全国高考理科数学试卷及答案全国

1、学习必备欢迎下载2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷 （全国理科数学（必修+选修n ）注意事项：1 .本试题卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分,考试时间120分钟.2 .答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的 位置上.3 .选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.4 .非选择题必'须使用 0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹 清楚5 .非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答.超出答题

2、区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效.6 .考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.参考公式：如果事件A, B互斥，那么球的表面积公式P（A +B） = P（A） +P（B）S = 4 tR2如果事件 A, B相互独立，那么p（aLB）-p（a）_p（b）其中R表示球的半径球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么 V=f tR33n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径_ k kn kR（k） =CnP （1 -p） （k

3、 =0,1,2,，n）一、选择题1. sin 210' =（）A,&B,正C.工D. 一122222,函数y = sinx的一个单调增区间是（）3.设复数z满足-2 i1 2i=i,则zB. -2-iz=(4.卜列四个数中最大的是（C.)2-iD. 2 + i_ 2(ln 2)B. ln(ln 2)C.In 2 2D. In 25 .在 ABC中，已知D是AB边上一点,若Ad6 .不等式x -1x2 -4a0的解集是（C.c二 K 1K H = 2DB,CD = CA + 九CB，则九=()32D.A. (2,1)B. (2,十8)C.(2)U(2,二)D. (_oo,_2)U

4、(1,十叼7 .已知正三棱柱ABC -AB1cl的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A所成角的正弦值等于（8 .眄4D.,328.已知曲线2xy = -3ln x的一条切线的斜率为411,则切点的横坐标为（29.B. 2C. 1把函数y=ex的图像按向量a =（2,3）平移,得到y = f(x)的图像,则f(x) =x -3e 2x 3 cB. e -2C.x -2e 310.从5位同学中选派4位同学在星期五、 星期五有2人参加，星期六、星期日各有星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求1人参加，则不同的选派方法共有（A. 40 种B. 60 种C. 100 种D. 120种2一

5、一 ，I . x11 .设F1, F2分别是双曲线a2y彳的左、右焦点, b若双曲线上存在点 A,使/FiAF2=90且 AF1|=3 AF2,则双曲线的离心率为（B.102C.152B, C为该抛物线上三点，若 FA + FB + FC = 0 ,=4x的焦点,212.设F为抛物线y则 FA' +|fB' +'FC "A. 9B. 6C. 4D. 3第II卷(非选择题)本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.1 813 . (1 + 2x2) x-1 I的展开式中常数项为 .(用数字作答) X14 .在某项测量中，测量结果服

6、从正态分布 N(1,仃2)(。0).若自在(0,1)内取值的概率为0.4,则已在(0,2)内取值的概率为 .15 .一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为 cm 2 .Sn16 .已知数列的通项 an=5n+2,其刖n项和为Sn,则lim 飞=.n oCn/三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .(本小题满分10分)在4ABC中，已知内角 A =-,边BC =2j3.设内角B = x,周长为y . 3(1)求函数y = f (x)的解析式和定义域；(2)求y的最大值.18 .(本小题

7、满分12分)从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件 A: “取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率 P(A)=0.96.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率 p ;(2)若该批产品共100件，从中任意抽取 2件，c表示取出的2件产品中二等品的件数，EB求之的分布列.19 .(本小题满分12分)如图，在四棱锥 S ABCD中，底面ABCD为正方形， 侧棱SD，底面ABCD, E, F分别为AB, SC的中点.(1)证明EF /平面SAD;(2)设SD = 2DC ,求二面角A EFD的大小.20 .(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以。为圆心的圆与直线

8、xJ3y=4相切.(1)求圆。的方程;(2)圆。与x轴相交于 A, B两点，圆内的动点 P使PA,PO,PB成等比数列，求pAjpb的取值范围.21 .(本小题满分12分)3 a-设数列an的首项 a W (0,1), an=2, n=2,3,4,.(1)求an的通项公式;(2)设bn = an J3 2an ,证明bn <bn4,其中n为正整数.22.(本小题满分12分)3已知函数f(x)=x -x .(1)求曲线y=f(x)在点M(t, f(t)处的切线方程;(2)设a >0,如果过点(a, b)可作曲线y = f(x)的三条切线，证明：a<bcf(a).2007年普通高

9、等学校招生全国统一考试理科数学试题(必修+选修n)参考答案评分说明:2.3.4.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度.可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.只给整数分数.、选择题选择题和填空题不给中间分.1 . D2.7. A8.二、填空题3. C9. C4. D10.5. A11. B6.

10、 C12. I13. -4214.0.815.2 4.216.5"2三、解答题17.解：（1） 4ABC的内角和A + B+C =n,2 二A = , B >0, C>0 得 0<B< 33应用正弦定理，知BC . -2、.3 .sin AAC =sin B =sin x = 4sin x ，jisin 一3BC .2 二AB =sin C =4sin - -xsin A.3因为y =AB +BC +AC ,所以2 二y = 4sin x 4sin -xI 32.3 02 二:x :3(2)、31因为 y = 4 sin x cosx - sin x二22 .

