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文档简介

1、第一讲:数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案一、单项选择题(每小题4分,共24分)1 下列极限正确的( )A B 不存在C D 解: 选C注:2 下列极限正确的是( )A B C D 解: 选A注:3 若,则下列正确的是 ( )A B C D 解: 选D4若,则 ( )A3 B C2 D解:选B5设且存在,则= ( )A-1 B0 C1 D2解:选C 6当时,与为等价无穷小,则k=( )A B1 C2 D-2解: 选C二 、填空题(每小题4分,共24分)7 解:原式8 解:原式9 解:原式10 解:原式11 解:又 故 原式=112若且,则正整数= 解: 故三、计算题(每小题8分,共6

2、4分)13求解: 原式=原式14求解:原式15求解:令,当时,原式16求解:原式注:原式17求 解: 原式18设且存在,求的值。解:19求解: (1) 拆项,(2) 原式=20求解: 原式 四、证明题(共18分)21当时且,证明证:证毕22当时,证明以下四个差函数的等价无穷小。(1)(2)(3) (4)证:当时,当时,当时,当时,五、综合题(每小题10分,共20分)23求解: 原式24 已知,求常数的值。解:(1)原极限存在且(2) 答选做题求解:原式令原式第二讲:函数的连续性与导数、微分的概念的练习题答案一、单项选择题(每小题4分,共24 分)1若为是连续函数,且,则( )A -1 B0 C

3、1 D 不存在解: 原式,选B2 要使在点处连续,应给补充定义的数值是( )A B C D 解: 选A3若,则下列正确的是 ( )A B C D 解: 选B4设且在处可导,,则是的 ( )A 可去间断点 B 跳跃间断点C 无穷间断点 D 连续点 解: ,故是的第一类可去间断点。选A5在处 ()A 极限不存在 B极限存在但不连续C 连续但不可导 D可导但不连续解:,且在连续,又不存在,在不可导 选C6设在可导,则为 ( )A B C D 解:(1)在连续,故(2),代入得,选C二、 填空题(每小题4分,共24分)7设为连续奇函数,则= 解:(1)为奇函数, (2)又在连续 故8若为可导的偶函数,

4、则 解:(1)为偶函数,(2)可导, 故 即9设是曲线的一条切线,则 解: (1)(2)故10 若满足:,且则= 解:11 设在连续,且=4,则 解: 原式=12的间断点个数为解: 令为间断点,故有三个间断点三 、计算题(每小题8分,共64分)13 已知在上连续,求的值 解:在连续 且故14 讨论在连续性解:(1)在处,且在处连续(2)在处,在不连续15 设有连续的导函数,且若在连续,求常数A。解:且, 答16 设在可导,求的值。解:(1)在连续, 故有(2)在可导,答17设在可导,求与 解:(1)在连续,且,故有(2)在可导答:18 讨论在是否可导,其中在连续。解:(1) (2)答: 当时,

5、在连续,当时,在不连续19 求的间断点,并指出间断点类型 解:(1) 间断点:(2) 在处:是的第一类间断点。(3) 在处:为的第二类无穷间断点。20 设指出的间断点,并判断间断点的类型。解:(1)为间断点,可能是间断点。(2)在处:是的第二类无穷间断点(3)在处:是的第一类跳跃间断点四、 综合题(每小题10分,共20分)21 求的间断点,并判别间断点的类型。解: (1)间断点:(2)在处:是的第一类可去间断点(3)在处:是的第一类可去间断点(4)在处:是的第二类无穷间断点22已知,在可导,求之值解:(1)在连续,故(2)在可导故有(3)在连续,即(4)在可导:故有由(3)(4)解得答:五、证

6、明题(每小题9分,共18分)23 证明在区间内至少有两个实根。证:(1)在连续,且由零点定理知,=0在上至少有一个实根。(2)在连续,且由零点定理知,=0在上至少有一个实根(3)综上所述,=0在上至少有两个实根 24 设,证明(1)当时在连续,当时,在可导 解:(1)当时,在连续(2)当时,在可导总之,当时,在连续当时,在可导选做题设对于任意的,函数满足且证明证:(1)令, ,即(2) 证毕第三讲:导数与微分的计算方法的练习题答案一、单项选择题(每小题4分,共24分)1设则( )A 1 B 3 C -1 D -3解:(1)(2) 选C2设 ,则 ( )A B C D 解: 令选B注:本题用导数

