勾股定理难题50道

1、勾股定理难题50道1 .已知：如图，无盖无底的正方体纸盒 ABCDEFGH , P, Q分别为棱FB , GC上的点,1且FP =2PB , GQ =1QC ,若将这个正方体纸盒沿折线AP -PQ -QH裁剪并展开，得2到的平面图形是（）ABA. 一个六边形B. 一个平行四边形C.两个直角三角形D . 一个直角三角形和一个直角梯形2,已知 MBC中，AB=17, AC =10, BC边上的高 AD =8 ,则边BC的长为（）A. 21C. 68 . 15D.以上答案都不对3 .在底面直径为2cm,高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm

2、.（结果保留n）224 .如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm ,高为6cm.如果用一根细线从点 A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点 B ,那么所用细线最短需要 cm .5 .直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在RtMBC中，/C=902乙A、/B、/C的对边分别.、一S为a、b、c .设SBC =S , a +b +c = l ,则S与l的比-缰含着一个奇妙的规律，这个规律与a+b_c的值有关，观察下面 a、b、c取具体勾股数的表：三边 a、b、ca +b -clSS/l34521261/ 26810424241512

3、1343030181517640603/2121620848962BBSBBS B B B BSB若a +b c = m ,则观察上表我们可以猜想出-S = (用含m的代数式表示)6 .等腰 MBC的底边BC =8cm,腰长AB =5cm , 一动点P在底边上从点 B开始向点C以 0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为秒.7 .阅读以下解题过程：已知a , b , c为MBC的三边，且满足 a2c2 -b2c2 =a4 b4,试判断 MBC的形状.错解：'：a2c2b2c2=a4b4,- (1),二 c2(a2 b2) =(a2 b2)(a2

4、+b2)(2),二 c2 =a2 +b2(3)问：(1)上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 .(2)错误的原因是.(3)本题正确的结论是.8 .勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人 们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最 早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理. 在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形 ABCD的边DA、AB、BC、CD上.若正方形 ABCD的面积=16, AE =1 ;则正方形 EFG

5、H的面积=9 . 一棵高9米的树从离地面 4米处折断，树旁有一个身高为 1米的小孩，则小孩至少离开 这棵树 米才是安全的.10 .如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm.如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ,那么所用细线最短需要 cm .11 .如图所示的勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形，其中最大正方形的边长为12cm,则A、B、C、D四个小正方形的可得12 .如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点,到 MBC ,则 MBC中BC边上的高是 13 .如图，在 MBC中，/ABC=901分别以BC、AB、AC为

6、边向外作正方形，面积分 另1J 记为 §、 $、 S3,若 S2=4, &=6,则§=.14 .我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）.图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT的面积分别为 S1 , S2 , S3,若§ +§ +S =10 , 则&的值是.15 .某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱.已知大厅圆柱高4米，底面周长1米.由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3

7、圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 米.16 . RtAABC中，ZBAC =90*, AB =AC =2 .以AC为一边，在 &ABC外部作等腰直角三 角形ACD ,则线段BD的长为.17 .勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣. 1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票 .所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向 外作正方形构成，它可以验证勾股定理.在右图的勾股图中， 已知ZACB=90°, NBAC =30口，AB =4 .作 APQR 使得/R = 90）点 H 在边 QR上， 点D, E在边PR上， 点G, F在边PQ上， 那么ZkPQR的周长等18 .如

8、图，在 Rt&ABC 中，/C =90 ,点 D 是 BC 上一点，AD = BD ,若 AB=8, BD=5,则 CD =.19 .如图，有一个圆柱，它的高等于 4cm,底面半径等干 -cm ,在圆柱下底面的 A点有 冗只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的 B点处的食物，需要爬行的最短路程是cm.（结果保留根号）720 .将一个含30角的三角板和一个含45口角的三角板如图摆放，/ACB与/DCE完全重合， /C=90°, /A = 45。，/EDC=60 AB=4&, DE=6,则EB =21 .某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ,面积为160m2

9、,为美化小区环境,现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为22 .九章算术“勾股”章有一题：“今有开门去闻（kun） 一尺，不合二寸，问门广几何.大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为 2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为 尺.23 .如图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的点 A （长的四等分点）处有一只 壁虎、点B （宽的三等分点）处有一只蚊子.则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 m .24 .如图，RMABC的两直角边分别为 1, 2,以RtMBC的斜边AC为一直角边，另一直角边为1画第二个AACD ;在以 MCD的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1

