专题一阿基米德三角形地性质

1、实用标准阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦 AB为阿基米德三角形的底边，M为底边 AB的中点， Q为两条切线的交点。性质 1阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。性质 2阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为。性质 3抛物线以 C为中点的弦与 Q点的轨迹。性质 4若直线 l 与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。性质 5底边长为 a 的

2、阿基米德三角形的面积的最大值为。性质 6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。性质 7在阿基米德三角形中， QFA=QFB。性质 8在抛物线上任取一点I（不与、B重合），过I作抛物线切线交、于、 ，则AQA QBS TQST的垂心在上。性质9|2AF| · | BF|=| QF| .性质 10的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB。QM性质 11在性质 8 中，连接 AI 、 BI ，则 ABI 的面积是 QST面积的倍。精彩文档实用标准高考题中的阿基米德三角形例 1（ 2005 江西卷，理 22 题）如图，设抛物线 C : y =

3、 x2 的焦点为F，动点 P在直线 l : x - y - 2 = 0上运动，过P 作抛物线 C的两条切线 PA、 PB，且与抛物线C分别相切于 A、B 两点 .（ 1）求的重心G的轨迹方程 .APB（ 2）证明 PFA= PFB.y解：（ 1）设切点 A、B 坐标分别为22x0 ) ，FB(x, x0 )和(x1, x1 )( x1 1Alxx02切线 AP的方程为：2x0 x - y -= 0;O切线 BP的方程为： 2x1 x - y -x12=0;P解得 P 点的坐标为： xP=x0 + x1 , yP= x0x12所以的重心 的坐标为，APBGyG =y+ y+ yP =x2+ x

4、2 + xx1 =(x+ x)2- xx1 =4xP 2 - yp,010100103333所以 yp = - 3yG + 4xG2，由点 P 在直线 l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：x - (- 3y +4x 2 ) -2 =0,即 y =1 (4x 2 - x + 2).uur3uuuruuur1x0+ x111（ 2）方法 1：因为 FA= (x, x2-, xx-= (x , x2).00), FP= (1), FB1-420414uuur由于 P 点在抛物线外，则 | FP |10.uuuruuurx0+ x1 ?x 0(x0x1 -1)( x02-1)x 0x1 +1 cos

5、 ? A FPFP ×FA=244=uuur4 ,uuuruuuruuur1| FP| FA|22-)2| FP| FP | x0+ ( x04uuuruuurx0+ x1?x1(x0x1 -1)( x12-1x0x1 +1)同理有 cos? BFPFP ×FB=244=uuur4 ,uuuruuuruuur1|FP |FB |222| FP|FP |x-1 + (x1)4=.AFPPFB方法 2：当 x1x0= 0时由,于 x1?x0 , 不妨设 x00,则 y0= 0,所以 P 点坐标为 ( x1,0) ，则 P点到直2精彩文档实用标准线 AF的距离为： d=| x1

6、| ; 而直线 BF 的方程 : y -1=x12 -14 x,124x1即211-4)x - x1y +4 x1 = 0.(x1| (x12 -所以 P 点到直线 BF的距离为： d2 =(x12 -1)x1+x1|(x2+1| x1 |42414)| x1 |2=1 )2 + (x1 )2x12 + 1244所以 d1=d2，即得 AFP= PFB.21当 x1x0 1 0 时，直线 AF的方程：y -1=x 0 -4(x - 0),即(x211x0 = 0,4x0 -00- )x - x0y +442-1直线 BF的方程： y -1x14 ( x - 0), 即(x12 -11=)x -

7、x1y +x1= 0,4x1 -044所以 P 点到直线 AF的距离为：21x+ x21x- x21d1 =| (x0 -4 )(0 21 ) - x0x1+4 x 0 | =|021 )( x 0+4) =| x0 - x1 | ，(x 02 -1 )2 + x02x 02 + 1244同理可得到P点到直线BF的距离d2| x1-x 0 |1=2，可得到=PFB=2，因此由 ddAFP例 2(2006 全国卷，理21 题 ) 已知抛物线x2 4y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且AF FB（ 0）过 A、 B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明 FM· AB为定

