高斯光束通过含硬边光阑复杂光学系统的传输

1、第27卷第4期2003年8月激光技术LASERTECHNOLOGYVol.27,No.4August,2003文章编号:100123806(2003)0420299203高斯光束通过含硬边光阑复杂光学系统的传输3赵光普1,2吕百达1,3(1四川大学激光物理与化学研究所,成都,610064)(2宜宾学院电子信息与工程系,宜宾,644007)(3华中科技大学激光技术国家重点实验室,武汉,430074)摘要:使用矩阵分解方法,推导出了高斯光束通过内含硬边光阑ABCD光学系统的解析传输公式,并作了物理分析。以高斯光束通过空间滤波器所作的数值计算为例对理论结果进行了说明。对进一步的推广应用亦作了讨论。关

2、键词:传输公式;矩阵分解;含硬边光阑ABCD光学系统;高斯光束中图分类号:O435文献标识码:APropagationofGaussianbeamspassingthroughcomplicatedABCDopticalsystemwithinternalhard2edgeapertureZhaoGuangpu1,2,LüBaida1,3(1InstituteofLaserPhysicsandChemistry,SichuanUniversity,Chengdu,610064)(2DepartmentofElectronicInformationandEngineering,Yibi

3、nCollege,Yibin,644007)(3NationalLaboratoryofLaserTechnology,HUST,Wuhan,430074)Keywords:propagationequation;matrixdecomposition;ABCDopticalsystemwithinternalhard2edgeaperture;Gaussianbeam引言迄今,从Collins公式1出发,对光束通过近轴2,3ABCD光学系统的传输已作了许多研究。当有硬边光阑时,若光阑位于入射参考面上,利用将硬边光阑窗口函数展开为有限个复高斯函数叠加的方法,常可推出近似解析传输公式3,4。但若

4、硬边光阑不在入射参考面上,而置于复杂光学系统内时,直接利用Collins公式遇到困难。人们对解析公式感兴趣的主要原因是:(1)对光束在多个光学元件中的传输问题,使用解析公式可大量节约机时,便于在微机上操作;(2)可直接从解析公式出发,分析光束的传输变换规律、影响光束场分布的物理因素、以及硬3华中科技大学激光技术国家重点实验室资助项目。作者简介:赵光普,男,1963年5月出生。副教授。现从事激光光学的教学与科研工作。收稿日期:2002208216;收到修改稿日期:2002211218边光阑对光束质量的影响等等。笔者提出了一个研究光束通过内含硬边光阑复杂ABCD光学系统传输变换的解析方法,对所得解

5、析公式作了物理分析,并以高斯光束通过空间滤波器为例进行了数值计算和讨论。最后,指出了文中所用方法和所得结果可能的推广应用。1理论推导高斯光束通过图1所示内含硬边光阑近轴复杂4ABCD光学系统时,可采用矩阵分解的方法,将ABCD矩阵等效分解为:ACB=A2C2B2DA1C1B1D=A1A2+B2C1A1C2+C1D2A1C1B1DA2C2A2B1+B2D1B1C2+D1DB2D(1)式中,分别为入射参考面RP1至光阑所在平面RP0之间与RP0至出射参考© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights rese

6、rved.300激光技术2003年8月面RP2之间光学系统的传输矩阵。(8)式即为高斯光束通过内含硬边光阑复杂ABCDFig.1ComplicatedopticalsystemconsistingoftwoAiBiCiDiopticalsystems(i=1,2)andaninternalhard2edgeaperture设1维高斯光束在入射参考面RP1上的场分22(2)布为:E0(x0,0)=exp(-x0/w0)式中,w0为束腰宽度,为简单起见,这里只研究1维情况,但很容易推广到2维。光束通过近轴ABCD光学系统的传输遵从Collins公式E(x,z)=1光学系统解析传输公式,是文中的主要

7、解析结果。(8)式表明,高斯光束通过内含硬边光阑复杂ABCD光学系统后,其场分布E(x,z)不仅与光学系统矩阵元有关,而且还依赖于硬边光阑的宽度a。与文献5中采用将硬边光阑窗口函数展开为有限个复高斯函数之和的近似方法不同,笔者所得(8)式是一个用误差函数表示的解析传输公式。计算结果表明,利用(8)式和与直接对Collins公式(3)式作数值积分所得结果完全一致。特例:(1)硬边光阑的孔径a时,易证(8)式简化为:2(11)E(x,z)=exp-QxBP式中,P=()2w0(12)(13):BE(x-+00,0)×(3)2Q=+2B4B2Pexp-(Ax02-2xx0+Dx2)dx02