11、3（冗）rxji:：x 一 ：:6(5 /Tt TC兀所以，当x+,即乂 =一时，y取得最大值6y3 .6 2318.解：（1）记A0表示事件“取出的 2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”则与，A1互斥，且A = A0 + A,故P(A) =P(Ao A)= PA) P(A)2_ 1= (1 - p)C2p(1-p)=1 - P2于是 0.96 =1 P2 .解得 p1 =0.2, p2 = 0.2 (舍去).(2) 的可能取值为01,2.若该批产品共100件，由(1)知其二等品有100M 0.2= 20件，故喈=0)=与=".C2495P( =1)=

12、c2。1604951949519.C2P(：二2)=您C100所以U的分布列为匕012P31649516049519495解法一：(1)作FG / DC交SD于点G ,则G为SD的中点.一“1连结 AG, FG J= CD ,又 CDJLAB , 2故FG JLAE, AEFG为平行四边形.EF / AG ,又 AG 二平面 SAD, EF 二平面 SAD.所以EF /平面SAD .(2)不妨设 DC=2,则SD=4, DG=2,zADG 为等 腰直角三角形.取AG中点H ,连结DH，则DH，AG .又 AB，平面 SAD,所以 AB，DH ,而 ABA AG = A, 所以DH，面AEF .

13、取EF中点M ,连结MH，则HM，EF .连结DM，则DM，EF .故/DMH为二面角A EFD的平面角tan . DMH = DH = -2HM所以二面角A EF D的大小为arctan 22 .解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系 D xyz .设 A(a ,0,0), S(0,0, b),则 B(a, a,0) C(0, a ,0),E la,a,0 F J-,b i,.2. 2 2eft，o, 7取SD的中点G 10Q,b i,则G =2EF =AG, EF / AG, AG 仁平面SAD, EF 底平面 SAD ,所以EF /平面SAD.(2)不妨设 A(1,0Q),则 B(1,1

14、,0)八c11C(0,1,0), S(0,0,2) E .1,0 , F . 0,1 .22j,EF =(1,0,1)就|_EF =0, MD ± EF 2i, eAJef =0, EA± EF ,1又 EA = 0, ,02所以向量MD和WA的夹角等于二面角 A-EF-D的平面角.cos <MD,EA aLea,3MDEA|'3所以二面角 A-EF -D的大小为arccos 320.解：（1）依题设，圆 O的半径r等于原点O到直线x-J3y =4的距离,4即 r-13得圆O的方程为(2)不妨设 A(x1,0) B(x2,0) x1cx2.由 x2=4 即得A

15、(2,0), B(2,0).设P(x, y),由PA , PO , PB成等比数列，得J(x+2)2 +y2J(x _2)2 + y2 =x2+y2,即x2y2=2.pApb=(-2 - x，- y)_(2x,- y)22二 x -4 y2= 2(y2 -1).由于点P在圆。内,故x2y2522cx -y =2.由此得y2 <1.所以pAjpb的取值范围为2,0).3 an i21 .斛：(1)由 an = -, n = 2,3,4,，也 ,1 、整理得 1 -an = -2(1-anJ).1又14¥0,所以1an是首项为1公比为；2的等比数列，得1 nJan =1 -(1 -

16、 a) -2(2)方法一：3 ,. 一由(1)可知 0 <an <-,故 bn >0 .2那么，b；.1-b：22 ,=an 1(3 - 2an 1) - an (3 - 2an )八. 2,二号 3-2 号-a2(3-2an)=粤(4-1)2.4又由(1)知 an >0 且 an =1 ,故 b2 由 一b2 >0,因此 bn < bn丸n为正整数.方法3由(1)可知 0 <an <5, an #1 ,因为an 1 =3 - an2所以bn 1 - an 1 3 - 2an 1(3 - an h an2,， 一一、 3-a由 an # 1 可得

17、 an (3 - 2an ) < . 一丁即 a2(3 -2an):二”Lan两边开平方得an 3 - 2an3 - an<2即 bn <bn书，n为正整数.2.22.解：(1)求函数 f(x)的导数；f (x)=3x -1 .曲线y = f(x)在点M (t, f(t)处的切线方程为：y-f(t) = ft)(x-t),- 2_ 3即 y=(3t -1)x -2t .(2)如果有一条切线过点(a, b),则存在t,使b =(3t2 -1)a -2t3 .于是，若过点(a, b)可作曲线y=f(x)的三条切线，则方程322t -3at a b = 0有三个相异的实数根.记g(t) =2t3 -3at2 +a+b,则 g(t)=6t2-6at= 6t(t -a).当t变化时，g(t), g'(t)变化情况如下表:t(_oO Q)0(0, a)a(a,+ s)g'(t)+00+g(