全国2卷理科2007年普通高等学校招生全国统一考试(高考数学试卷)

1、2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷n)理科数学(必修+选修II)全解全析注意事项：1 .本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.共4页，总分150分考试时间 120分钟.2 .答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置3 .选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。4 .非选择题必须使用 0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚。5 .非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域

2、内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。6 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷(选择题)本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题意要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么P (A+B ) =P (A) +P (B) 如果事件A、B相互独立，那么P (A B) =P (A) - P (B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么球的表面积公式_ 2S=4 R其中R表示球的半径, 球的体积公式n次独立重复试验中恰好发生Pn(k)=C n Pk(1 P)n k一.选择题1. sin2100 =k次的概率4V= 一3R3其中R表示球的半

3、径(A)(B)型(C)2(D)第14页共11页7 .函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是(A) ( 一 z , ) (B)一1 2i ,3.设复数z满足=i,则z =z(A) - 2+i(B) - 2- i4 .以下四个数中的最大者是(C) 2-i(D) 2+i(A) (ln2) 2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln25 .在？ ABC中，已知 D是AB边上一点，若 AD =2 DB ,-1CD =-CA CB,则= 32(A)3(B)(C) - 13心、2)- - 3x6.不等式： x(A)( 2, 1)(C)( 2, 1)U (1>04的解集为2, +8)(

4、B) ( 2, +8)(D) ( - 8, -2)U7 .已知正三棱柱 ABC AiBiCi的侧棱长与底面边长相等，则 的正弦等于(1, +°°)ABi与侧面 ACCiAi所成角(A) 44. 10二.2(C) T)8 .已知曲线x2_一 3ln x的一条切线的斜率为411万,则切点的横坐标为(A)3(B) 2-1(C) 1(D) 29 .把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移，得到y=f(x)的图象，则f(x)=(A) ex-3+2(B) ex+3-2(C) ex-2+3(D) ex+2 310 .从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一

5、天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有 1人参加，则不同的选派方法共有(A)40 种(B) 60 种(C) 100 种(D) 120 种2211 .设Fi, F2分别是双曲线 一2 -2- a2b21的左、右焦点。若双曲线上存在点 A,使/ FiAF2=90o,且|AFi|二3|AF2|,则双曲线离心率为(A)(B)(C).15(D) 、，512 .设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若 FA FB FC =0,则 |FA|+|FB|+|FC|=(A)9(B) 6(C) 4(D) 3第II卷(非选择题)本卷共10题，共90分。二.填空题113 . ( 1+2x2)

6、(x-x)8的展开式中常数项为 。(用数字作答)14 .在某项测量中，测量结果服从正态分布N (1, 2) ( >0),若在(0, 1)内取值的概率为0.4,则 在(0, 2)内取值的概率为 。15 .一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为 cm2.Sn16 .已知数列的通项 an=5n+2淇前n项和为Sn,则lim 言=。n n三.解答题：本大题共 6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 .在? ABC中，已知内角 A=§，边BC=2 J3,设内角B=x,周长为y(1)求函数y=f(x)的

7、解析式和定义域;(2)求y的最大值18 .从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A: “取出的2件产品中至多有1件是 二等品”的概率 P (A) =0.96(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率 p；(2)若该批产品共有100件，从中任意抽取2件，表示 取出的 件产品中二等品的件数，求的分布列19 .如图，在四锥SABCD中，底面ABCD为正方形, 侧棱SDX 底面ABCD , E、F分别是AB、SC的中点(1) 求证：EF/ 平面SAD(2) 设SD = 2CD ,求二面角 A EFD的大小20.在直角坐标系 xOy中，以O为圆心的圆与直线：x-V3y=4相切(1

8、)求圆O的方程(2)圆。与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO卜|PB|成等比数列，求PA PB 的取值范围。3 an 121 .设数歹U an的首项 aC (0,1), an=-1 , n=2,3,4 -(1)求an的通项公式；(2)设bn an <3 2an ,求证bn <bn 1 ,其中n为正整数。22 .已知函数f(x)=x3 x(1)求曲线y=f(x)在点M(t, f(t)处的切线方程(2)设a>0,如果过点(a, b)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明： 一a<b<f(a)2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(必修+选修

9、n)参考答案评分说明:2.3.4.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度.可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.、选择题题号123456789101112答案DCCDACAACBBB1 .c .一 1.sin2100 = sin 303,选 D。2.函数

10、f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是(，£)，选C。23.设复数z= a1 2i . .bi, (a, bCR)满足=i,1 2i aiz4.5.Co. 0 ln2Do在？ ABC中,uur uurCD CAuurAD6 .不等式：7 .已知正三棱柱1 ,ln(ln2)<0 , (ln2) 2< ln2 ,而 In 2 =1 .ln2<ln2 , 2ln2,已知uurCA->0, 4ABCD是AB边上一点，若AD =2 DB ,2 uur-AB3uurCA2 uuu 一(CB3uur 1 uur CA) CA 31 _ - CD =-CA32 uur -

11、CB , 32£，选 A。3(x 2)( x 2)0,原不等式的解集为(-2, 1)U(2, +8),选A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取AD1, / B1AD1是AB1与侧面 ACC1A1所成的角，sinB1AD1CoA1C1的中点D1,连接BD1,J .多坦选A。、242 x8.已知曲线y 413ln x的一条切线的斜率为:y1,解得 x=3 或 x= 2,2由选择项知，只能选 A °9 .把函数y=ex的图象按向量ra =(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= ex 2 3,选C。10 .从5位同学中选派4位

