上海高二数学解析汇报几何经典例的题目

1、实用标准文案上海高二数学解析几何经典例题轨迹方程1、 已知反比例函数 y1的图像 C 是以 x 轴与 y 轴为渐近线的等轴双曲线x（ 1）求双曲线 C 的顶点坐标与焦点坐标；（ 2）设 A1 、 A2 为双曲线 C 的两个顶点，点M ( x0 , y0 ) 、 N ( y0 , x0 ) 是双曲线 C 上不同的两个动点求直线 A1 M 与 A2 N 交点的轨迹 E 的方程；（ 3）设直线 l 过点 P ( 0, 4) ，且与双曲线 C 交于 A 、 B 两点， 与 x 轴交于点 Q 当 PQ1 QA2QB，且 128 时，求点 Q 的坐标精彩文档实用标准文案面积2、 在平面直角坐标系xOy 内

2、，动点 P 到定点 F ( 1 , 0)的距离与 P 到定直线 x4 的距离之比为 1 （ 1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；2（ 2）若轨迹 C 上的动点 N 到定点 M (m , 0) （ 0m 2 ）的距离的最小值为1，求 m 的值（ 3）设点 A 、 B 是轨迹 C 上两个动点， 直线 OA 、OB 与轨迹 C 的另一交点分别为 A1 、 B1 ，且直线 OA 、OB 的斜率之积等于3，问四边形 ABA1B1 的面积 S 是否为定值？请说明理由4精彩文档实用标准文案定点3、 动点 P 与点 F (0,1) 的距离和它到直线l : y1的距离相等，记点P 的轨迹为曲线C (1) 求曲线

3、 C 的方程；(2)设点 A 0, a (a2 ) , 动点 T 在曲线 C 上运动时，AT 的最短距离为a1 ，求 a 的值以及取到最小值时点 T 的坐标；(3)设 P1 , P2 为曲线 C 的任意两点，满足OP1OP2 ( O 为原点 ) ，试问直线P1 P2 是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由精彩文档实用标准文案定值4、 已知椭圆 C : x2y2 1(a b0) 的右焦点为 F 1,0，且点 P(1,3) 在椭圆 C 上a2b22（1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）过椭圆C1 :x2y21上异于其顶点的任意一点Q 作圆 O : x2y24的两条切线，切点分别

4、为a23b253M , N (M , N 不在坐标轴上） ，若直线 MN 在 x 轴， y 轴上的截距分别为11m, n, 证明：22 为定值；3mn（3）若 1 2是椭圆 C: x23 y21上不同的两点，PP12x 轴，圆E过12且椭圆C 2上任意一点都不P , P2a2b2P,P ,在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆 . 试问：椭圆C2是否存在过左焦点F1 的内切圆？若存在， 求出圆心 E 的坐标；若不存在，请说明理由精彩文档实用标准文案新定义曲线是平面内到直线l1 : x2(k 0) 的点的轨迹， 设曲线 C 的5、C1和直线 l2 : y 1的距离之积等于常数 k轨迹方程 f (

5、 x, y) 0 （1）求曲线 C 的方程 f (x, y)0 ；（2）定义：若存在圆 M 使得曲线 f ( x, y)0 上的每一点都落在圆 M 外或圆 M 上，则称圆 M 为曲线f (x, y)0 的收敛圆判断曲线f ( x, y)0 是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由精彩文档实用标准文案轨迹方程1、 已知反比例函数y1的图像 C 是以x 轴与 y 轴为渐近线的等轴双曲线x（ 1）求双曲线 C 的顶点坐标与焦点坐标；（ 2）设 A1 、 A2 为双曲线 C 的两个顶点，点M ( x0 , y0 ) 、 N ( y0 , x0 ) 是双曲线 C 上不同的两个动点求直

6、线 A1 M 与 A2 N 交点的轨迹 E 的方程；（ 3）设直线 l 过点 P ( 0, 4) ，且与双曲线 C 交于 A 、 B 两点， 与 x 轴交于点 Q 当 PQ1 QA2QB，且 128 时，求点 Q 的坐标解：（ 1）顶点：A1(1,1) 、A(1,1)，焦点：F (2,2 ) 、F2( 2,2) 为焦点21（2）解一： A1M ： y1y01 (x 1) ， A2 N ： y1x01( x1) -2分x01y01两式相乘，得 y 21y01x01 ( x21) 将 y01代入上式，得 y 21( x21)，即 x 2y 22 x01y01x0即直线 A1 M 与 A2 N 交点