8、值；（）设 ABM的面积为 S，写出 Sf ( ) 的表达式，并求S 的最小值解： ( ) 由已知条件，得F(0 ， 1) ， 0设 A( x1， y1) ， B( x2， y2) 由 AF FB，即得( x1， 1y) ( x2， y2 1) ， x1 x21 y1 (y 21)精彩文档实用标准11将式两边平方并把y1 4x12， y24x22 代入得y1 2y21解、式得y1 ， y2 ，且有 x1x2 x22 4 y2 4，11抛物线方程为y4x2，求导得 y 2x所以过抛物线上A、B 两点的切线方程分别是11y 2x1( xx1) y1，y 2x2( x x2) y2，1111即 y

9、2x1x 4x12，y 2x2x4x22M的坐标为 (x1 x2x1x2x1 x2解出两条切线的交点2， 4) (2，1)4 分x1 x2111所以 FM· AB (2， 2) · ( x2 x1， y2 y1) 2( x22x12) 2( 4x22 4x12) 07 分所以 FM· AB为定值，其值为 01( ) 由 ( ) 知在 ABM中， FMAB，因而 S 2| AB|FM| x1x2111| | (2) 2( 2) 24x2 x 2xx 4FM142212111y1 y22× ( 4) 4 2 因为| |、| 分别等于 、到抛物线准线 1 的距

10、离，所以AFBFA By11| AB| | AF| | BF| y1 y2 2 2 ( )2 11于是S 2| AB|FM| ( )3 ，1由 2 知 S 4，且当 1 时， S 取得最小值 4例 3（ 2007 江苏卷， 理 19 题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 C (0,c) 任作一直线，与抛物线y = x 2 相交于 AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段 AB 和直线 l : y = - c 交于 P,Q ，uuur uuur2 ，求 c 的值；（ 5 分）（ 1）若 OA ?OB精彩文档实用标准（ 2）若 P 为线段 AB 的中点，求证： QA

11、 为此抛物线的切线； （ 5 分）（ 3）试问（ 2）的逆命题是否成立？说明理由。（4 分）解：（ 1 ）设过C 点的直线为y = kx + c ，所以 x2 = kx + c( c>0) ，即 x2 - kx -c = 0 ，设A(x1, y1 ), B (x2 , yuuuruuuruuuruuur2 ) ， OA =(x1, y1 )， OB = (x2 ,y2 )，因为 OA?OB 2，所以x1x2 + y1y2 = 2 ，即 x1x2 + (kx1 + c)(kx2 + c) = 2 ， x1x2 + k2 x1x2 - kc (x1 + x2 )+ c 2 = 2所以 - c

12、 -k 2c + kcgk + c 2= 2 ，即 c2 - c - 2 =0, 所以 c = 2 (舍去 c = -1)（ 2 ） 设 过 Q 的 切 线 为 y - y1 = k1 (x - x1 ) ， y / = 2x ， 所 以 k1 = 2x1， 即骣c÷22y = - cM?x1y = 2x1 x - 2x1+ y1 = 2x1 x - x1， 它 与的交点为?-÷， 又?,- c÷?2x1÷桫2骣骣2骣cx1 + x2 y +÷k1y ÷ 2 k k÷= x?÷?÷?,-P?,= ? ,c

13、，所以 Q?- c÷= - c2，所以， 因 为 x x, 所 以?÷?÷?÷1 2÷÷x?÷ ?22桫21桫 2桫2骣x2÷骣x1k÷?÷?M?+÷所以点 M和点 Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。, - c = ? ,- c ,?÷?÷÷÷?2桫桫22骣÷k,?÷（ 3）（ 2）的逆命题是成立， 由（ 2）可知 Q- c ，因为 PQ x 轴，?÷?÷桫2骣所以 P ?k , y ÷

14、7;?桫2P ÷÷因为 x1 + x2 = k ，所以 P为 AB的中点。22例 4（ 2008 山东卷，理22 题）如图，设抛物线方程为x 2= 2py( p > 0) ， M 为直线 y = - 2p 上任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为A，B （）求证： A， M ，B 三点的横坐标成等差数列；（）已知当 M 点的坐标为 (2，- 2p) 时， A B = 410 求此时抛物线的方程；（）是否存在点M ，使得点 C 关于直线 AB 的对称点2D 在抛物线 x = 2py( p > 0) 上，其中，uuuruuuruuur点C 满足OC =OA +