10、画第三个MDE;，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是25 .如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5M6M10 （单位：cm）,在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为 13cm,小孔到图中边AB距离为1cm,到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm ,则h的最小值大约为（精确到个位，参考数据：72 H.4,囱之1.7, 75 ft 2.2）.吸管26.如图，有一圆柱体，它的高为20cm ,底面半径为7cm.在圆柱的下底面 A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是 cm（结果用带根号和 n的式子表示）三.解答题(共24

11、小题)27 .已知 MBC 中，AB=AC .(1)如图 1,在 AADE 中，若 AD =AE ,且 NDAE =/BAC ,求证：CD =BE ；(2)如图 2,在 ADEE 中，若/DAE =/BAC =60。，且 CD 垂直平分 AE , AD=3,CD=4,求BD的长；(3)如图3,在AADE中，当BD垂直平分 AE于H ,且ZBAC = &ADB 时，试探究CD2 ,28 .我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”(1)观察：3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25;，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过.事实上，勾是三时，股和弦的

12、算式分别是 2(91),1 (9+1);勾是五时，22股和弦的算式分别是 1(251),1 (25+1) .根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和 22弦的算式；(2)根据(1)的规律，请用含n(n为奇数，且n3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系(请写出两种)，并对其中一种猜想加以证明；(3)继续观察4, 3, 5; 6, 8, 10; 8, 15, 17;，可以发现各组的第一个数都是偶数， 且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用 m(m为偶数，且mA4)的代 数式来表示股和弦.29.大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示

13、方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法.学有所用：在等腰三角形ABC中，AB =AC ,其一腰上的高为 h , M是底边BC上的任意一点， M到腰AB、AC的距离分别为R、h2 .(1)请你结合图形来证明：h +h2 =h ；AB M C(2)当点M在BC延长线上时，儿、h2、h之间又有什么样的结论.请你画出图形，并直 接写出结论不必证明；(3)利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1:y=3x+3, l2：y =，x + 3,443若12上的一点 M到11的距离是3 .求点M的坐标.2%30 .如图，在等边AABC中，线段AM为BC边上的中线，

14、动点D在直线AM上 时，以CD为一边且在CD的下方作等边ACDE ,连接BE .(1)填空：/ACB=度；(2)当点D在线段AM上(点D不运动到点A)时，试求出犯的值；BE(3)若AB =8 ,以点C为圆心，以5为半径作C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D运动的过程中(点D与点A重合除外)，试求PQ的长.31 .李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题， 请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长.(1)如图1 ,正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点 A沿着正 方体表面爬到点C1处；(2)如图2 ,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为6

15、cm, 一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；(3)如图3 ,圆锥的母线长为4cm,圆锥的侧面展开图如图 4所示，且/AOA=120，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行周回到点A.为：(a +b)2,也可表示为：c2 +4|j-ab),2即(a +b)2 =c2 +4|j-ab)由此推出勾股定理a2 +b2 =c2,这种根据图形可以极简单地直观推 2论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”（1）请你用图（II ）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达

16、式验证（x+y）2=x2+2xy + y2 ；（3） 请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证/、，、22,、(x + p)(x +q) =x + px +qx + pq =x +(p +q)x + pq .33.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点G处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙.（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点 G处静止不动，如图 ，在盒子的内部我们先取棱BB的中点E,再连接AE、Eg .虫乙如果沿路径 A-E -G爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆 虫甲.仔细体会其中的道理，并在图中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路径爬行，同样可以在最

17、短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）（2）如图，假设昆虫甲从顶点 Ci ,以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱 C1C向下爬行， 同时昆虫乙从顶点 A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行， 那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到 1秒）5.5J I- .国34.在 AABC 中，BC=a, AC =b ,、一 .一222.AB =c ,设c为最长边，当a +b =c时,ABC 是直角三角形；当a2十b2 #c2时，利用代数式a2十。和c2的大小关系，探究 MBC的形状（按角分类）（1）当4ABC三边分别为6、8、9时，AABC为 三角形；当 MBC三边分别为6、8、11时，AABC

