时间序列分析-非平稳序列的随机分析

1、12proc gplotplot x*t difx*t;symbolv=starc=blacki =joi n;proc arima ;ide ntifyvar=x( 1);estimatep = 1estimatep = 1 noi nt;forecastlead=5 id =t;run（1）我们在GPLOT过程中添加绘制了一个时序图“difx*t”，这是为了直观考察1阶差分后序列的平稳性。所得时序图如图（2）所示：图（2）时序图显示差分后序列difx没有明显的非平稳特征。（2） “identifyvar=x（1）;”，使用该命令可以识别差分后序列的平稳性。纯随机性和适当的拟合模型阶数。其中

2、x（1）表示识别变量x的1阶差分后序列。识别部分的输出结果显示1阶差分后序列difx为平稳非白噪声序列，而且具有显著的自相关系数不截尾、偏自相关系数1阶截尾的性质。（3） “estimate p=1;”对1阶差分后序列Xt拟合AR （1）模型。输出拟合结果显示常数项不显著，添加或修改估计命令如下：estimate p=1 noint;这就是命令系统不要常数项拟合AR（ 1）模型，拟合结果显示模型显著且参数显著。如图（3）所示:3Conditiona1 Least Squares Est i mp4 i onSterda rdApproxPaEst inn*teErrort %2Pr It |L

3、as(J.EE叫3U.lkl ISb.52i l Ifwr r rr At wF RW5.C850.33 301-0.D870.IZD-B.I6Q0. 1030. 188110.7598-0, 1 S3(J.OOI-a.02i*0.065-0.049-0,03010.31170.9902-0.106OJ)43-Q.1C4-0 J18-0.0670.01212,65230.9552-IL個-U.H23-(MRS0.J73O.OU6-U.03S输出结杲显示，序列Xt的拟合模型为example5_2的ARIMA( 1,1,0)模型。4C10*03D4C50图（4）时序图显示，序列x有一个明显的随时间

4、线性递增的趋势，同时又有一定规律性的波动，所以不妨 考虑使用误差自回归模型拟合该序列的发展。二、因变量关于时间的回归模型proc autoreg data =example5_2;model x=t/ dwprob ;run ;语句说明：（1） proc autoreg data=example5_2;”指令SAS系统对临时数据集example5_2进行自回归程序 分析。（2） model x=t/dwprob;”指令SAS系统以变量t作为自变量，变量x作为因变量，建立线性模型：Xt=a+bt+Ut并给出残差序列UtDW检验统计量的分位点。本例中，序列x关于变量t的线性回归模型最小二乘估计输出

5、结果如图（5）所示。OrdinarySquaires EstimatesSSE15464.5248DFE40MSE366,61312Root MSE19,86249SBC874.826818ATC871.853479Regress R-Square0.B300Total R-Square0.B300Durbi n-Watson0.7C28Pr DW DWLOOOO图（5）序列关于变量 t 的线性回归模型最小二乘估计结果本例输出结果显示，DW统计量的值等于0.7628，输出概率显示残差序列显著正相关。所以考虑对残5差序列拟合自相关模型，修改AUTORE程序如下：proc autoreg data

6、 =example5_2;model x=t/nlag =5 backstep method =ml ;run ;model语句是指令系统对线性回归模型Xt=a+bt+Ut的残差序列Ut显示延迟5阶的自相关图，并拟合延迟5阶自现关图。由于自相关延迟阶数的确定是由我们尝试选择的，所以nlag的阶数通常会指定得大一些。这就导致残差自回归模型中可能有部分参数不显著，因而添加逐步回归选项backstep，指令系统使用逐步回归的方法筛选出显著自相关因子，并使用极大似然的方法进行参数估计。输出结果如下四方面的结果：1.因变量说明The TUTORED ProcedureDependent Variable

7、 x因变量说明2普通最小二乘估计结果该部分输出信息包括误差平方和（SSE、自由度（DFE、均方误差（MSE、根号均方误差（Root MSE SBC信息量、AIC信息量、回归部分相关系数平方 （Regress R-Square）、总的相关系数平方（Totel R-Square） ,DW统计量（Durbin-Watson）及所有待估参数的自由度、估计值、标准差、t值和t统计量的P值。如图（6）所示：3.回归误差分析EECvunjDu.M._15464.5248DFE40386.61312Root MSE19.6S248374.0233184IC371.3534790.8300Total R-Squ

