《经济数学基础》线性代数重难点解析

1、经济数学基础线性代数重难点解析矩阵 本章重点：1 了解或理解一些基本概念 具体要求如下： (1) 了解矩阵和矩阵相等的概念； (2) 了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质 (3) 理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件； (4) 了解矩阵秩的概念； (5) 理解矩阵初等行变换的概念 2熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质； 3熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵 矩阵乘法是本章的重点之一，在复习矩阵乘法时，要注意：矩阵乘法不满足交换律，即一般不成立（若矩

2、阵A, B满足，则称A, B为可交换的） 矩阵乘法不满足消去律，即由矩阵及矩阵，不能推出但当可逆时，矩阵，可能有 例1 若A，B是两个阶方阵，则下列说法正确是（） A B C若秩秩则秩 D若秩秩则秩 解 选项A： 只是的充分条件，而不是必要条件，故A错误； 选项B：，矩阵乘法一般不满足交换律，即，故B错误； 选项C：由秩秩 说明A，B两个矩阵都不是0矩阵，但它们的乘积有可能0矩阵，如，则故秩不一定成立，即C错误； 选项D：两个满秩矩阵的乘积还是满秩的，故D正确 例2 设矩阵，则AB 解 因为 AB = 41 所以，应该填写：41 例3 矩阵的秩是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3、解 因为 对应的阶梯形矩阵有3个非0行，故该矩阵的秩为3 正确选项是：C 例4 设矩阵 A=，则矩阵A与B的乘积AB的第3行第1列的元素的值是 解 根据乘法法则可知，矩阵A与B的乘积AB的第3行第1列的元素的值是A的第3行元素与B的第1列元素的乘积之和，即 32（1）990 -3 应该填写：-3 例5 设A是mn矩阵,B是sn矩阵, 则运算有意义的是( ) A B C D 解 根据乘法法则可知，两矩阵相乘，只有当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时，它们的乘积才有意义，故矩阵有意义 正确选项是A 例6 设方程XAB=X，如果AI 可逆，则X= 解 由XAB = X，得XAX = B，X(AI ) =

4、 B 故X = B(AI )1 所以，应该填写：B(AI )1注意：矩阵乘法中要区分“左乘”与“右乘”，若答案写成 (AI )1 B，它是错误的 例7 设矩阵 ，求矩阵A解 因为 所以 例8 已知矩阵，求常数a，b 解 因为 所以 ，得b = 2 例9设矩阵A，B满足矩阵方程AX B，其中， , 求X 解法一：先求矩阵A的逆矩阵因为 所以 且 解法二： 因为 所以 例10 设矩阵 试计算A-1B解 因为 所以 且 例11 设A，B均为n阶对称矩阵，则ABBA也是对称矩阵 证因为 A，B是对称矩阵，即 且 根据对称矩阵的性质可知，ABBA是对称矩阵 例12 设是n阶矩阵，若= 0，则 证 因为

5、= = 所以 线性方程组 本章重点： 1了解n元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解的概念 2. 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解 线性方程组AX = b的解的情况归纳如下：AX = b有唯一解的充分必要条件是秩() = 秩(A) = n；AX = b有无穷多解的充分必要条件是秩() = 秩(A) n；AX = b无解的充分必要条件是秩() 秩(A) 相应的齐次线性方程组AX = 0的解的情况为： AX = 0只有零解的充分必要条件是 秩(A) = n；AX = 0有非零解的充分必要条件是 秩(A) n 例1 线性方程组的系数

6、矩阵是( ) A23矩阵 B32矩阵 C3阶矩阵 D2阶矩阵 解 此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是23矩阵 正确的选项是A 例2 线性方程组AX = B有唯一解，那么AX = 0 ( ) A可能有解 B有无穷多解 C无解 D有唯一解 解 线性方程组AX = B有唯一解，说明秩故AX = 0只有唯一解（零解） 正确的选项是D 例3 若线性方程组的增广矩阵为，则当（）时线性方程组有无穷多解 A1B4C2D 解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵， 此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即，从而 正确的选项是D 例4 若非齐次线性方程组AmnX = B有唯一解,那么有 ( ) A秩(A，B) n B秩(A) r C 秩(A) 秩(A，B) D秩(A) 秩(A，B) n 解 根据非齐次线性方程组解的判断定理可知选项D是正确 例5 求解线性方程组 解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即 因为 ，秩(A) = 秩(A) = 3， 所以，方程组