆抛物面椭圆抛物面0)0(1 zOzxyxyzO问题：问题：用平行于其余两个坐标面的平面截这个曲面，用平行于其余两个坐标面的平面截这个曲面，截痕是什么形状？截痕是什么形状？a=b时有何特点？时有何特点？zbyax 2222用用x=t去截曲面得到截痕去截曲面得到截痕l tx