7、定义计算更方便!3设,则= ( )A B C D 解: 选A4设由方程所确定,则曲线在点(0,1)的切线斜率= ( )A 2 B -2 C D - 解:选B5 设为可导偶函数,且,则 ( ) A 0 B 1 C -1 D 2 解:(1)(2)得(3) 选A6设在有连续导数,且,则 ( )A 1 B -1 C 2 D -2解:(2)原式选B二、填空题(每小题4分,共24分)7若,则 解:(1)(2) 8设,则= 解:(1)(2)9 直线与轴平行,且与曲线相切,则切点坐标是 解:故有切点坐标10由方程确定,则 解:当时,得,11设,则 解:12设,则 = 解:三、计算题(每小题8分,共64分)13

8、 设,求。解: (1)(3)14设,求及。解:(1) 15方程确定,求解:(1)=0(2) 当时,(3) ,16设 ,求 解:(1)(2)17 设,确定,求。解:(1)(2)18 设,求 解:(1)变形,(2) 19 设由方程所确定,其中F可导,且,求解:(1)(2)当时,(3) 20已知,求解:(1)四、证明题(本题8分)21证明抛物线任一点处的切线所截两坐标轴的截距之和等于。证:(1)求切线方程:设切点坐标为,故有切线方程:(2)求截距:令,解得令,解得(3)证明两截距之和为(即)+证毕五、综合题(每小题10分,共30分)22若曲线与在点相切,求常数。解:(1)求两曲线的斜率在上,在上,2

9、)求之值:依题意,两曲线在点相切,又点在曲线上23设单调,且二阶可导,求及解:(1)(2)=24设,求解:(1) 选做题1设可导,且,求解:(1)(2)(3)2设有任意阶导数,且,求解:3设可导且,证明解:(1)当时(2)当时:(3)综上所述: 第四讲:微分中值定理与导数的应用的练习题答案一、单项选择题(每小题4分,共24分)1、已知,则有 (B)A一个实根 B两个实根 C 三个实根 D无实根 解:(1)在满足罗尔定理条件故有()综上所述,少有两个实根,至多有两个根,故选 2下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是 (D)ABCD解:,满足罗尔定理条件故选 D3设曲线,则其拐点坐标为(C)A0

10、B(0,1)C(0,0)D1解:令得当时,故(0,0)为曲线的拐点 C4若内必有(C)ABCD解:凹弧如示意图,故有5设 在取得极值。则为()A BC D解: 得得答案选6下列命题中正确的是-(B)A 为极值点,则必有B 若在点 处可导,且 为 的极值点,则必有C 若在()有极大值也有极小值则极大值必大于极小值。D 若则点必有的极值点。解:可导函数的极值点一定是驻点,故有=0 选B二、填空题(每小题4分,共24分)7设可导,且的极小值。则解:原式=8的单调增加区间为解:(1)定义域(2)当0<x<e 时。 故的单调增区间为(0,e)9的极小值是解:(1)(2)令,驻点是不可导点x1

11、+_+单调增单调减极小单调增(3)极小值10的最大值为 1 解:(1)是的不可导点。(2)(3)最大值为11曲线的水平渐进线为解:直线是曲线的一条水平渐进线12函数在1,2满足拉格朗日中值定理条件的解:(1)=(2) 三、计算题(每小题8分,共64分) 13.已知在区间满足拉格朗日中值定理条件,求解: ,14求函数的单调区间与极值。解:()驻点,的不可导点(2)x-10+-+极大极小(3)极大值 ,极小值, 在单调减在单调增15 求由方程所确定 的极值。解:(1)求驻点:令驻点(2)判别极值点当时 代入上式2+0+0+0+=为极大值点,(3)极大值16求在区间,4上的最大值,最小值。解:( 1

12、)令, 为不可导点 (2)(3)比较上述函数的大小最小值为 ,最大值为 0 17求曲线的凹凸区间与拐点。解:(1)定义域(-,+)(2) 令得; 不存在的点为(3)列表(-,00(0,-1)1(1,+)+凹拐点凸拐点凹答:拐点(0,)及(1,);,为凹区间,(0,1)为凸区间。18求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。解:(1)是曲线的一条水平渐近线。(2)是曲线的另一条水平渐近线(3)为曲线的一条垂直渐近线19判别函数在的单调性。解:(1)()令且(3)在单调减。20设确定单调的区间。解:(1)故有为驻点 (2)当时,时, (3)除外,在单调增加。四、综合题(每小题10分,共分)21 已知函数的图