18、为 三角形.(2)猜想，当a222222 (a +b )(a -b ) =c (a -b )即 a2 +b2 =c2 +b2 c2时，9BC为锐角三角形；当a2+b2 c2时，MBC为钝角三角形.(3)判断当a =2, b=4时，ZiABC的形状，并求出对应的 c的取值范围.35. 一、阅读理解：在 AABC 中，BC =a , CA=b, AB =c ;(1)若NC为直角，则a2+b2=c2； 若NC为锐角，则a2 +b2与c2的关系为：a2 +b2 >c2证明：如图过 A作AD _LBC于D ,则BD =BC -CD =a CD在 MBD 中：AD2 =AB2 -BD2在 MCD 中

19、：AD2 =AC2 -CD2_22_22AB -BD =AC -CD2222c -(a -CD) =b -CD,a2 b2 -c2 =2aL_CD7 a >0 , CD >02222,22.a +b -c >0 ,所以：a +b >c(3)若/C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系.二、探究问题：在 MBC中，BC=a=3, CA=b=4, AB =c ;若ZkABC是钝角三角形， 求第三边c的取值范围.36.已知a、b、c是 MBC的三边，且满足 a.ABC 为 RS.+b2c2 =b4+a2c2,试判断&ABC的形状.阅 读下面解题过程：解：由 a4 +b2

20、c2 =b4 +a2c2 得：4 I 42 2, 2 2 小a b =a c b c 试问：以上解题过程是否正确: 若不正确，请指出错在哪一步？(填代号) 错误原因是本题的结论应为.37.如图a, NEBF =90©,请按下列要求准确画图：1:在射线BE、BF上分别取点 A、C ,使BC <AB <2BC ,连接AC得直角AABC ；2:在AB边上取一点 M ,使AM BC ,在射线CB边上取一点N ,使CJ现 ，直线AN、CM相交于点P .(1)请用量角器度量 ZAPM的度数为 ;(精确到1(2)请用说理的方法求出 ZAPM的度数；(3)若将中的条件" BC&

21、lt;AB<2BC”改为“ AB >2BC "，其他条件不变，你能自己在图b中画出图形，求出 NAPM的度数吗？FFE% B E图b 838 .如图，D、E分别是 MBC的边BC和AB上的点， MBD与AACD的周长相等，ACAE 与 MBE的周长相等.设 BC=a, AC=b, AB =c .(1)求AE和BD的长；(2)若 NBAC=90，MBC 的面积为 S,求证：S = AE|_BD.39 .小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m, 50m ,第三边上的高为 30m.请你帮小强计算这块菜地的面积.(结果保留根号)40 . &ABC中，BC=a, A

22、C =b , AB =c .若/C =90、如图1 ,根据勾股定理，则22222a +b =c .若 必BC不是直角三角形，如图2和图3,请你类比勾股定理，试猜想a十b与C2的关系，并证明你的结论.41.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表:n2345seaa22132 -142152 -1a a ab46810a a ac_222 +132 +142 +152 +1sea(1)请你分别观察a, b, c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示:a =, b =, c =;(2)猜想：以a, b, c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想.42.据我国古代周髀算

23、经记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三，股四，弦五” .(1)观察：3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25;，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过.计算1(91)、1 (9+1)与1(251)、3 (25十1),并根据你发现的规律，2222分别写出能表示7, 24, 25的股和弦的算式；(2)根据(1)的规律，用n(n为奇数且n-3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；(3)继续观察4, 3, 5;

24、 6, 8, 10; 8, 15, 17;，可以发现各组的第一个数都是偶数， 且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用 m(m为偶数且m>4)的代数 式来表示他们的股和弦.43.如图，梯子 AB斜靠在墙上，/ACB=90> AB=5米，BC =4米，当点B下滑到点B' 时，点A向左平移到点 A .设BBX7k(0<x<4) , AA' = y米.(1)用含x的代数式表示v ；(2)当x为何值时，点B下滑的距离与点 A向左平移的距离相等？(3)请你对x再取几个值，计算出对应的y值，并比较对应的y值与x值的大小(y值可以用精确到0.01的近似数表

25、示，也可用无理数表示) .(4)根据第(1) (3)题的计算，还可以结合画图、观察，推测 y与x的大小关系及对44 .已知某开发区有一块四边形的空地ABCD ,如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量 £A =90©, AB =3m , BC =12m , CD =13m , DA =4m ,若每平方米草皮需要 200元，问要多少投入？45 .如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点G处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙.(盒壁的厚度忽略不计)(1)假设昆虫甲在顶点 G处静止不动，在图 画出一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路径爬行，可以在最短的时间内捕捉