8、snrE0.03000.7628Var i ableDFEw七i msdeStandardErrort Veil ueApproxPr It IIntercept1-20.91026.1780-3.380.0116t13.43770.250313.97 It It R1112.7633-0.6S830.29480.11249.30 -6.12.0001 It ISSE10037.807DFE40MSE250.S451SRoot MSE15.84125SBC357.318944AIC353.343605Regress R-Square0.6876Total R-Square0.3533Durbi

9、 n-Watson1.6975NOTE:Nointercept term is used. R-squares areredef i ned.L&Eria138.2221.9i.aoooooD.B0257321 IS. 10.816209357+6301n.1365174?1.S145O.flEi924fiSF4.CS440.203324Ituli川MMI2 2 45Est imntut ValuePr R |-n .035 769-n. 19fl.S557O.OCI2EO0*070.71320.21S74OU370. 1001-0.1SSS14-1.53(1. 1A252阶5i, i

10、llil r ill I li ill I in lnl irli irfiiTMiTiBT iTuITI1T1 ni i：TiCcrrel豊1 IonBackward Elim imat. i on fAut o repressive T已msPre I irniruary WSE8t12.76330.29469.38.0001图（8）最终拟合模型输出结果为了得到直观的拟合效果，还可以利用OUTPUT命令将拟合结果存入SAS数据集中，并对输出结9果作图，相关命令如下:procautoregdata =example5_2;modelx=t/n lag=5 backstepmethod =ml

11、 noint ;outputout =outp=xp pm=trend; |procgplot data=out;plotx*t= 2 xp*t=3 tren d*t=4 / overlay ;symbol2 v=stari =none c=black;symbol3 v=none i =join c=red w=2 1=3;symbol4 v=none i =joinc=gree n w=2;run;语句说明：“output out =out p=xp pm=tre nd;”该命令是指令系统将部分结果输入临时数据集OUT,选择输出的第一个信息为整体模型的拟合值（P选项），该拟合变量取名为XP

12、;选择输出的第二个信息为线性趋势拟合值（PM选项），还可以选择R选项输出拟合残差项，本例不要求输出此项。输出图像如图（9）所示。图（9）拟合效果图三、延迟因变量回归模型proc autoregdata =example5 2;model x=lagx/lagdep =lagx;run ;语句说明：（1）首先在DATA步中添加命令lagx=lag（x）;”该语句指令系统使用延迟函数生成序列x的1阶延迟序列，并将该序列赋值给变量lagx。10（2） “model x=lagx/ lagdep =lagx;指令系统建立带有延迟因变量的回归模型并通过LAGDEP11选项指令被延迟的因变量名。本例输出结

13、果如图（10）。Dependent Variable xOrdirwry Least Squhres Est imatesSSEMSESBCRegress R-SquareDurbin h11462.72233.91590354.7447170.3701 -0.2916DFERoot HSEAICTotal R-Square PrItIIntercept15.94534.07211-4&0.152810.94D10.0E821G+1E |t|Interceptl?LgX5.94590.94014.07210,05821.4S16.160.1523.0001在显著性水平默认为0.05的条

14、件下，截距项不显著（P值大于0.05）所以可以考虑在模型拟合命12f(J-4(3121IIo-0n刘弭o?0t图(12)带有延迟因变量的回归模型拟合效果图5.8.3拟合GARCH模型SAS系统中AUTOREG过程功能非常强大，不仅可以提供上述的分析功能，还可以提供异方差性检验乃至条件异方差模型建模。以临时数据集example5_3数据为例，介绍GARCH模型的拟合，相关命令如下：data example5 3;in putx;t=_n_;cards ;10.77 13.30 16.64 19.54 18.97 20.52 24.3623.51 27.16 30.80 31.84 31.63 3

15、2.68 34.9033.85 33.09 35.46 35.32 39.94 37.47 35.2433.03 32.67 35.20 32.36 32.34 38.45 38.1732.14 39.70 49.42 47.86 48.34 62.50 63.5667.61 64.59 66.17 67.50 76.12 79.31 78.8581.34 87.06 86.41 93.20 82.95 72.96 61.1061.27 71.58 88.34 98.70 97.31 97.17 91.1780.20 85.12 81.40 70.87 57.75 52.35 67.5087.

