寿险精算 第四讲 生存年金课件

1、寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金2.5 生存年金生存年金生存年金的概念生存年金是指在已知某人生存的条件下，按预先约定的金额以连续方式或以一定的周期进行一系列给付的保险，且每次年金给付必须以年金受领人生存为条件。 生存年金可分为：定期生存年金和终身生存年金、即期生存年金和延期生存年金、期初生存年金和期末生存年金，等等。 2.5.1 精算现值的计算方法 在生存年金中，n年期生存保险的期望现值（即趸缴纯保费）称为精算现值。在生存年金中，保额为1单位的n 年期生存保险的精算现值E(Z) 用符号 表示，即：nxE1:nnxxnxnEAvp精算折现因子精算累积因子1:n

2、nxxnxnEAvp1nxsE寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金相关公式及意义相关公式及意义 (1)(1)11(2)(1)1(3)nxnxx nnxnnxnxx ntxnxtxn tx tnxn tx tlEillSiEvplEEEEEE年龄xx+tx+n现时值11S1nxEn tx tEtxE寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金生存年金生存年金精算现值计算方法精算现值计算方法计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法现时支付法计算步骤：未来连续支付的现时值之和求出时刻t 给付年金的数额计算t 时给付额的精算现值对现值按可能的给

3、付时间进行求和（或积分）总额支付法计算步骤：年金在死亡或到期而结束时的总值先求出在未来寿命期限内所有可能年金给付额的现值，将现值与相应的死亡概率或概率密度相乘把第二步得到的结果按所有可能的死亡时间进行求和（或积分）两种方法是等价的寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金2.5.2 离散型生存年金离散型生存年金离散生存年金定义： 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次年金的保险。 1.按年付生存年金按年付生存年金是以年为时间间隔，每年支付一次金融的生存年金。 设年龄为x 岁的生存者在每个年度初领取年金额为1个单位的终身生存年金（即期初付），其精算现值

4、 用现时支付法为： 上式右边表明：该群体中生存到x+k岁的 ，每人获得1元的金额。xa0001 (2.5.1)kkxkxkxx kkkkxaEvpvllx kl寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金生存年金计算方法生存年金计算方法 若用总额支付法，则期初付年金为1个单位的终身生存年金支付的现值于是，有交换求各顺序，则式(2.5.3)可转化为10KjKjYav|000|00( ) = = kjjxkxkxkjjkjjjkxjxjkjjaE Yvqvqvqvp11100Pr()xxkKkkkkaE aaKkaq寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年

5、金生存年金生存年金计算换算公式生存年金计算换算公式0Nxx kkD122122,0,1,2,1111) ()112) KKxKKxKxxKzvKAzE zaE YEdddAAvVar YVarVar zddd相关公式相关公式 (2.5.4)xxxNaD xxxDv l1 (2.5.7)xxdaA故有故有dvann1 寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金期末付终身生存年金期末付终身生存年金1 kxkxkavp期初付生存年金与期末付生存年金的关系1xxaa111111 (1) xxxxxAaaddA

6、i Adi2221xxxxAAVar aVar ad寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金期初付定期生存年金期初付定期生存年金当期支付方法总额支付方法111:0001nnnkkkxkxxkx nkkkxaEvpvll1110,0,1,1, KnnxxnxkknkaKnYaKnaE Yaqap寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金相关公式相关公式1:221:22,0,1,1,1111) 112) KKnx nKKx nKx nx nKvKnzvKnAzE zaE YEdddAAvVar YVarVar zddd寿险精算数学寿险精算数学-

7、02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金延期初付生存年金延期初付生存年金险种延期m年初付终身生存年金延期m年初付n年定期生存年金精算现值:1()xxmx mmxx mxx maaaEaAAd:1()xm nx m nx mmxx m nx mx m naaaEaAAd寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金期初付生存年金及其精算现值期初付生存年金及其精算现值终身生存年金定期生存年金延期n年的终身生存年金延期m年的n年定期生存年金0kxkxkavp11:00nnkkxnxx nkkavpE|:knxkxxnxx nxnk navpaaE a1|:k n mkm nx

8、kxmxx m nx mx m nk mavpaaE a 寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金等额生存年金计算换算公式等额生存年金计算换算公式等额生存年金计算换算公式等额生存年金计算换算公式 险种初付末付终身生存年金定期生存年金延期终身生存年金延期定期生存年金xxxDNa1xnxxnxDNNa: xnxxnxDNNa11:xxxDNa xmxxmDNa xmxxmDNa1xnmxmxnxmDNNa: xnmxmxnxmDNNa11:寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存

9、年金2. 每年分每年分m次支付的生存年金次支付的生存年金(1)期初付终身生存年金基本公式：类似于上一节的公式，有)()(1mnmndva 01kmmxkxkmavpm ()()()()1()()1 (1) (3.2.23)K SmmxmK SmxmvaE aEdAd()112,0,1,1,mmmmmKSYaSKn111）（idvimimm11)(dmdmm11)(ln(1) i寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金关系式关系式故:再由得到:在尾龄服从死亡均匀分布条件下,有 ()()()()()1() (2.5.25)mmmxxxxmmxxxxmmdaAdaAd a

10、aAAdd ()()1 (2.5.24)mmmxxdaA1 (2.5.7)xxdaA ()mxxmiAAinmmnaiia)()(寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金010|)(11kmjxkkmxqvAmmjmj01011kmjkxxkkmjmmjmjqpvkxxkxkpppmjmjmjmmjmjmmjkxkxxkkxxkqppqp11kxxkqpmmj1|010|11)(11kmjkxxkkmxqvpvAmmjmj寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金在UDD （即年龄内死亡均匀分布）假设下，有111|1()( )jjjm mm