8、B(11)式为高斯光束通过无光阑限制ABCD光学系统解析传输公式。与文献7中(5)式,当A0=1,/为波数。(2)式代入(3)式式中,为波长,k=2积分得:E1(x1,z)=0=0时是一致的。C1D0硬边光阑A2B2C2D2光学系统的传输。(8)式成(2)若A1B1=10,即高斯光束通过带B1P0exp(-Q0x12)(4)为:(5)(6)E(x,z)=Tk(DT2-kw2)2xexp2B2iT2式中,22P0=(2B1+ikA1w0)/2B1w0Q0=ikD1/2B1+k2/4B12P0(14)(4)式为高斯光束通过A1B1C1D1光学系统后到达式中,T=S=erf2iB2+A2kw02(1

9、5)+(16)硬边光阑所在RP0参考面前的场分布解析传输公式。E1(x1,z)经带硬边光阑(半宽度为a)的A2B2C2D2光学系统的传输仍由(3)式表征,但积()(22)2w0T2w0T22分限应由-a至a。将(4)式代入(3)式,利用误差函数公式erf(y)=6erf(+i)(aT2+kw2x):积分之,最后结果整理为:E(x,z)=2iRyexp(t)dt=-y+yexp(t2)dt(7)当A0=1,0=0时,(14)式与文献6中(16)式一致。2数值计算及结果分析现以高斯光束通过图2所示空间滤波器的传输为例,说明(8)式的应用。滤波器由共焦放置的焦距分别为f1,f2的透镜F1,F2及滤波

10、小孔组成。设入射参考面RP1(z=0)位于透镜F1前方d1处,出射参考面RP2位于透镜F2后方d2处,滤波小孔的半宽为a,则A1B1C1D1和A2B2C2D2变换矩阵分别为:×P0B1()2exp-xR2(8)(9)式中,R=B2(iA2k+2B2Q0)22F=erf-erfRR(10)© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第27卷第4期赵光普高斯光束通过含硬边光阑复杂光学系统的传输301A1C1A2C2B1D=0-1/f11-d2/f2-1/f2f11-d1/ff2

11、(17)(18)B2D0图中可以看出,入射高斯光束通过空间滤波器后,由于滤波小孔的衍射作用,在中央主极大两侧对称出现一些强度为极值的次极大点。滤波小孔越小,衍射效应越明显。图4为高斯光束通过透镜焦距分别为0.6m,0.8m,1m的空间滤波器时,在z=2f面处a/轴上光强随空间滤波器截止频率=2f的变化曲线。可以发现截止频率较低时,轴上光强受f的变化影响不大,当0<<20cm-1时,3条曲线基本重合,说明尽管透镜焦距f不同,相同值点对应轴上光强却是相同的;当>30cm-1时,最大光强趋于一稳定值,几乎不再随的增加而变化,且f越小,所趋稳定值越大。Fig.2Schematicil

12、lustrationofthespatialfilter(18)式代入(8)式即可得到高斯光束通过将(17)式、带有硬边光阑的空间滤波器时,场分布解析公式:E(x,z)=2iR22exp-2x1R22(19)(20)(21)式中,Q0=1-+2f1f14B12R=Fig.4On2axisintensitydistributionsI(0,2f)attheplanez=2fofaGaussianbeampassingthroughaspatialfilterversuscut2offfrequencyf22ik1-+2f2Q0f22F=erf-erfRR(22)3结论使用矩阵分解方法,推导出了高

13、斯光束通过内含硬边光阑ABCD光学系统的解析传输公式。以高斯光束通过空间滤波器为例进行了数值计算,并对结果作了分析。由于内含光阑的复杂光学系统原则上都可以写成A1B1C1D1+硬边光阑+A2B2C2D2的形式,本文中所用方法可进一步推广用于研究其它类型光束通过内含多个硬边光阑复杂光学系统的传输变换问题,所得结果具有较为广泛的应用意义。参考文献设滤波器透镜焦距f1=f2=f=0.8m,且d1=d2=m,w0=1.2mm,将以上数值代入(19)0,=1.06式中进行数值计算,典型例示于图3、图4中。图31CollinsSA.JOSA,1970,A60:11681177.Fig.3IntensitydistributionsI(x,2f)attheplanez=2fofaGaus2sianbeampassingthroughaspatialfilter,thecalculationparame2tersareseeninthetext1986.4WenJJ,BreazealeMA.JASA,1988,83(5):17521756.5王喜庆,梁国栋,吕百达.强激光与粒子束,2001,4(13):418422.中L0为高斯光束在自由空间中传输2f距离