26、到昆虫甲.(请简要说明画法)(2)如图，假设昆虫甲静止不动，昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？(3)如图，假设昆虫甲从顶点 C1 ,以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱 GC向下爬行， 同时昆虫乙从顶点 A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行， 那么昆虫乙至少需要多长时间才 能捕捉到昆虫甲？(精确到 1s).参考数据： M 为4.4 , 扬为4.6 .46 .在合肥市地铁一号线的修建过程中，原设计的地铁车站出入口高度较低，为适应地形,把地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍增加了，如图所示,已知原设计楼梯BD长20米,在楼梯水平长度（BC）不发生改变的

27、前提下，楼梯的倾斜角由30时曾大到45。,那么新设计的楼梯高度将会增加多少米？（结果保留整数，参考数据:J2M.414,煦定 1.732)BC47 .如图，小强在江南岸选定建筑物A,并在江北岸的B处观察，此时，视线与江岸 BE所成的夹角是30*,小强沿江岸 BE向东走了 500m,到C处，再观察 A,此时视线 AC与 江岸所成的夹角 /ACE =60.根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解 过程（结果可保留根号）；若不能，请说明理由.48 .在 MBC 中，AC=BC, /ACB=901 D、E 是直线 AB上两点./DCE =45*（1）当CE_LAB时，点D与点A重合，显然 D

28、E2=AD2+BE2 （不必证明）；（2）如图，当点D不与我A重合时，求证：DE2=AD2+BE2;（3）当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由.49 .如图，四边形 ABCD 中，AB_LBC , AD _L AB , AB =1 , BC =CD =2 .求四边形 ABCD的周长和面积.50 .定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”数学学习小组的同学从 32根等长的火柴棒(每根长度记为1个单位)中取 出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动.小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形

29、”；小辉受到小亮、 小颖的启发， 分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”.(1)请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；(2)你能否也从中取出若干根， 按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请 画出示意图；如果不能，请说明理由.摆出等边“整数三角形”；摆出一个非特殊 (既 非直角三角形，也非等腰三角形)“整数三角形” .勾股定理难题50道参考答案与试题解析一.选择题（共2小题）1 .已知：如图，无盖无底的正方体纸盒 ABCDEFGH , P, Q分别为棱FB , GC上的点，且FP =2PB , GQ =1QC ,若将这个正方体纸盒沿折线 AP -PQ -QH裁剪并展开，得2A. 一个六

30、边形B. 一个平行四边形C.两个直角三角形D . 一个直角三角形和一个直角梯形1122【解答】 解：依题意可知，BP=BF =DH , CQ= CG=DH ,3333又.：PB/CQ/DH ,.APBsMqCsAahd ,.A、P、Q、H四点共线，平面展开图形为平行四边形（如图）A B C D故选：B .2.已知 AABC中，AB =17 , AC =10, BC边上的高 AD =8 ,则边BC的长为（）A. 21B. 15C. 6D,以上答案都不对【解答】 解：在直角三角形 ABD中，根据勾股定理，得 BD=15;在直角三角形 ACD中，根据勾股定理，得 CD =6 .当AD在三角形的内部时

31、，BC =15+6=21 ;当AD在三角形的外部时，BC =156=9.则BC的长是21或9.D二.填空题（共24小题）3.在底面直径为2cm ,高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为352 +1_cm .（结果保留n）DCB【解答】解：如图所示, 无弹性的丝带从 A至C,绕了 1.5圈,二展开后 AB =1.5 父2兀=3ncm, BC =3cm ,由勾股定理得： AC =Jab2 +BC2 =曲/ +9 =3而 十亿巾.过4个侧面缠绕一圈到达点B,高为6cm .如果用一根细线从点 A开始经那么所用细线最短需要10 cm .【解答】解：将

32、长方体展开，连接A、B','：AA，=1 +3+1 +3=8(cm) , A'B，=6cm,根据两点之间线段最短，AB = n'8 +6 =10cm.故答案为：10.5.直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在RtMBC中，CC =90°,乙A、/B、/C的对边分别S -为a、b、c .设S&BC =S , a +b +c =l ,则S与l的比-缰含着一个奇妙的规律，这个规律与a+bc的值有关，观察下面 a、b、c取具体勾股数的表：三边 a、b、ca +b -clSS/l3452

