人教A版高中数学必修2课后训练二十二棱柱棱锥棱台的表面积和体积

1、课后训练二十二棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积基础练25分钟 50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1 .已知高为3的棱柱ABC-AiBC的底而是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B-ABC的体积a. 4b. 2 c. 6d. 41【解析】选 D.J'/ 3s皿xh二3乂 4 乂3二 4 .2 .正方体ABCD-AACD的棱长为1,点P是而LBCD,内任意一点，则四棱锥P-ABCD的体积为（）1112,6R 3c 2口 3A.D.C.D.【解析】选B.因为正方体ABCD-ABCD的棱长为1,点P是而A，BCD,内任意一点，所以点P到平而ABCD的距离d=AAkl,1 1 1S正方召W

2、*1X1=1,所以四棱锥p-ABCD的体积为Vp-8=°XAAxXS，”由g二0 X 1X 1=。.3.已知长方体两两相邻三个面的面积分别为x, y, z,则长方体的体积为（）B.历c x/x2 +y2 +z2 D A/xy + yz + xz【解析】选B.设长方体的长、宽、高分别为a, b, c,不妨设 ab=x, bc=y» ca=z,所以 a'b'c'二xyz,所以V=abcY砥历.4.如图，正方体ABCD-A' B' C' D'的棱长为4,动点E, F在棱AB上，且EF=2,动点Q在棱D' C'

3、上，则三棱锥A' -EFQ的体积 （）A.与点E, F的位置有关B.与点Q的位置有关C.与点E, F, Q的位置都有关D.与点E, F, Q的位置均无关，是定值1 1【解析】选pK'dxZxEFXAA' XA' D',所以其体积为定值，与点E, F, Q的位置 均无关.二、填空题（每小题4分，共8分）5.已知三棱锥S-ABC的棱长均为4,则该三棱锥的体积是.更【解析】如图，在三棱锥S-ABC中，作高SO,连接A0并延长A0交BC于点D,则A0二乙X42 4/xLBD在 RSSAO 中，SO-= J ,空大 16.所以丫二3乂 3 * 4 X4=. 316

4、,2答案：36. (2019 全国卷川)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方 体ABCD-AACD挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体，其中。为长方体的中心，E, F, G, H分别 为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,为产4 cm, 3D打印所用原料密度为g/cm5,不考虑打印损耗, 制作该模型所需原料的质量为 g.1【解析】SgF4X6-4X乙X2X31=12(cmc), V=6X6X4-0X12X3=132(cm3).m=pV=X132=(g).答案：三、解答题(共26分)7. (12分)已知正四棱锥底而正方形的边长为4,高与斜高的夹角为30° ,求

5、正四棱锥的侧而 积和表面积.【解析】如图，正四棱锥的高P0,斜高PE,底面边心距OE组成RtAPOE.因为 0E=2, NOPE=30° ,所以 PE=20E=4.1197因此 S *4 义/PE X BC=4 X 乙 X4 X 4=32, S 表后S tt+S a=32+16=48.8. （14分）在四而体ABCD中三组对棱分别相等，AB=CD=V °, BC=AD=2V , BD=AC=5,求四而体ABCD的体积.【解析】以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图.设长方体的长、宽、高分别为X, y, z,%： + y： = 13.|X = 3y +zj =20,y =

6、2则'所以 .1 1因为Vh血二°DE Sr皿=%长力体，1同理 Vc-ASr-Vo-ACCVd-5CH-长力体，1 1所以v.而体3二v长力体一 4X 6丫长力体=3丫长方体.而V长力体=2X3X4=24,所以V川由体皿=8.能力绮（15分钟 30分）L （4分）一个封闭的正三棱柱容器，高为3,内装水若干（如图甲，底而处于水平状态），将容 器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水而与各棱交点E, F, R, E,分别为所在棱的 中点，则图甲中水面的高度为（）9A.2D4【解析】选D,因为E, F, Fx,1分别为所在棱的中点，所以棱柱EFCB-E凡CB的体积V=S梯形

7、3999*bX3=4s3X3=4s- 设甲中水面的高度为h,则s“xXh=4s3,2. （4分）在正方体ABCD-ABCD中，三棱锥D-ABxC的表面积与正方体的表面积的比为【解析】选C.如图，三棱锥DAB£的各而均是正三角形，其边长为正方体的面对角线.设正1 大D9 D 2方体的棱长为a,则面对角线长为a, S产4x/（、.a尸X乙2 ' 3&-, S正力6a故S嫌：S正力悻二1 ：、超3. （4分）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且aADE、ZXBCF均为 正三角形，EFAB, EF=2,则该多而体的体积为. 口【解析】该多面体不是规

8、则几何体，不易直接求体积，应将其分割转化为规则几何体.分别过A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H,连接DG、CH,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直1三棱柱，棱锥高为2,棱柱高为11 叱叱 叱aco=2xix 2 二 4 ,所以 v= 41-0 4 f,AG=X1=4,取AD的中点M,则MG二乙,Sa1 展1、展MMWB3 4 2 3 Xl+2XaX = X三 ° .r GH F4 B答案：34. （4分）如图所示，已知一个多而体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是D【解析】易知该几何体是正四棱锥,设正四棱锥为P-ABCD,连接BD,则P

9、D=PB=1, BD-,则PD±PB.设底面中心为o,则四棱锥高P0:2 ,则其体积是v=3sh=3xi，x 2=6叱答案：65. （14分）已知正四棱台（上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底而中心）上底而边长为6,高和下底而边长都是12,求它的侧面积.【解析】如图，E,匕分别是BC、B,a的中点，0、0,分别是下、上底而正方形的中心，则0Q 为正四棱台的高，则60=12.1 1连接 0E, 0E，贝IJ0E二乙AB二乙X12二6,12 0iEi=AiBi=3.过 Ei作 E：H_L0E,垂足为 H,贝ijEJi=0Q二 12, OH=O,E尸3, HE=OE-O：E产

10、6-3二3./T7在 RtAEiHE 中,E：Ec=E：HW=12：+3：=33X 43+3：=3= X17,所以 EiE=3 .12 /T7 T7所以 S 铮=4X 乙 X (BxCx+BC) XE：E=2X (6+12) X3=108、.培优练1 .用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小而积是.【解析】如图为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按如图所示方式展成平面图D 形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图所示，由图知正方形的边长为27乙,其而枳为&图答案：82 .若E, F是三棱柱ABC-&BC侧棱BB,和CG上的点，且氏E=CF,三棱柱的体积为m,求四棱 锥A-BEFC的体积.【解析】如图