【KS5U解析】江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末考试数学试题 Word版含解析

1、南京市秦淮中学2019-2020学年度第一学期期末测试高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知、，且，则下列不等式成立的是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用特殊值法可判断a、b选项的正误，利用不等式的基本性质可判断c、d选项的正误.【详解】取，则，a、b选项错误；，由不等式的基本性质可得，c选项正确；当时，则，d选项错误.故选：c.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法、特殊值法、函数单调性以及中间值法来判断，考查推理能力，属于基础题.2.已知为虚数单位，则

2、等于（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用复数的乘法运算法则可得出结果.【详解】.故选：b.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.3.已知向量，向量，若，则实数（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解出即可.【详解】，解得.故选：d.【点睛】本题考查空间向量垂直坐标表示，考查计算能力，属于基础题.4.双曲线的焦点坐标为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】 ，所以 ，并且焦点在轴，那么焦点坐标就是 ，故选c.5.在等比数列中，则数列的前项的和为（ ）a. b. c. d.

3、 【答案】d【解析】【分析】求出等比数列的公比，利用等比数列的求和公式可计算出结果.【详解】设等比数列的公比为，则，即，解得，因此，数列的前项的和为.故选：d.【点睛】本题考查等比数列求和，解题的关键就是要求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.6.已知正实数、满足，则的最小值为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】，且，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：b.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及的妙用，考查计算能力，属于基础题.7.关于的一元二次不等式的解集为（ ）a. b. 或c. d

4、. 或【答案】c【解析】【分析】将所求不等式变形为，即可得出该二次不等式的解集.【详解】原不等式为，即，解得，因此，关于的一元二次不等式的解集为.故选：c.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.8.已知抛物线的准线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于p、q两点，则（是椭圆的右焦点）的周长为（ ）a. b. 24c. d. 16【答案】d【解析】【分析】由抛物线的准线过椭圆的左焦点求出，得椭圆的长轴长，而的周长等于两倍的长轴长【详解】由题意抛物线准线为，解得，的周长为故选：d【点睛】本题考查抛物线的准线方程，考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，解题关键是求出值二、多项选择题：本

5、题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有( )a. b. c. d. 【答案】bc【解析】【分析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.【详解】由等差中项的性质可得为定值，则为定值，为定值，但不是定值.故选：bc.【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.10.若实数，则下列选项的不等式中，正确的有（ ）a. b. c. d. 【答案】acd【解析】【分析】利用基本不

6、等式可判断出各选项的正误.【详解】由于，由基本不等式得，上述不等式当且仅当时，等号成立.故选：acd.【点睛】本题考查利用基本不等式判断不等式的正误，考查推理能力，属于基础题.11.对于任意非零向量，以下说法错误的有( )a. 若，则b. 若，则c. d. 若，则为单位向量【答案】bd【解析】【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断a、c选项的正误；利用空间共线向量的坐标表示可判断b选项的正误；利用空间向量模的坐标公式可判断d选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于a选项，因为，则，a选项正确；对于b选项，若，且，若，但分式无意义，b选项错误；对于c选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，c选

7、项正确；对于d选项，若，则，此时，不单位向量，d选项错误.故选：bd.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及空间共线向量的坐标表示和数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.12.在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）a. b. c. d. 【答案】bd【解析】【分析】设椭圆的焦距为，根据椭圆的定义得出，再由可求得该椭圆离心率的取值范围，进而可得出合适的选项.【详解】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得，解得，由题意可得，解得，又，所以，所以，该椭圆离心率的取值范围是.故符合条件的选项为bd.故选：bd.【点睛】本题考查椭圆离心率的求

8、解，涉及椭圆定义和性质的应用，求出椭圆离心率的取值范围是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知命题：“”，则：_【答案】【解析】全称命题否定是特称命题.故答案为14.已知数列满足，则_.【答案】【解析】【分析】令求得的值，令，由题干中的等式得出，两式相减可得，再对是否满足在时的表达式进行检验，综合可得出数列的通项公式.【详解】对任意，.当时，则有；当时，则，两式相减得，解得.满足，因此，对任意的，.故答案为：.【点睛】本题考查利用求，一般利用来求解，但需对是否满足在时的表达式进行检验，考查计算能力，属于基础题.15.在长方体中，则异面直