7、的轨迹E 的方程为 x 2y22 （ x1） -1分x0xyy2 ,解二：联立直线方程，解得xyx2 .y0yxy01，即 xy2yx21，化简，得 x 2y 22 x0xyxy所以，直线 A M 与 A N 交点的轨迹 E 的方程为222（x）xy121（3）直线 l 斜率不存在或为0 时显然不满足条件；4设直线 l ： y kx4 ， A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，则 Q (,0)1 ，得 kx 2k4 ， x11 将 ykx 4 代入 y4x1 0 ， x1x2x2xkkPQ1 QA2QB ，4 , 41 x14 , y12x24 , y2，kkk12448

8、，即 k ( x1x2 )82(kx14)(kx 24) ， 解得 k2 ，Q( 2,0) kx14kx24解 二 ： 将 xy 4代 入y1， 得y 24 y k 0，y1y24， y1 y2kkxPQ1 QAQB41 x14, y12 x24, y22, 4kkk41 y12 y2，14， 24y2y1又 128，112 ，即 y1y22 y1 y2 y1y242(k )k2 ，Q(2,0) 精彩文档实用标准文案面积2、 在平面直角坐标系xOy 内，动点 P 到定点 F ( 1 , 0) 的距离与 P 到定直线 x4 的距离之比为1 2（ 1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（ 2）若轨迹

9、 C 上的动点 N 到定点 M (m , 0) （ 0 m2 ）的距离的最小值为1，求 m 的值（ 3）设点 A 、 B 是轨迹 C 上两个动点， 直线 OA 、OB 与轨迹 C 的另一交点分别为A1 、 B1 ，且直线 OA 、OB 的斜率之积等于3，问四边形ABA1B1 的面积 S 是否为定值？请说明理由4（1）设 P( x , y) ，由题意，( x1)2y 21 ，化简得 3x24 y212 ，| x4 |2所以，动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2y 2143（2）设，则2222x212223N (x , y)|MN |(xm)y(xm)3 1xm44mx1 ( x4m)23(1m2

10、 ) ，2x241当 04m2，即 0m时，当 x4m时， | MN |2 取最小值 3(1m2 )1，2解得 m22， m6，此时 x462 ，故舍去333当 4m 2 ，即 1m2 时，当 x2时，|MN |2取最小值 m24m41，解得 m1 ，或 m3（舍）综上， m12（3）解法一： 设(,y1)， B( x2, y2 )，则由 kOAkOB3，得y1 y23 ，（1 分）A x14x1x24| AB|( x1x2 )2( y1y2 )2，因为点 A 、 B 在椭圆 C 上，所以 y123 1x12， y223 1x22，44所以， 9x12 x2216 y12 y229(4 x12

11、 )( 4x22 ) ，化简得 x12x224 当 x1x2 时，则四边形ABA1 B1 为矩形， y2y1，则 y123 ，x124由 y123 1x12，得3 x123 1x12，解得 x122 ， y123， S|AB|A1B|4 | x1 | y1 |43 4442当 x1x2 时，直线AB 的方向向量为d( x2 x1 , y2y1) ，直线 AB 的方程为精彩文档实用标准文案( y2y1 ) x( x2x1 ) yx2 y1x1 y20 ，原点 O 到直线 AB的距离为 d| x1 y2x2 y1 |( x2 x1) 2( y2y1 )2所以，AOB 的面积 S AOB1 | AB

12、 | d1 | x1 y2x2 y1 |， 根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1 的面积22S4S AOB2 | x1 y2x2 y1 |， 所以， S24( x1 y2x2 y1) 24( x12 y222 x1 x2 y1 y2x22 y12 )4 3x12 1x223 x12 x223x22 1x1212( x12x22 )48 ，所以 S43 424所以，四边形ABA1B1 的面积为定值 43 解法二： 设 A(x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，则 A1 (x1 ,y1) ， B1 (x2 ,y2 ) ，由 kOA kOB3，得 y1 y23 ，4x1x24因为点 A

13、、 B 在椭圆 C 上，所以 y123 1x12， y223 1x22，44所以， 9x12 x2216 y12 y229(4x12 )( 4x22 ) ，化简得 x12x224直线 OA 的方程为 y1 xx1 y0 ，点 B 到直线 OA 的距离 d| x1 y2x2 y1 | ，x12y12 ABA1的面积 SABA1| AA1 | d| x1 y2x2 y1| ，根据椭圆的对称性，四边形 ABA1B1的 面 积12S2S ABA12 | x1 y2x2 y1 | ， 所以， S24(x1y2x2 y1 )24( x12 y222x1x2 y1 y2x22 y12 )4 3x12 1x2

