【解析】江苏省徐州市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

1、20192020学年度第一学期期中抽测高二数学试题一、单选题：（本大题一共10道小题，每题只有一个正确答案，每题4分，共40分）1 .数列3, 6, 11, 20,的一个通项公式为（）.A. an 3nB. an n（n 2）c. an n 2nD.an 2n 1【答案】C【分析】由数列的前面有限项，归纳出ann 2n,得解.【详解】解:由数列3, 6, 11, 20,可得 3 1 21,62 22,11 3 23,20 4 24,.an n 2n,故选:C.【点睛】本题考查了用不完全归纳法求数列的通项公式，属基础题 2 .在等差数列an中，aa1340,则a?a8a§仇。an（）A

2、. 40B. 60C. 80D. 100【答案】D【分析】利用等差中项的性质得出a9的值，再利用等差中项的性质可得出a? a8 a§ a优 劣的值.【详解】由等差中项的性质可得as a13 2a9 40, a§ 20,因此，a7%a9a10ana7ana8a10a95a9100,故选：d.【点睛】本题考查等差中项性质的应用，在求解等差数列的问题时，常用基本量法与等差数列性质来进行求解，考查计算能力，属于中等题13 .已知x 3, y x ,则y的取小值为（）.x 3A. 2B. 3C. 4D. 5【分析】1由 x 3,即 x 3 0,则 y x x 3x 33,再结合重要不

3、等式求最值即可x 3【详解】解：因为x 3,所以 x 3 0,用111贝U y x x 3 3 2j(x 3) 3 5,x 3x 3x 31当且仅当x 3 ,即x 4时取等号，x 3故选：C.【点睛】本题考查了重要不等式的应用，重点考查了观察、处理数据的能力，属基础题4 .已知 p ： x 1 2 , q：5x 6 /,则 p 是 q 的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B先解不等式得P： A1,q:B 2,3，再由集合B是集合A的真子集，即可得解.-3 -1,A. 63B. 81C. 99D. 108【详解】解：解不等式解不等式5x 6 x

4、2,变形得：(x 2)(x 3) 0,解得2 x 3,得q：B 2,3 ,由集合B是集合A的真子集，可得p是q的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查了二次不等式的解法及命题间的充要性，属基础题5 .已知Sn为等差数列an的前n项之和，且S3 15, S6 48,则S9的值为（）先由Sn为等差数列an的前n项之和，可得S3，S6 S3, & S6,S3m S3(m1)也成等差数列，则S3,S6S3,S9S6成等差数列，再将S315,S648代入运算即可.【详解】解：由Sn为等差数列an的前n项之和，则 S3, S6 S3,S9 S6,.S3m S3(m 1). 也成等差数列，则S3

5、, S6 S3,S9 S6成等差数列，所以2(S6 S3) S3 (S9 S6)，由 S3 15 ， S648 ，得 S999 ，故选： C.【点睛】本题考查了等差数列的性质及等差中项，重点考查了运算能力，属基础题.6 .若关于X的不等式x2 4x a 0在1 x 4内有解，则实数a的取值范围().A. a 3B. a 0C. a < - 4D. a 4【答案】B【分析】先分离变量得x2 4x a 在 1 x 4内有解，再构造函数f (x) x2 4x， x 1,4 ，再求其值域，再由函数的最值求实数a 的取值范围即可得解.【详解】解：关于x 的不等式x2 4x a 0 在 1 x 4内

6、有解，等价于(x2 4x)max a， x 1,4 ，设f (x)x24x，x1,4 ，又f (x)x24x(x2)2 4 ，x 1,4 ，所以 f (x)4,0 ，即实数a 的取值范围为a 0 ，故选：B.【点睛】本题考查了不等式有解问题，通常采用分离变量最值法，属基础题.x yD. 1127.已知数列3, v，x, 9是等差数列，数列1, a, b, c, 4是等比数列，则C.12B.【分析】由数列3, y, x, 9是等差数列，由等差数列的性质可得x y 12,由数列1, a, b, c, 4是等比数列，由等比数列的性质可得b2 4,又a2 1 b b 0,运算可得解.【详解】解：由3,

7、 v, x, 9是等差数列，解得 x y 9 3 12 ,由1, a, b, c, 4是等比数列，则b21 4 4 ,又 a2 1 b b 0,则b 2,门口 b 21即一,x y 126故选：A.【点睛】本题考查了等差数列及等比数列的性质，属基础题8.算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首 ：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（）A. 8 岁B.