11、mmtxxjjx kx kx kx kx kmmmx kmqtqqqqqqq寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金010|11)(11kmjkxxkkmxqvpvAmmjmj01011)1(1kmjkxxkkqmvpvmj01011)1(1kmjkxxkkmvqpvmjxmAii)(12110111mmmmmvvv)( mii寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金死亡均匀分布条件下的计算公式死亡均匀分布条件下的计算公式由式(2.5.25),得到近似公式（实际操作公式）()( )( )mxxam am()()( )mmidmid()()

12、()( )mmmiimid()1 (2.5.27)2mxxmaam寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金近似公式的推导近似公式的推导先根据恒等式引出线性插值近似计算式：故0|0 xxaa1|1xxaa|kxxmkaam121()0|1() 1121 ()()()12(1) =21 =2mmmmmxxxxxxxxxxxaaaaammaaaammmmmammam寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金其他公式其他公式对于期末付终身生存年金有：延期期初付终身生存年金（UDD假

13、定）定期期初付生存年金 （UDD假定）()()1/ (2.5.28)mmxxaam()( )( ) 1/ (2.5.29)mxxam amm()1 (2.5.30)2mxxmaam()() ( )( )12mmxhxx hhxx hhxhxhaEaEm ammaEm()()()()()|: = ( )( )(1E ) 1 (1E ) 2mmmmmxnxxnxx nx nnxx nnxx naaaaEam ammam寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金2.5.4 变额生存年金变额生存年金1. 按年

14、递增的期初付终身生存年金时间012N-1年金额123N11|100()(1)()w xw xtxtxkxktkIatvpIaq ()()xxxIaIaa年末付年末付0)1()(kxkkxpvkaI 0) 1(kxxkxkxlvlvk0) 1(1kkxxDkDxxDS寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金2.递增的递增的n年定期生存年金年定期生存年金年初付年初付年末付年末付:1()nttxx ntIat vp平价关系平价关系:()()nxx nx nx nIaIaanE 11|:100()(1)()

15、()nnttxkxnxx nkntkIatvpIaqIap10:) 1()(nkxkknxpvkaI 10) 1(1nkkxxDkD)(110nknxkxxnNNDxnxnxxDnNSS寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金。 nkxkknxpvkIa1:)(10111011) 1() 1(nkxxkxkxnkxkklvlvkpvk101) 1(1nkkxxDkDxnxnxxDnNSS111寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金3.递减的定期生存年金递减的定期生存年金年初付年初付年末付年末付1:01()()nnttxx nx tttD

16、ant v pa:11()(1)nnttxx nx tttDantv pa 平价关系平价关系:()()x nx nx nDaDana10:)()(nkxkknxpvknaD xnxxxDSSnN11寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金nkxkknxpvknDa1:) 1()(xnxxxDSSnN221寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金2.5.3 连续型生存年金连续型生存年金连续生存年金的定义在保障时期那，以被保险人存活为条件，连续支付年金的保险连续生存年金的种类终身连续生存年金/定期连续生存年金连续生存年金精算现值的估计方法总额

17、支付技巧：考虑年金在死亡或到期而结束时的总值现时支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和对于(x) ,其未来寿命 T=T(x) 的密度函数为：( )Ttxx tftp寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金连续型生存年金的关系式连续型生存年金的关系式其支付年金的现值为： 总额支付法： 现时支付法：0() (2.5.38)TtxtxaE vvp dt00()( ) (2.5.37)xTtxx tTTTaE aa f t dtapdt0|011|lntTTTtTTvveYav dtv寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金两种方法等价性.dtt

18、faYExt)()(0dttfaxt)(0)(0 xttpda)()(00txtxttadppa)1(0txtvdpdtvvptxt0lndtpvxtt0寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金相关公式相关公式dtpvdttfaaEatxxttTTTx001)()(1）（xxxttTxAaAzEvEaEa1)1 (1)1()1()(2）（)(1)()(1)1()1()(32222xxTtttTAAaVarzVarzVarvVaraVar）（寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金例子例子例2.5.3 设死力是常值 ，利力 。在此假设条件下

19、，求： （1） 终身生存年金的精算现值 ； （2） 终身生存年金现值 的标准差； （3） 超过 的概率。解：(1) (2) 11 0.06 100.4 xxAaxa0.04000exp()exp()1 =exp () 10 txtxavp dttt dtt dt0.06TaTaxa2221()()25xxTVar aAA20exp( 2)exp() 0.25xAtt dt寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金 例例:证明：证明： 证：21xxaa )(limmxmxaa)21(limmmaxm 21xa 寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金

20、生存年金例例2.5.3续续故：（3）()5TVar a15.271515.271Pr()Pr(10)ln0.4Pr(0.4)Pr()lnPr(15.2715)exp()exp()|0.5429TTxTvaavTvTt dtt寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金定期连续生存年金精算现值估计定期连续生存年金精算现值估计 综合支付法 现时支付法dtpvaxtntnx0：0 ,0 ,( )Tnntxx tnxxntnaTnYaTnaE Yapdtap：寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金相关公式相关公式nxxnxtnxAaAzEYEa：）（1)1 (1)1()(1)(1)()(1)1()(22:222nxnxTttAAaVarzVarzVarYVar）（寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金例例4.4（例（例4.3续）续） 在De Moivre假定下， 计算：30年定期生存年金精算现值 及方差。30,05. 0,100 x30:30a寿险精算数学寿险精算数学-02趸缴纯保费趸缴纯保费-生存年金生存年金01.1305. 035. 01135.