33、1261/ 268104242415121343030181517640603/2121620848962BBSBBS B B B BSB若a +b -c =m ,则观察上表我们可以猜想出-=_m_ (用含m的代数式表示)l - 4 一S 12【斛答】 斛：1 m =a+bc = 3+ 45 = 2 时，=一=一；l 2 4m =a +b -c =6 +8 -10 =5 +12 -13=4时，S =1 =4 ; l 4_ S 3 6m =a +b c =8 +15 -17 =6 时，一=一=一；l 2 4m =a +b -c =12 +16 -20 =8 时，S =2；l 4:我们可以猜想出

34、S m . l 4故答案为m.6.等腰 MBC的底边BC =8cm,腰长AB =5cm , 一动点P在底边上从点 B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点 P运动到PA与腰垂直的位置时，点 P运动的时间应为或 25【解答】解：如图，作AD _LBC ,交BC于点D ,B BC =8cm ,1BD =CD = BC =4cm , 2:22,.ad=Jab -BD =3,分两种情况：当点 P运动t秒后有PA_LAC时，222222222,AP =PD +AD =PC -AC ,PD +AD = PC -AC ,22 22PD +3 =(PD +4) -5 ; PD=2.25, , BP =4

35、 -2.25 =1.75=0.25t,At =7 秒, 当点P运动t秒后有PA_LAB时，同理可证得 PD =2.25 ,二 BP =4 +2.25 =6.25=0.25t,J.t =25 秒，点P运动的时间为7秒或25秒.7.阅读以下解题过程：已知a , b , c为MBC的三边，且满足 a2c2 -b2c2 =a4 b4,试判断AABC的形状.Ol： +a2c2-b2c2 =a4-b4, (1),2 . 2. 22. 22. 2. 丁、J.c(a b ) =(a b )(a +b )(2),J.c2=a2+b2(3)问：(1)上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号J)(2)错误

36、的原因是.(3)本题正确的结论是. . . 9 9999 9 99 9 999 99【解答】 解：；c (a -b )=(a b )(a +b )工应有 c (a b)(a b )( a +b ) = 0导至 U2222222.222.222(a -b )c -(a +b )= 0 j. (a -b )=0 或c -(a +b ) =0 ,即 a=b 或 a +b =c ,二根据等腰三角形得定义和勾股定理的逆定理，三角形为等腰三角形或直角三角形.故 填，不能确定a2b2是否为0,等腰三角形或直角三角形.8.勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人 们对勾股定

37、理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最 早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理. 在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、 F、G、H分别在正方形 ABCD的边DA、AB、BC、CD上.若正方形 ABCD的面积 =16, AE=1;则正方形 EFGH的面积=10 .【解答】 解：丫四边形EFGH是正方形，; EH =FE , /FEH =90',A ZAEF +ZAFE =90 口，ZAEF +/DEH =90。,二/AFE =/DEH ,在 MEF 和 ADHE 中，2 A ZD4

38、/AFE =/DEH , EF =HE.AEF 三ADHE ,AF =DE ,正方形ABCD的面积为16,二 AB =BC =CD =DE =4 , AF =DE =AD -AE =4-1 =3,在 RtMEF 中，EF =JaE2 +AF2 =V10 ,故正方形EFGH的面积=布父。而=10.故答案为：10.9 . 一棵高9米的树从离地面 4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树 4米才是安全的.【解答】解：如图,地面 一1 地面 “ - 4 "折断前折断后BC即为大树折断处 4m减去小孩的高1m ,则BC =41 =3m , AB=9 4=5m,在 RtMBC

39、 中，AC =JAB2 BC2 =52 -32 =4米.即小孩至少离开这棵树 4米才是安全的.故答案为：4.10 .如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm.如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ,那么所用细线最短需要 _J73_cm .,;从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ,，展开后 AC =1cm m8 =8cm , BC =3cm ,由勾股定理得：AB = VAC2 +BC2 = J73cm.故答案为：773 .11 .如图所示的 勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm,则A、B、C、D四个小正方形的2cm4