9、线与所成角的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，则，因此，异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值，建立空间直角坐标系是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.16.在平面直角坐标系中，点，点是椭圆上的一个动点，则的最大值与最小值的积为_.【答案】【解析】【分析】设点的坐标为，可得出，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值和最小值，进而可求得

10、结果.【详解】设点的坐标为，则，.当时，取最小值；当时，取最大值.因此，的最大值与最小值的积为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆上一点到坐标轴上一点距离最值的求解，涉及椭圆有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家、自然科学家.岁时入读巴塞尔大学，岁大学毕业，岁获得硕士学位，他是数学史上最多产的数学家.其中之一就是他发现并证明欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来：两个超越数：

11、自然对数的底数，圆周率；两个单位：虚数单位和自然数单位；以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”请你根据欧拉公式：，解决以下问题：（1）试将复数写成（、，是虚数单位）的形式；（2）试求复数的模.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据欧拉公式可将复数表示为一般形式；（2）根据欧拉公式将复数表示为一般形式，利用复数的模长公式可求得该复数的模.【详解】（1）根据欧拉公式可得；（2）由题意可知，因此，.【点睛】本题考查复数的三角表示，同时也考查了复数模长的计算，考查计算能力，属于基础题.18.已知等比数列的各项都是正数，其前项的和为，.（1）求数列的通项公式；（2）等

12、差数列中，、成等比数列，求数列前项的和.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，则，根据已知条件得出关于和的方程组，解出这两个量，再利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）设等差数列的公差为，由题意可得出关于和的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的求和公式可求出.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，由题意可得，解得，因此，；（2）设等差数列的公差为，则，由于、成等比数列，则，即，整理得.由题意可得，解得或.当时，；当时，.综上所述，或.【点睛】本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了等差数列求和，第（2）问不要忽略了公差为零的讨论，涉及等差数列和等比数

13、列基本量的应用，考查计算能力，属于基础题.19.已知关于的一元二次不等式.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式的解集中恰有三个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意可知，关于的一元二次方程的两根分别为、，进而可求得实数的值；（2）分和两种情况讨论，解出不等式，确定不等式解集中的三个整数，进而可求得实数的取值范围.【详解】（1）由题意可知，关于的一元二次方程的两根分别为、，则，整理得，解得；（2）不等式即为.当时，原不等式的解集为，则解集中的三个整数分别为、，此时；当时，原不等式的解集为，则解集中的三个整数分别为、，此时.综上所述，实数的取值

14、范围是.【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解集以及解集中的整数解求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.20.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是的中点.（1）求证：平而；（2）若，求二而角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】(1) 连接与相交于，连接,利用中位线证,再根据判定定理证明平而;(2) 以为原点，分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系.再根据法向量可求得结果.【详解】（1）证明：连接与相交于，连接.底面是正方形，为中点，又是的中点， ,平面，平面,平面.（2）解：以为原点，分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系.， .取平面的一个法向量.设平面的一个法

15、向量为.由，得不妨令，解得，即，,.二面角的余弦值为【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理,找线线平行是解题关键,考查了向量法求二面角,转化为两个平面的法向量求解是解题关键,属于中档题.21.在平面直角坐标系中，抛物线方程为，其顶点到焦点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）若点，设直线与抛物线交于、两点，且直线、的斜率之和为，试证明：对于任意非零实数，直线必过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意求出抛物线的焦点坐标，可求得的值，进而可求得抛物线的方程；（2）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据直线、的斜率之和为求得实数的值，即可求得

16、直线所过定点的坐标.【详解】（1），且抛物线的顶点到焦点的距离为，则该抛物线的焦点坐标为，解得，因此，该抛物线方程为；（2）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得，由韦达定理得，.直线的斜率为，同理直线的斜率为，由题意得，上式对任意的非零实数都成立，则，解得，所以，直线的方程为，该直线过定点.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中直线过定点问题的证明，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.22.如图，已知椭圆：经过点，离心率.（）求椭圆的方程；（）设点为椭圆与轴正半轴的交点，点为线段的中点，点是椭圆上的动点（异于椭圆顶点）且直线，分别交直线于，两点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明