一次函数的应用(提高)知识讲解——初中数学【名校学案+详细解答】

1、一次函数的应用（基础）【学习目标】1 .能从实际问题的图象中获取所需信息；2 .能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；3 .能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；4 .提高解决实际问题的能力.认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际 问题的能力.【要点梳理】要点一、数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样

2、的函数模型要点二、正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的 函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围， 这是应用中的难点， 也是中考的 热门考点.要点三、选择最简方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际 问题中的重要作用.【典型例题】类型一、简单的实际问题C1、在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程 y （千米）随时间x （时）变化的图象

3、（全程）如图所示.下列说法正确的有（）：起跑后1小时内，甲在乙的前面；第1小时两人都跑了 10千米；甲比乙先到达终点；两人都跑了 20千米.A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 小千举0必 1 13 口而 【答案】C;【解析】正确.在起跑1小时以内，甲的图象始终在乙的图象的上方，故甲在乙的前面；第一小时，两人所跑的路程均为10千米；乙比甲先到达终点；乙的速度是10千米/时，2小时跑了 20千米，甲也跑了同样的路程 .【总结升华】本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题,再分析这四个结论.举一反三:【变式】如图OB AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，动路程和

4、时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：甲让乙先跑 度比乙快1.5米/秒；8秒钟内，乙在甲前面；8秒钟后,观察图象提供的信息,图中S和t分别表示运12米；甲的速 甲超过了乙，其中正确的说法是()A B .C . D .【答案】B；提示：由图形，t=0时，甲在乙前边12米，即甲让乙先跑12米，故正确； 当t=8秒时，甲追上了乙，所以甲的速度比乙快 12+8= 1.5米/秒，故正确； 8秒钟内，AB在OB的上面，即可知乙在甲前面，故正确；8秒钟后，AB在OB的下面，即可知甲超过了乙，故正确.故选择B.类型二、方案选择问题0甘十中一心山”人入土 2、某办公用品销售商店推出两种优惠方案：购一个书包，赠送一

5、支水性笔；购书包和水性笔一律按 9折优惠，书包每个定价 20元，水性笔每支定价 5元，小丽和同学 需买4个书包，水性笔若干(不少于4支).(1) 分别写出两种优惠方法购买费用y (元)与所买水性笔支数 x(支)之间和函数关系式；(2) 对X的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；(3) 小丽和同学需买这种书包 4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济.【答案与解析】解：(1)根据题意可得：方案购买费用 y1与购买水性笔支数 x之间的函数关系式:y1 =4X20+5( X -4) =5X +60( X >4);方案购买费用y2与购买水性笔支数 x之间的函数关系式； y2 =

6、4X 20X 0.9 + 5X 0.9 X =4.5 X + 72( X >4).（2）在同一坐标系内分别画出 y1与丫2的图象，如图所示，由图象可知:x = 24时，两个函数的函数值相等;x >24时，对同一个x , yi上的点都在 y上的点的上边即yi > y2 ；4< x<24时，对同一个x , y2上的点都在y1上的点的上边即y1 < y2 .可得优惠方案：当购买 24支水性笔时，方案与方案同样优惠；当购买水性笔不少 于4支但没超过24支时，方案收费少，选方案；当购买水性笔超过 24支时，方案收 费少，选方案.（3）小丽购买4个书包，12支水性笔时，

7、12V 24,应在方案中，费用 y = 5X12+60 = 120 （元）.但题中有一个条件不可忽视，方案购买 4个书包赠4个水性笔，而方案中一律 9 折，这让人不得不想到还可这样购买. 两种优惠全用，在方案中买4个书包这样得4支笔， 总共买12支笔还差8支，去方案中打 9折购买，算一算总费用 y =4X20+5X0.9 X8 = 80+ 36= 116 （元）；而 116V120.故小丽这样买最经济：按方案买4个书包得4支水性笔.按方案买余下的8支水性笔.【总结升华】（2）对x的取值情况进行分析选择优惠方案就是利用图象找x取何值时，值相等的这个临界点，然后再根据图象谁在上面，在上面的图象花费

8、大，在下面的图象花费小.举一反三：【变式】某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费 y （元）与复印页数 x （页）的关 系如下表：x（页）1002004001000y （元）4080160400若y与x满足初中学过的某一函数关系，求函数的解析式；现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页 0.15元收费。则乙复印社每月收费 y （元）与复印页数x （页）的函数关系为；在给出的坐标系内画出（1）、（2）中的函数图象，并回答每月复印页数在1200左右应选择哪个复印社？6 DU*旬，100fu Idd 4ui 6o ooiiom【答案】解：.y 0.4x x 0.y 0.1

9、5x 200 x 0由图象可知，当每月复印页数在1200左右，应选择乙复印社更合算 .33、某工厂现有甲种原料 360千克，乙种原料 290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件，己知生产l件A种产品需用甲种原料 9千克，乙种原料 3千克，可 获利700元；生产1件B种产品，需用甲种原料 4千克，乙种原料10千克，可获利润 1200 元.（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来.（2）设生产A、B两种产品获总利润为 y元，其中生产A种产品的件数为x ,试写出y与 x之间的函数解析式，并利用函数性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大 利润是多少？【思

10、路点拨】（1）设工厂可安排生产 x件A产品，则生产（50-x）件B产品，根据不能多 于原料的做为限制列出不等式组求解.（2）可以分别求出三种方案比较即可，也可以根据B生产的越多，A少的时候获得利润最大.【答案与解析】解：本题给出的信息繁杂、数据较多，可用列表分析，产品 原料、人和产品 工件B种产品(50 7 件现有原料 (千克)甲种(千克)974x(50-jt)360乙神(千克)3x10 x(5O-x)290(1)设安排生产A种产品X件，则B种产品为(50 x)件,由题意得9X 4(50 X)360，3x 10 (50 x) 290.解得30 x 32 .x是整数，x只能取30、31、32.生

11、产方案有三种，分别为A种30件，B种20件；A种31件，B种19件；A种32件，B种18件.(2)由生产 A 种产品的件数为 x ,则 y = 700 x + 1200(50 - x ) = - 500 x + 60000, y是x的一次函数， k = - 500V 0,根据一次函数的性质，1-y随x的增大而减小，当 x=30, y 值最大，y最大 一500X 30+60000=45000,即安排生产A种产品30件，B种产品20件时，获得利润最大， 最大利润是45000元.【总结升华】本题的最值问题是利用解不等式和一次函数的性质，并要注意自变量的实际取值范围.44、某送奶公司计划在三栋楼之间建

12、一个取奶站，三栋楼在同一条直线，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距离为 40米，B楼与C楼之间的距离为 60米.已 知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提 出两种建站方案.方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和.(1) 若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？(2) 若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？【思路点拨】(1)设取奶站建在距 A楼x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y米，求出各函数在自变量下的最小值，( 2)设取奶站建在距 A楼x米处，列出等量关系式，解 得x .【答案与解析】解：(1)设取奶站建在距 A楼x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y米.当0W x<40时，y = 20 x + 70(40 x) +60(100 - x) =- 110 x+ 8800.当x = 40时，y的最小值为 4 400 .当40V xW100时，y =20x + 70( x -40) +60(100 - x) = 30x +3200.此时，y的值大于4400.因此按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处.(2) 设取奶站建在距 A楼X米处.当 0W X W40 时，20X +60(10