14、23 x12 x223x22 1x1212( x12x22 )48 ，所以 S43 424解法三： 设(,y1)， B(x2 , y2 ) ，则 A1 (x1 , y1) ， B1(x2 , y2 ) 由 kOA kOB3，得y1 y23 ，A x14x1x24因为点 A 、B在椭圆 C 上，所以2x12， 23 1x22，所以，2 22222，y13 1y249x1 x216 y1y29(4 x1 )(4 x2 )4x1y11化简得 x12x224 ABA1 的面积 S ABA11 x2y11| x1 y2x2 y1 | ，根据椭圆的对称性，四边2x1y11形ABA1B1的面积S2S ABA

15、12 | x1 y2x2 y1 |，所以，所以，S24( x1 y2x2 y1 )24( x12 y222x1 x2 y1 y2x22 y12 )精彩文档实用标准文案4 3x12 1x223 x12 x223x22 1x1212( x12x22 ) 48 ，所以 S 4 3 424精彩文档实用标准文案定点3、 动点 P 与点 F (0,1) 的距离和它到直线l : y1的距离相等，记点P 的轨迹为曲线C (1) 求曲线 C 的方程；(2)设点 A 0, a (a2 ) , 动点 T 在曲线 C 上运动时，AT 的最短距离为a1 ，求 a 的值以及取到最小值时点 T 的坐标；(3)设 P1 ,

16、P2 为曲线 C 的任意两点，满足OP1OP2 ( O 为原点 ) ，试问直线P1 P2 是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由22（本题满分 16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分 6 分，第3 小题满分6 分(1) 根据抛物线的定义可知, 动点 P 的轨迹是抛物线所以曲线 C的方程为 x2=4y；(2) 设点 (0,y0),x02=4 0 (y00)，|=( x00)2( y0a)2= y0( a 2)24a 4 ，T xyAT0时， | AT|取得最小值为2 a1 ， 2a 1=a 1,2a 2>0，则当 y =a2a 6a+5=0，

17、 a=5 或 a=1 ( 舍去) ，所以 y =a 2=3， x=2 3 ，所以 T坐标为 (23,3)；001(3)显然直线 OP1、 OP2的斜率都必须存在，记为k，ky kx ，解之得 P1( 4 , 4 ) ，同理 P2( 4k, 4 k2) ，x2 4 yk 2k直线1 2的斜率为 1k 2，直线1 2 方程为：y 4k21k 2(x4k)PPP Pkk21216 分整理得： k( y 4)+( k 1) x=0，所以直线 P P恒过点 (0, 4)精彩文档实用标准文案定值4、 已知椭圆 C : x2y21(ab0) 的右焦点为 F 1,0，且点 P(1,3) 在椭圆 C 上a2b2

18、2（1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）过椭圆C1 :x2y21上异于其顶点的任意一点Q 作圆 O : x2y24的两条切线，切点分别为a2b2533M , N (M , N 不在坐标轴上） ，若直线 MN 在 x 轴， y 轴上的截距分别为m, n, 证明：11为定值；223mn（3）若 12是椭圆 C: x23 y21上不同的两点，PP12x轴，圆E过12且椭圆C上任意一点都不P , P2a2b2P,P ,2在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆 .试问：椭圆C2是否存在过左焦点F1 的内切圆？若存在， 求出圆心 E 的坐标；若不存在，请说明理由解：（ 1）由题意得， c1.所以 a2b2

19、1,又点 P(1, 3) 在椭圆 C 上，所以 191, 解得a24, b23, 所2a24b2以椭圆 C 的标准方程为x2y21.43（2）由（ 1）知， C1 : x23 y21, 设点 Q (x1, y1 ), M (x2 , y2 ), N ( x3 , y3 ),44则直线 QM 的方程为 x2 xy2 y4 , 直线 QN 的方程为 x3 xy3 y4 ,33x2 x1y2 y14把点 Q 的坐标代入得3 ,所以直线 MN 的方程为 x1x4 , 令 y4 , 令y1 y0, 得 mx3 x1y3 y1433x13x0, 得 n4 , 所以 x14, y14 ,又点 Q在椭圆 C1上，所以 ( 4 )23(4 )24, 即113 , 为3y13m3n3m3n3m2n24定值（ 3）由椭圆的对称性，不妨设12由题意知，点E在 x 轴上，设点 E(t ,0), 则圆E的方程为P (m, n), P (m, n),(xt )2y2(mt)2n2 .由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点E 的距离的最小值是PE1,设点 M (x, y) 是椭圆 C2 上任意一点，则ME2t )2y23 x22txt 21,( x当 xm 时， ME最小，所以 m2t4t .42332精彩文档实用标准文案假设椭圆 C2 存在过左焦点F 的内切圆，则 (3 t )2(mt )2