8、11 岁C. 20 岁D. 35 岁【答案】B【分析】3.记最小的儿子年龄为a1 ,则九个儿子的年龄成等差数列，公差为3.【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为-23 -S9 9ai2故选B.3 207,解得 a 11 .【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解.9.已知点 A(2,1)在直线 ax by 1 0(a 0,b0）上，若存在满足该条件的 a, b使得不等式1 a2m 2m成立，则实数 m的取值范围是A.(4U2,B.(24,C.(,64,D.(46,1 2 .一 先求出一一的最小值，再利用不等式有解问题, a b可.口，1 可得（-a2

9、).minb2m,再解不等式即【详解】解：因为点A(2,1)在直线 ax by0,( a 0,b 0)上,则 2a b 1 0,( a0,b 0)，即 2a b1,(a 0,b 0),12 b 4a(2ab)(a b) 4 ; tb 4a4 248 ,:a b当且仅当b a4a11 ,一即a= -,b=一时取等号, b42即m22m8,即(m 4)(x 2) 0,解得m 故选:A.本题考查了不等式有解问题，重点考查了重要不等式的应用，属中档题10.已知等比数列an的公比为q,且q 1 ,数列bn满足bnan 1 ,若数列bn有连续四项在集合 28, 19, 13,7,17,23中，则q2A.

10、一3【答案】A2 B.3C.1D.3【分析】由题可知数列an的连续四项，从而可判断1 q 0,再分别列举满足符合条件的情况，从而得到公比.【详解】因为数列bn有连续四项在集合 28, 19, 13,7,17,23中，bn % 1 ,所以数 列4有连续四项在集合 27, 18, 12,8,18,24中，所以数列an的连续四项不同号，即 q 0.因为q 1,所以1 q 0,按此要求在集合 27, 18, 12,8,18,24中取四个数 排成数列，有-27, 24, -18, 8; -27, 24, -12, 8; -27 , 18,-12, 8 三种情况，因为-27, 24,-12, 8和-27,

11、 24,-18, 8不是等比数列，所以数列an的连续四项为-27 , 18, -12 , 8,2所以数列an的公比为q -.3【点睛】本题主要考查等比数列的综合应用，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，分 类讨论能力，难度较大.二、多选题：(本大题一共3道小题，每题4分，共12分，每题漏选得 2分，错选或多选不 得分)11.给出下面四个推断，其中正确的为().b aA.若 a,b (0,)，则 b 色2 ； a bB.若 x, y (0,)则 lg x 1g y 2 Jlg x 1g y ；4C.右 a R , a 0,则一 a- -4 ； a _ x yD.若 x, y R , xy 0

12、,则一 一2.y x【答案】AD【分析】由均值不等式满足的条件为“一正、二定、三相等”，可得选项A,D正确，选项B, C错误.【详解】解：对于选项A,因为a,b (0,)，则b a2出 a 2,当且仅当-,a b a ba b即a b时取等号，即选项 A正确;对于选项 B,当 x, y （0,1）时，lgx,lg y （,0） , lgx 1g y-2Jlg x Igy 显然不成立，即选项B错误；4 一对于选项C,当a 0时，一 a4显然不成立，即选项 C错误； a对于选项D, xy 0 ,则 y 0, - 0 ,则 x yx y x yx y. x, y,-（-）（2）2J（ -）（ -）2

13、,当且仅当（一）（一），即x y时yxyx 1yxy x取等号，即选项D正确，即四个推段中正确的为 AD故答案为：AD.【点睛】本题考查了均值不等式，重点考查了 “一正、二定、三相等”，属基础题12.下列命题的是真命题的是（）.4.11A.右 a b ,则一 一；a bB.若 x y,m n,则xn y mC.若 x y, m n ,则 xm ynD.若 ac2 bc2，则 a b【答案】BD【分析】分别取特殊情况可得选项 A,C错误，由同向不等式的可加性可得选项B正确，由不等式两边同时除以一个正数，不等号的方向不变，可得选项D正确.11详斛】斛：对于选项 A,取a 0 b ,显然 不成立，即

14、选项 A错误； a b对于选项B,因为m n,则 n m,又x y,则x n y m,即选项b正确;对于选项C,取x 0 y, 0 m n,显然xm yn不成立，即选项 c错误；对于选项D,因为ac2 bc2,则c2 0 ,则a b ,即选项D正确，即命题是真命题的是 BD,故答案为：BD.【点睛】本题考查了不等式的性质，属基础题13.在公比q为整数的等比数列an中，Sn是数列On的前n项和，若口包 32,a2 a3 12,则下列说法正确的是（）.a. q = 2B.数列Sn 2是等比数列D.数列Ig% 是公差为2的等差数列【答案】ABCC. S8 510【分析】先由已知条件求得数列 an的通