16、95 85.46 84.55 98.16 102.42 113.02 119.95122.37 126.96 122.79 127.96 139.20 141.05 140.87137.08 145.53 145.59 134.36 122.54 106.92 97.23110.39 132.40 152.30 154.91 152.69 162.67 160.31142.57 146.54 153.83 141.81 157.83 161.79 142.07139.43 140.92 154.61 172.33 191.78 199.27 197.57189.29 181.49 166.84

17、 154.28 150.12 165.17 170.32;13时序图显示序列具有显著线性递增趋势,且波动幅度随时间递增,所以考虑使用AUTOREG过程建proc gplot data =example5_3;plot x*t= 1;symboll c=black i =join v=start;proc autoreg data =example5_3;model x=t/nlag =5 dwprob archtest ;model x=t/nlag =2 nointgarch =(p = 1,q = 1);output out =out p=p residual =residual lcl

18、=lcl ucl =ucl cev =cev; data out;set out;195=-1.96 *sqrt( 51.42515);u95= 1.96 *sqrt( 51.42515);Lcl_GARCH=- 1.96 *sqrt(cev);Ucl_GARCH= 1.96 *sqrt(cev);Lcl p=p-1.96 *sqrt(cev);Ucl_p=p+ 1.96 *sqrt(cev);proc gplot data =out;plot residual*t= 2 l95*t=3 Lcl GARCH*t=4 u95*t=3 Ucl GARCH*t=4/ overlayplot x*t=

19、 5 lcl*t= 3 LCL_p*t= 4 ucl*t= 3 UCL_p*t=4/ overlay ;symbol2c=gree ni =n eedle v=none;symbol3 v=black i =join c=none w=2 l =2;symbol4 c=red i =join v=none;symbol5c=gree ni =joi nv=none;run ;该序列输出时序图如图（13）所示。图（13）序列时序图14立序列Xt关于时间t的线性回归模型，并检验残差序列的自相关性和异方差性，如果检验结果显示残 差序列具有显著自相关性，建立残差自回归模型；如果残差序列具有显著异方差性

20、，则要建立条件异方 差模型。语句说明：（1）model x=t/nlag=5 dwprob archtest;”，该命令指令系统建立序列Xt关于时间t的线性回归模型，并检验残差序列5阶延迟的自相关性并输出DW检验的P值，同时对残差序列进行异方差检验。DW检验结果显示残差序列具有显著的正相关性，如图（14）所示。Ordinary Least Squares Est imatesSSE24O13.859eDFE110MSE218,30781Root USE14.77524SBC920.482631AID923.045633Repress RSquare0.8104Total RSquare0.81

21、04Durt) i rrfatson0.3200Pr DW DWLOOOO图（14）普通最小二乘估计输岀结果残差序列5阶延迟自相关图显示残差序列至少具有2阶显著自相关性，如图（15）所示。Est i mates of AutocorreI at i onsLag Covariance Correlation -1987654321012345678910214.41.000000|L;J1TJ-I iLijliiJ| |t|Intercept16.92005.2996L120*2659t1k52120,081010.78 QLNPr LM156.8972.000155.84420(012E4.

22、E4拍.00017 444QI3骷.DIM.000174.7832C0001467.1297.000178血84.0001567.5047.000176.7411COOD1667.E4657S.B508.OOD1768,2509.000176.9365.ncoi86B.&6S8.000176JI3U40001970.6555.000176.94B4.QC011071,5577.000177.1134.0(0111儿91册,000177.3402,0CQ11271.9248.000177.8512 Ghi&i0.9106NOTE： No intercept term i ssqu