40、0可得【解答】解：如右图所示, 根据勾股定理可知,SE方形2 + S正方形3 = S正方形1，S正方形C + S正方形D = S正方形2 ，Se方形A ' S正方形B =S正方形3，2,SE方形CS正方形DS正方形AS正方形B = S正方形1 =12 = 144 .1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点,到 MBC ,则 MBC中BC边上的高是 _3_.2 【解答】 解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B、C为EF、FD的中点,SABC = S正方形AEFD - S. AEB - S.BFC _S,cDAc c 1/c 1=2 2 1 2- 1 122_3-2.AB

41、C中BC边上的高是022=空13.如图,/ABC =90：分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分在MBC中,则S= AC2 ,2 一 2.AB BC-AB2 ,2 2 BC =S、22AB =§2=4, AC =§3=6,. Si =S3 -S2=6 4=2.,后人称其为“赵爽弦图”14.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”（如图1）.图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形 MNKT的面积分别为 S,S2,S3,若§+§+£=10,一10则S2的值是10

42、3弦寅二主朱及黄朱ff六黄寅一DB图1图2【解答】 解：将四边形MTKN的面积设为x ,将其余八个全等的三角形面积一个设为v，正方形 ABCD ,正方形EFGH ,正方形 MNKT的面积分别为 §,G,S3,§+G+S3=10,，得出 S=8y+x, S=4y+x, S3 =x,二 § +S2 +& =3x +12y =10 ,故 3x +12y =10 ,/10x +4y =, 3所以 S2 =x +4y =, 3故答案为：1°.315 .某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱.已知大厅圆柱高4米，底面周长1米.由于在中学同

43、学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少5 米.【解答】 解：将圆柱表面切开展开呈长方形, 则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长 ,圆柱高4米，底面周长1米222x =(1 3)4 =9 16 =25所以，花圈长至少是 5m.16 . RtMBC中，/BAC =90> AB =AC =2 ,以AC为一边，在 AABC外部作等腰直角三角形ACD ,则线段BD的长为4或275叟和0_.【解答】 解：以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ,: BD =BA + AD =2+2 =4;=AC ,以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形AC

44、D ,连接BD ,过点D作DE _L BC ,交BC的延长线于 E .7MBC是等腰直角三角形，/ACD =90°,J./DCE =45*, 又；DE _LCE ,J./DEC =90*,J./CDE =45*, .CE =DE =2 -2=2,2在 RtiBAC 中，BC =。22 +22 =2我，BD =JBE2 +DE2 = 7(272 +72)2+(72)2 =2底;以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ,BCAADCC =90、AD =DC ,且 AC =2 , _. 2.AD =DC =ACsin45°=2M=也， 2又7族BC、MDC是等腰直角三角形，二/

45、ACB =/ACD =45，j./BCD =90>又/ 在 RtMBC 中，BC =42 +22 =2五 , BD =JBC2 +CD2 =J(2扬2 +(72)2 =加.故BD的长等于4或2而或710.17.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣. 1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理.在右图的勾股图中， 已知/ACB=901 /BAC=301 AB =4 .作 APQR 使得/R = 901 点 H 在边 QR上， 点D, E在边PR上， 点G, F在边PQ上， 那么APQR的周长等于27 13.

46、3【解答】解：延长BA交QR于点M ,连接AR , AP .'：AC=GC, BC=FC, /ACB=/GCF,.ABC 三&GFC ,二/CGF =/BAC=30，£ HGQ =60)：NHAC =/BAD =90 ):/BAC 十NDAH =180口，又 AD / /QR ,./RHA+/DAH =180，./RHA = /BAC=30 工：,£ QHG =60°,./Q=/QHG =/QGH =60：.QHG是等边三角形.AC =ABcos30o = 4x =2岳.2贝U QH =HA =HG = AC =2抠.3,一在直角 AHMA 中，H

47、M =AHsin60 =2V3x =3 , AM = HALcos60°= V3 .2在直角 AAMR 中，MR =AD = AB =4 .二 QR =2百+3+4 = 7 +2点.二 QP =2QR =14+4向.PR = QRL3 =7>/3+6 .PQR 的周长等于 RP+QP +QR=27+13V3.故答案为：27 13,3.18.如图，在 Rt&ABC 中，/C =90、点 D 是 BC 上一点， AD = BD ,若 AB=8, BD=5,贝U CD = 7一5 一【解答】 解：设AC=x, CD=y,由勾股定理得： '2,_、 2 一x (y 5)