15、项公式及前n项和，再利用定义法判断数列是否为等差数列或等比数列，得解.【详解】解：因为数列an为等比数列，又a1a432,所以a?a332 ,又a2412,a2 4a2所以a3 8或a384,又公比q为整数，则12a2 4 a3 8 , q 2n2 (1 2n) n 1即 an 2 , sn- 22 ,n 1 2对于选项A,由上可得q = 2,即选项a正确;对于选项B, Sn22n 1Sn12S 22n 22n 12,则数列Sn 2是等比数列，即选项 B正确；9对于选项C, S8 22 510,即选项C正确;对于选项D, Ig an 1Ig an(n 1) n1,即数列Ig an是公差为1的等

16、差数列，即选项D错误，即说法正确的是ABC故答案为：ABC.【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前n项和的运算，重点考查了等差数列、等比数列的判定，属中档题.三、填空题：（本大题一共4道小题，每题4分，共16分）14 .已知命题 p： “？ x C R, ex-x-1<0",则 p 为.【答案】？ xC R, ex-x-1>0【分析】根据特称命题的否定是全程命题可得结果.【详解】因为特称命题的否定是全程命题，所以 p： “ x R,ex x 1 0” 的否定为 “ x R,ex x 1 0”，故答案为 x R,ex x 10.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于简单题

17、.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.八，115 .在数列 an中，a2 2, a5 1 ,数列 是等差数列.则比.an 1【分析】1，.1 一,先设bn -由数列 是等差数列，则 bn是等差数列,an 1an 1则2b5 b2 b8,再将已知条件代入运算即可得解 .1是等差数列,1a51【详解】解：设bn 一；,则b an 1n一一，1又a2 2 , a51 ,所以b2 a2 1又 2b5 b2 b8 ,2 ,2所以b82,3即a8 1

18、2 口13,即为 2,【点睛】本题考查了等差数列的性质，重点考查了运算能力，属基础题一C r 2116 .已知实数x 0, y 0,且x 3y 1 ,则的最小值为x y 2y【答案】3 2,2先由实数x 0, y0,则 x y 0, 2y0,且 x 3y (x y) 2y 1,一,212再构造 (x y) 2y(x y 2yx y12y),利用重要不等式求最值即可【详解】解：因为实数x 0, y 0,则 x y 0, 2y 0,且 x 3y(x y) 2y 1,2y(xy)2y(12y)=3'4y-y32 J-4y-xy32无，当且仅当4匕-y取等号,x y 2y x y 2yx y

19、2y21_即的最小值为3 2J2，x y 2y故答案为：3 2 2 .【点睛】本题考查了重要不等式的应用，重点考查了对表达式数据的分析处理能力，属中档题.17 .已知函数 f(x) x2, g(x) 2x m, m R,若 x 1,2, x2 0,2都有f x2g x ,则实数m取值范围是.【答案】m 0【分析】 函数 f(x) x2, g(x) 2x m, m R,若 X 1,2, h 0,2都有 f x2 g % , 等价于 f X2 max g Xi ma*,再求函数 f(X) X2 , X 0,2, g(x) 2x m, x 1,2, 的最值即可得解.【详解】解：由 f(x) x2,

20、x 0,2,则 f(x) 0,4 ,1由 g(x) 2x m, X 1,2,则 g(x)- m,4 m ,因为函数 f (x) x2, g(x) 2x m, m R,若 X 1,2,” 0,2都有f X2g X| ,则 f X2 ma* g X, max ,即 4 m 4,即 m 0 , 故答案为：m 0.【点睛】本题考查了不等式有解与恒成立问题，重点考查了函数的最值的求法，属中档题.四、解答题：(本大题一共6道题，共82分)18 .记Sn为等差数列a的前n项和，已知220, 048.(1)求an的通项公式；(2)求Sn ,并指出当Sn的取得最小值时对应的 n的值.【答案】(1) an 4n

21、24；(2) Sn 2(n 11)2 Sn取最小值-60时，n等于5或6. 22【分析】(1)由等差数列通项公式的求法可得an 4n 24；(2)由等差数列前n项和公式可得Sn 2(n ")2 ©，再结合二次函数的最值的求法即 n22可得解.【详解】解：(1)设数列an的公差为d,则 n(n 1)Q Snna1 d ,d20,21c3(3 1)S33 ( 20)( 2 ) d 48 ,4n 24 ；解得：d 4,112 12122n 2(n ),22an a1 (n 1)d20 (n 1) 4Sn取最小值0 S660,(2)由(1)得，Sn “a1 an) 2n2 2由于n

22、 N，于是，当n取值5或6时，故当n取值5或6时，Sn取最小值 60 ,【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法及等差数列前n项和及最值，属基础题219 .已知：函数 f(x) lg kx 6kx (k 4)(1)当k 1时，求函数y f(x)的定义域。(2)当函数y f(x)的定义域为r时，求实数k的取值范围。【答案】(1) (,1) (5,);10,2)；【分析】(1)取k 1 ,解不等式x2 6x 5 0 ,即可得解；(2)函数y f(x)的定义域为R,则kx2 6kx (k 4) 0恒成立，再分别讨论当k 0时, 当k 0时实数k的取值范围，得解.【详解】解：(1)当k 1时，函数为f