23、ares are redef iined.图(18)普通最小二乘估计输出结果参数检验结果显示除GARCH1,1)模型中的常数项不显著外，其他变量均显著，整个模型的RA2高达0.9954，且正态性检验不显著(P值为0.3106)，这与假定GARCH勺残差函数t/(ht)A(1/2)服从正态分布相吻合，所以可以认为该模型拟合成功。(3)output out=out p=presidual=residual lcl=lcl ucl=ucl cev=cev;”将估计值(p=), 残差(residual=)，序列置信下限(lcl=)，序列置信上限(Ucl=)，条件方差(cev)的结果存入临 时数据集wo

24、rk.out。后面整个data步的工作都是对结果数据集work.out进行数据加工，已获得以下数据：残差序列方差齐性假定下95%的置信下限：l95=-1.96*sqrt(51.42515);残差序列方差齐性假定下95%的置信上限：u95=1.96*sqrt(51.42515);残差序列条件方差假定下95%的置信下限：Lcl_GARCH=-1.96*sqrt(cev);StandardErrort VaiueApproxPr IIIt11.6443ARI1-1.2B3S10.4292ARCHO11.5834RCHl10.2S17GARCH110.71090.05570,09380.095725-

25、03-12.99斗.4：B0.781.76.0001.0001 ItlUU-0.142010.30359-0.470.6409ARI J-0-154780.D9G92-1 .E00,1139Constan tEstimate-0.1S393Var i血心已Estimate12.90744Std Error Est iiftate3.60519B574.65&6SBC579.98(55Number of Hesiduals10Gflutocorrelat. ion Check ot Hes i duei I s图1.3序列difx模型拟合结果根据检验结果显示， 该序列延迟各阶的P值都大于

26、显著性水平0.05，接受原假设，即股票的收盘价1阶差分序列为非白噪声序列。Horecesls tor variable xObsForecestStd Error$5 Conf idenceLimits108288.BB123,6052J8L61522S5.7473图1.4预测结果由上图可得，预测该股票下一天的收盘价为288.6812。习题 5data example5_1; in put x;_| difx=dif(x);t=_n_;cards ;Pr DF ChiSq15 0 0330 3f f5 0.5058 110.4148 170.3S89 230.33520.001-0.016-0

27、,083-0.110-0.0300.1340.206-0.0210.020-0.1200.0470.0280.023-0,118o.ne-0.132-0.0550.08S0.0550.020-0.204-0.048-0.081-0.054s-AutocorreI at Ions-220323602254216520242078221422922207211921192021图5.2序列difx时序图而差分运算能使用自回归方式提取确定性信息，因此对序列进行 列的平稳性。1阶差分序列值始终在0周围上下波动，即1阶差分序列平稳。白噪声检验结果如下:ParaineterEstimateStandard

28、Errort ValueApproxPr ItlLagMU-2.2320514.90755-0J50.88140ARI/0.375700.115623,25O.OQ181ConstantEsti indite-1.39346V?tri &nce Est imate6263 JOSStd ErrorEst i mte78.07658AIC824.0597SBC828.5651Number of Res i duct 1 s71芈AIC and SBC donot i nc1ude1口g determinant uono 111 cm iLeast square tstimationToC

29、hi-Pr LeiSquareDFChiSq Autococreiat i口ns618.805U. 0023叮21-0.170-0.853-0.2000J200*1411219J611ik 05790.049-0.024-0.035-0.035-0.002-0.040ie27.43170.0521-0.064-0.0510.0000.0030.2300.0362437.6123D.Q28O-0,027-0.172-0.2000.0730,10$0.103fiutocorrelition Checkof ResiduaiIs1阶差分运算，考察其1阶差分序22图5.3序列difx模型拟合结果该序列

30、延迟各阶的P值都大于显著性水平0.05，接受原假设，即股票的收盘价1阶差分序列为非白噪声序列。预测图:根据检验结果显示,23l-orecasts tor variable xObsFonecfistStd Error95 Gonrf idence Limits731851.221773.0?661536.23442006.2083?41972-459E134.49961B08.95&S2186.0494751878.03701804?0791525.88602282.2380leeo.iies214.02461451.2092309.0129771373J282252.37001384