48、 =644 22,x y =25消去x ,得：22(y+5) -y =39,整理，得：10y =14 ,即 y =7 , 5故CD的长为7 . 519 .如图，有一个圆柱，它的高等于4cm,底面半径等干 cm ,在圆柱下底面的 A点有一冗只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是_4&cm.(结果保留根号)->uS【解答】解：将圆柱体展开，连接A、B ,根据两点之间线段最短，AB =,42 + 42 = 4&cm .B20 .将一个含30*角的三角板和一个含45口角的三角板如图摆放，/ACB与/DCE 完全重合，/C=901/A = 45&qu

49、ot;，/EDC=60", AB = 4&，DE =6,贝 U EB = 3石-4,- D【解答】解：在RtAABC中，；AB=4V2, /A =45。.BC =4.2 a=4 2在 RtAEDC 中，；NEDC=60，DE =6,.CE =DE|_sin . EDC =6 色=3.3 2:.BE =CE -BC =373-4 .故填空答案：373-4.221 .某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m,面积为160m，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为_20+4/89度40 +16行或 40 +8j5_m .【解答】 解：（1

50、）当20是等腰三角形的底边时，根据面积求得底边上的高 AD是16,再根据等腰三角形的三线合一，知：底边上的高也是底边上的中线，即底边的一半BD=10,根据勾股定理即可求得其腰长 AB =JAD2 +BD2 =m00 +256 =2痴，此时三角形的周长是20 +4 病；(2)当20是腰时，由于高可以在三角形的内部，也可在三角形的外部，又应分两种情况.根据面积求得腰上的高是16;当高在三角形的外部时,在 RTMDC 中，AD = Jac2 CD2 =12 ,从而可得 BD =32 ,进一步根据勾股定理求得其底边是BC =JCD +BD =Jl62 +322 =16而，此时三角形的周长是 40 +1

51、675 ；当高在三角形的内部时,BD =AB - AD =8,根据勾股定理求得 AD = .AC2 -CD2 =12在RTACDB中，BC =JcD2 +BD2是V162 + 82 = 8芯,此时三角形的周长是 40+8V5 ;故本题答案为：20+4而9或40+1675或40+8y/5 .22 .九章算术“勾股”章有一题：“今有开门去闻(kun) 一尺，不合二寸，问门广几何.大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为 2寸，那么门的宽度(两扇门的和)为 10.1 尺.【解答】解：设单门的宽度是x米，根据勾股定理，得x2 =1+(x0.1)2, x=5.05,则2xMD尺.23 .如

52、图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的点 A (长的四等分点)处有一只壁虎、点B (宽的三等分点)处有一只蚊子.则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 _v185_ m .【解答】 解：将正方体的上面剪开则变成如图1所示的正方形，I'A是长的四等分点， B是宽的三等分点，长 8m、宽6m、高5m,AC=6m, BD =2m , BC =CD+BD =5+2 =7m , AB =JaC2 +BC2 =J62 +72 =485m.图I如图2所示，:AC =5 米，BC =8 米,贝U AB =后 +82 =隔 米;如图 3, AB=562+(6+5+4)2 =7261 (米), : 腐（厢

53、 <V261,二最短路程为痴米.则最短距离为J85米.故答案为：底.24 .如图，RtMBC的两直角边分别为 1, 2,以Rt欣BC的斜边AC为一直角边，另一直角边为1画第二个AACD ；在以 MCD的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个MDE;，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是5父6父10 （单位：cm）,在上盖中AB距离为1cm,到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm ,则h的最小值大约为_2【解答】 解：第1个直角三角形的斜边长是 斯="4；第2个直角三角形的斜边长是5+1 =厌=22+4 ;.，依次可得第n个直角三角形的斜边长

54、的被开方数比第（n -1）个直角三角形的斜边长的被开方数大1;故第n个直角三角形的斜边长是而下4 .故答案为：Jn +4 .25 .如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为开有一孔便于插吸管，吸管长为 13cm,小孔到图中边cm .（精确到个位，参考数据：721.4, 73之1.7, J5生2.2）.吸管【解答】解：如图所示：连接 DC , CF ,由题意：ED =3 , EC =5 _1 =42 _22 _2CD =3 +4 =25=5 , 2 2_2 _CF =5 +10 =125 ,吸管口到纸盒内的最大距离 =阮5 =5而 W1cm .j. h =13 11 之2cm .故答案为：2.吸管26.如图，有一圆柱体，它的高为 20cm,底面半径为7cm.在