23、(x) lg(x2 6x 5),由 x2 6x 5 0 得 x 5或 x 1,所以，此函数的定义域为 (，1) (5,)；(2)当k 0时，kx 6kx (k 4) 4大于0恒成立；k>0当k 0时，必有k 0且 既有 2,6k 4k k 4 <0r1解之得：0k,2，1综上所述：实数k的取值范围是0,1).【点睛】本题考查了函数定义域的求法及不等式恒成立问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.20 .如图，有一壁画，最高点 A处离地面6米，最低点B处离地面3米。若从离地高2米的C处观赏它，视角为 .3(1)右tan 时，求C点到墙壁的距离。4(2)当C点离墙壁多远时，视

24、角 最大？【答案】(1) 2米；(2) 2米;【分析】(1)结合题意，设 ACD , BCD，则视角=-，设C点到墙壁的距离为 x米,一 .4.13x -3则有tan - , tan -,由两角差的正切公式可得 tan ,再将tan 一代入 xxX2 44即可得解；(2)将tan表示为关于x的函数，再结合重要不等式求其最值即可得解，一点要注意取等的条件.BCD ,则视角 =-,4,1tanx，tan-4 1tan x x 3xtan 4 4 1 x2 41x x【详解】解：(1)设 ACD设C点到墙壁的距离为x米，则有tan所以 tan tan( )1 tan.3当tan时，解得4tan(2)

25、由(1)知3xx2 44 rc ，一，x 一即x 2时等号成立），x所以，当x 2视角达到最大,一，.3故当tan ，时，C点到墙壁距离为2米，此时视角达到最大.【点睛】本题考查了两角差的正切公式及重要不等式，重点考查了解决实际问题的能力，属2 S67 S6S3S3中档题.、cS121.记Sn为正项等比数列 an的前n项和，若 一（1）求数列an的公比q的值.若a5 16 ,设S2n为该数列的前2n项的和,2 一Tn为为数列an的刖n项和，若52n tTn,试求实数t的值。（1）q = 2 ；(2) t3;由等比数列的前n项和公式可得SI2S6S67 S6S3S36S3 qS637 S3 qS

26、38 0 ,再求解即可;（2）由等比数列的性质可得数列an2是首项为1,公比为4的等比数列，再求和运算即可【详解】解：（1）由已知S12S6S6&S3S30,630,则 S6_J_ 7 S_9 8S6S3即：q6 7q3 8 0,解得：q= 2, q 1(2)在等比数列an中：q = 2, a5 a1q4 16,所以a1 1 ,师、 qa1(1 /)1 4nn由以 S2n 41,1 q 1 22 一、.一. 由等比数列的性质可得数列an是首项为1,公比为4的等比数列,1 (1 4n)1 n所以 Tn -(4 n 1)，1 43由 52ntTn,即 4n 1 -(4n 1),又 4n1

27、0,即工 1,33故t 3.【点睛】本题考查了等比数列的前n项和，重点考查了等比数列的性质，属中档题22.记Sn为等差数列 a的前n项和，满足Sn 2an n(n N*)(1)证明数列 an 1是等比数列，并求出通项公式 an；(2)数列nan的前n项和Tn.【答案】(1)证明见解+析；an 12n n N ；/ 、 n(n 1)n 1(2) Tn2 (n 1) 22分析】 S，n 1(1)利用an求得an 2an1 1,再证明数列an 1是等比数列即可；Sn Sn 1，n 2(2)由 nann n 2n，则 Tn (1 2 3 L n)21 2 223 23 L n 2n，再采用分组求和与错

28、位相减法求和即可得解.【详解】解：(1) Q Sn 2an n ,当 n 1 时，a 2a1 1 ,所以 a11,当 n 2 时，an Sn Sn 12an n 2an 1 n 12an 2an 1 1,即 an 2an 1 1 ,an 1-an 1 2 an 1 1 ,所以2 , n 2 ,an 11数列an 1是等比数列，又 a1 12,所以 an 12 2n 1,即 an 1 2n,n*综上，数列 an的通项公式为an 1 2 n N ；(2)因为na n n 2n所以Tn (1 2 3 L n) 21 2 22 3 23 L n 2nn(n 1)123nDn ,其中 Dn 22 23 2 L n 2 ,2由 Dn 21 2 22 3 23 L n 2n 得，2Dn 22 2 23 3 24 L n 2n 1 ,2 1 2n .两式作差行，Dn 2 22 23 L 2n n 2 n 2n 1，1 2n 1即 Dn (n