31、.48322873.7652731377.3647202J135132+.23642430轴胡791976.30S2309.200712B9J2932401.4572图5.4预测结果由上图可得，预测19391945年英国绵羊的数量分别为1851,1872,1879,1880,1879,1877,1875习题六data example5 3;in put x;t=_n_；lagx=lag(x);cards ;4.9955.035.035.255.265.3 5.455.495.525.75.685.655.8 6.5 6.456.486.456.356.4 6.436.436.446.456.4

32、86.4 6.356.4 6.3 6.326.356.135.75.585.185.185.175.155.215.235.054.654.654.64.674.694.684.624.634.9 5.445.566.046.066.068.078.078.1 8.058.068.078.068.118.6 10.81111119.489.188.628.3 8.478.448.448.468.498.548.548.5 8.448.498.4 8.468.5 8.5 8.478.478.478.488.488.548.568.398.899.919.899.919.919.9 9.889.8

33、69.869.749.429.279.268.998.838.838.838.828.838.838.798.798.698.668.678.728.7799.619.7 9.949.949.949.959.949.969.9710.8310.7511.211.411.5411.511.3411.511.511.5812.4212.85 |13.113.1213.113.1513.113.214.214.7514.614.614.4514.514.815.8516.216.516.416.416.3516.113.713.51412.31214.3514.612.512.7513.713.45

34、13.5512.612 11 11.612.0512.3512.712.4512.5512.212.111.1511.8512.112.512.912.513.213.6513.6513.513.4513.3514.4514.315.0515.5515.6514.6514.1513.312.6512.712.814.515.115.1514.314.2514.0514.715.0514.0513.813.251312.8512.611.81312.3511.4511.3511.5510.8510.92412.311.712.0512.312.913.0513.313.8514.6515.051

35、5.1514.8515.715.415.114.815.815.81514.413.814.314.1514.4514.114.0513.7513.31312.5512.2511.8511.511.111.1510.710.2510.5510.2510.39.68.48.2 7.25258.358.258.3 7.4 7.156.355.657.4 7.2 7.057.16.856.5 6.255.955.655.855.455.3 5.2 5.555.155.4 5.355.1 5.8 6.356.5 6.958.057.857.758.6；proc gplot ;plot x*t;symb

36、olv =starc=black i =join;procautoregdata =example5_3;model x=lagx/ lagdep =lagx archtestmodel x=lagx/ lagdep =lagx noint garch =(p = 1,q = 1);outputout =outp=xp;procgplot data=out;plot x*t= 2 xp*t= 3/ overlay ; symbol2v=star i =none c=black;symbol3v=none i =joinc=redw=2;run ;实验结果得到序列时序图如下：图6.1序列时序图结

37、果显示该序列不平稳。26图6.2DW检验结果根据时序图用延迟因变量auto-regressive模型对该序列进行拟合，并进行异方差分析。Durbin h统计量的的P值小于显著性水平0.05，因此残差序列为非白噪声序列,序列进行自回归拟合。异方差检验结果如下:Q and LM Tests for ARCH DisturbancesOrderQPr 0LMPr LM10JA270.66070JB390.BBB1217.4655Q.000217.30030.Q002318.9488。血闊19.40190.0002423.7006.000121J4150.0003533.4612000123.6677

38、.0001633.46B2.000128.8618.0001749.0399.000135.1358J0D1849.1315.000135.1C91JQ01355,8120,000135.C257.00011055,8718,000136,5887.00011155J551,000139.1317.00011256.2409,000139,3713 |t|Intercept10.17000.0947ueo0.07S8lagz1D.8B43O.OOB916110.39 h0,0318存在着相关性，需要继续对残差Q统计量检验和LM检验结果显示，除延迟1阶不存在异方差外,其它延迟各阶都显示残差序列v

39、tGARC模型进行序列的拟合。Ordi riiry Least Squires： Est mftt&s27结果显示常数项不显著，因此去除常数项进行拟合。28GARCH(1,1)模型最终拟合结果:GARCH Est imatesSSEMSELQTL ikeli bood SBC84.2123694C.27431-237.Q6097465.675684351.3135bservat i ons UncondVar Total R-SquaPr ChiSqjsed * R- Eue res0.e47are rede307274307380.39768.121538 It Il&gz10.99950.002515397.3&.0001ARCHO1D.27430,011723.47,oaoiARCH1103.8B7E-110.00