15、 OB （ O 为坐标原点） 若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不精彩文档实用标准存在，请说明理由骣2鼢骣2珑x1x2珑，鼢，解：（）证明：由题意设A x，B xx< x鼢M (x - 2p ) 珑鼢2120珑12p鼢2p桫桫由 x 2 = 2py 得 y = x2 ，得 y = x ，2pp所以 kMA=x1， kMB=x2pp因此直线 MA 的方程为 y +2p=x1 (x -x0 ) ，直线 MB 的方程为 y + 2p =x2 (x - x0 ) pp所以 x12+ 2p =x1 (x1 - x0 ) ，x22+ 2 p =x 2 (x2 - x0 ) 2pp2pp由、得

16、 x1 + x2 = x1 + x2 -x0 ，2因此 x0=x1 + x2 ，即 2x0 = x1 + x2 2所以 A， M ， B 三点的横坐标成等差数列（）解：由（）知，当x0=2时，将其代入、并整理得：2222x1 - 4x1 - 4 p = 0 ，x2 - 4x 2 - 4p = 0 ，所以 x1， x22-20 的两根，是方程 x4x - 4 p =因此 x1 + x2 = 4 ， x1x2 = - 4p 2 ，又 kAB =x22-x12x1+ x2x0 ，所以 kAB =22p2p =p x 2 -x12pp由弦长公式得AB =1 + k22- 4x1x2 = 1 +42(

17、x1 + x2 )2 16 + 16pp又 A B= 410，所以 p =1或 p =2 ，精彩文档实用标准因此所求抛物线方程为x2=2y或 x 2 =4y（）解：设 D (x 3， y3 ) ，由题意得 C (x1 + x2， y1+ y2 ) ，骣+ x2 + x 3 y1 + y2 + y3 ÷x1则的中点坐标为?，÷CDQ?，?÷÷?22÷桫设直线 AB 的方程为 y - y1 =x0(x - x1 ) ，p骣+ x2 y1+ y2 ÷x0x1由点 Q 在直线上，并注意到点?，÷上，代入得 y=xAB?也在直线AB3

18、3?÷?22÷p桫若 D ( x3，y3 ) 在抛物线上，则 x32= 2py 3=2x 0x3 ，骣2x2D (0，0)?0 ÷因此或 D?，÷x= 0 或 x= 2x即2x0330?÷÷?p÷桫（ 1）当 x0=0时，则 x1 + x 2 = 2x0 =0 ，此时，点 M (0，-2p)适合题意骣22x12 + x2222D (0，0)?x1+ x2 ÷x1 + x2（ 2）当，此时?，÷，x010，对于C ?2x0，2p =÷k=?2p÷4px 0桫÷CD2x0x0x

19、02222又 kAB=， AB CD ，所以 kAB gkCD =x1 + x2x1 + x2= - 1，ppg4px0=4p222= -2即 x1 + x24p，矛盾骣2÷骣22÷?2x0?x1+ x2平行于 y 轴，对于，÷，÷D?，因为C?，此时直线CD?2x0÷?2x0÷?p÷?2p÷桫÷÷桫x又 kA B = 0 ? 0 ，所以直线 AB 与直线 CD 不垂直，与题设矛盾， p所以 x0 1 0 时，不存在符合题意的M 点综上所述，仅存在一点M (0，- 2p) 适合题意精彩文档实用标

20、准例5 （ 2008江 西 卷 ， 理 21 题 ） 设 点 P (x 0, y0 ) 在 直 线x =m(y贡,m0<<m)1上，过点 P 作双曲线 x 2 -y 2 = 1 的两条切线 PA、 PB ，切点为 A、 B ，定点 M ( 1，0) m（ 1）过点 A 作直线 x -y = 0 的垂线， 垂足为 N ，试求 AMN的重心 G 所在的曲线方程；（ 2）求证： A、 M 、 B 三点共线证明：（ 1）设 A(x1, y1 ), B (x2 ,y 2) ，由已知得到 y1 y210，且 x 2- y2= 1 ， x2- y2= 1 ，1122ì?= k(x - x1)设切线 PA 的方程为： y -y1 = k(x -?y - y1得x1) 由 íx2-y2