12、同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有 1人参加，则不同的选派方法共有C；A2 60种,选B。 22x y且 |AF1|=3|AF2| ,设 |AF2|=1 ,11 .设F1,F2分别是双曲线 彳 1的左、右焦点。若双曲线上存在点 A,使/ FiAF2=90o, a2 b2|AF1|=3 ,双曲线中 2a |AF1| IAF2I 22c J| AF1 |2| AF212.离心率 e 弓一，选 B。12 .设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若 FA FB FC =0,则F为ABC的重心， A、B、C三点的横坐标的和为

13、F点横坐标的3倍，即等于3,. |FA|+|FB|+|FC|=(xa 1)(xb 1) (xc 1) 6,选 B。、填空题题号13141516答案420.82 4五5213 . (1+2x2)(x 1)8 的展开式中常数项为 1 C84 2 c3 ( 1)3=-42o x14 .在某项测量中，测量结果服从正态分布N (1, 2) ( >0),正态分布图象的对称轴为x=1 , 在(0, 1)内取值的概率为 0.4,可知，随机变量E在(1, 2)内取值的概率于 在(0, 1)内取值的概率相同，也为 0.4,这样随机变量E在(0, 2)内取值的概率为 0.8。15 . 一个正四棱柱的各个顶点在

14、一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm,设正四棱柱的高为h,2R=2= 712 12h2 ,解得h= 42 ,那么该棱柱的表面积为 2+4N2cm216 .已知数列的通项 an= 5n+2,其前n项和为Snn,则limn = "。2nn22三、解答题17.解：(1) 4ABC的内角和ABC，由 A B 0, C 0得 0 B应用正弦定理，知ACBCsinBsin A2 , 3 一、sin xsin 4sin x ,ABBC .2sin C 4sin - sin A因为y ABBC AC ,所以y 4sinx 4sin2、. 3 0(2)因

15、为y4 sin xcosx一sin x22.34 3 sin2、3 所以，当x ，即x 时，y取得最大值673.18.解：（1）记 与表示事件“取出的2件产品中无二等品”Ai表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”.则Ao, A互斥，且A A A ,故P(A) P(Ao A)P(Ao) P(A) 2_1(1 p)C2p(1 p)1 P2一一一2于是 0.96 1 p .解得 P10.2, P20.2 (舍去).(2)的可能取值为0,1,2.20件，故若该批产品共100件，由(1)知其二等品有100 0.2C20316P(P(P(0).C200495C80C20160C200495 ,2)与也

16、C G200495所以的分布列为012P3161601949549549519.解法一：(1)作FG / DC交SD于点G ,则G为SD的中点.,1连结 AG, FG之一CD ，又 CDJLAB ,一2故FG史AE, AEFG为平行四边形.EF / AG ,又 AG 平面 SAD, EF 平面 SAD.所以EF /平面SAD.(2)不妨设 DC 2,则 SD 4, DG 2,zADG 为等 腰直角三角形.取AG中点H ,连结DH，则DH，AG .又 ABL 平面 SAD,所以 AB± DH，而 ABI AG A, 所以DH，面AEF .取EF中点M ,连结MH，则HM，EF .连结D

17、M，则DM，EF .故 DMH为二面角A EF D的平面角tan DMH空S、2HM 1所以二面角A EFD的大小为arctan J2 .解法二：(1)如图，建立空间直角坐标系D xyz .设 A(a,0,0), S(0,0, b),则 B(a, a,0) C(0,aa bE a, 1,0 ， F 0, 1 ,一,22 2uur EF八b a,0,一2b UUUT取SD的中点G 0,0,-,则AG 2a,。,一2a Q),uur EFuuurAG, EF / AG, AG 平面 SAD, EF平面SAD,所以EF /平面SAD.不妨设 A(1,0,0),则 B(1,1,0)-11C(0,1,0

18、), S(0,0,2) E 1,-,0 , F 0,-,11 1 1 uuuuEF 中点 M ，, ,MD2 2 222111 uuruuuu uur-,EF ( 1,0,1),MD gEF 0, MD ± EF222uuu 1 uuu uuir又 EA0, -,0 , EAgEF 0, EA± EF ,2uuuu uuu所以向量MD和EA的夹角等于二面角 A EF D的平面角.uuuu uur cos MD,EAuuuu uurMDuuuuMD gEA所以二面角a EFD的大小为arccos20.解:(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x 73y 4的距离,rr4-

19、即 r 2 . 1 3得圆O的方程为x2 y2 4 .(2)不妨设 A(x,0) B(x2,0) x1 x2,由 x2 4 即得A( 2,0), B(2,0).设P(x, y),由| PA , PO , PB成等比数列，得J(x 2)2 y2 g，(x 2)2 y2 x2 y2,即 x2 y2 2 .uuu uurPAgPB ( 2 x, y)g2 x, y)x2 4 y2 2(y2 1).22x y 4,由于点P在圆。内，故 y 22cx y 2.由此得y2 1.uur uuu所以PAgPB的取值范围为2,0).3 a1 一一解：(1)由an -, n 2,3,4,，也 ,1 、整理得 1 an 2(1 an 1).，、，1又1 a1 0,所以1 an是首项为1 a1，公比为 石的等比数列，得,%、1 n 1an 1 (1 a1)2(2)方法一：3 ,. 一由(1)可知0 an ,故bn 0 .2那么，bn 1 bn22 ,an 1 (3 2an 1) an (3 2an)3 an2等(an4又由(1)知an23 2 号a2(3 2an)1)2.0且 an 1 ,故 b： 1 b2 0 ,因此 bnbn 1,n为正整数.方