13、形上有一拐点(2,4),在拐点处曲线的切线斜率为,而且该函数满足,求此函数解(1)已知;(2)求常数,(3)求:, 由(4)求函数y:答:所求函数y=22 利用导数描绘的图形解:(1)定义域,非奇非偶函数(2)求驻点和的点,令,驻点,令,得(3)列表x1(1,2)2+_+y极大拐点极大值,拐点(4)渐近线与函数变化趋势是曲线的一条水平渐进线,(5)描点作图当时五、证明题(每小题9分,共18分)23 设存在且单调增加,证明当时单调增加证明:1)令当时,单调增加故有单调增加24 设证明,证明:1)构造辅助函数:(2)且由罗尔定理知 选做题证明方程:恰有一实根,其中常数,且证明:(1)令单调增且(4

14、)综上所述:有且仅有一个实根第六讲:利用导数证明不等式及导数应用题的练习题答案一、证明不等式1当时,证明成立.证:(1)变形:,这是对数函数的增量形式令(2)在应用拉格朗日中值定理: (3)故有 证毕! 2证明:成立证:(1)构造辅助函数,令 (2)在应用拉格朗日定理:(3) 对于 的情形,同理可证. 证毕3证明:当时,有成立.证:(1) 构造辅助函数:令(2) 在应用拉格朗日中值定理, (3) 是单调增函数,故有,证毕4当时,证明成立.证:(1)令(2) 在单调减少(3) 在单调减少,且故当时, 证毕5当时,证明成立.证:(1)变形,令(2)令且从而在单调减少(3)且=0即有成立6当时,证明

15、成立.证:(1)变形,令(2)(一阶导数符号不易判定,借助)=单调增,且单调增加(3)在单调增,且,故有证毕7当时,证明:成立.解:(1)令 (2)令,驻点(3) ,为极小值点.由单峰原理,是最小值点最小值故有,即证毕8设,证明成立.证:(1)令(2)驻点(3)(4)比较上述函数值的大小:故有,即证毕9证明:当时,有.证:(1)令(2),在单调增加 (3) 由,得从而有 证毕二、证明方程根的个数10证明:当时,方程仅有一个实根. 证:(1)令单调增,故最多有一个实根(2)是一元五次方程至少有一个实根(3)综上所述:有且只有一个实根. 证毕11证明方程只有一个正根.证(1) 单调增故最多有一实根

16、(2)在连续且由零点定理知:至少有一个正根.(3)综上所述:只有一个正根12证明方程:有且仅有两个实根.解:(1)令在连续且由零点定理知:在至少有一个实根同理:=0在至少有一实根总之, =0在至少有两个实根(2) =0是一元二次方程,最多有两个实根()综上所述:=0有且仅有两个实根13设常数证明方程,在内有且仅有两个正根.证:(1)令 (x>0)(2) ;令驻点<0,为极大值点.由单峰原理:是最大值点最大值且, 故与轴有且仅有两个交点 (如示意图) 即在有且只有两个实根.三、 应用题(每小题10分,共50分)14已知曲线.(1)求曲线在横坐标为的点处的切线方程.(2)求曲线的切线被

17、两坐标轴所截线段的最短长度.解:(1)求切线方程:切点切线方程:即(2)令令(3)令(4)最小值15在半径为R的半径内作一个圆柱体,求最大体积时的底半径与高.解:(1)画出示意图 (2)依题意,设所求圆柱体体积为V(3)求驻点,令,驻点(4)求最值点:,为最大值点答:当,时,所得圆柱体体积最大16某客轮每小时消耗燃料的费用速度的立方正比,若该客轮从甲城到已城沿江逆流而上,设水流速度为每小时公里,求客轮最经济的速度?解:(1)列出函数关系式:设从甲城沿江到乙城的路程为.消耗总费用为.依题意:,其中是甲城到乙城所需要的时间(2)求驻点: 令,驻点(3)求最值:由实际问题的意义知道:最小值存在,且驻

18、点唯一,当时,客轮消耗燃料总费用最省.17欲做一个容积是3000的无盖圆柱形的蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面积的3倍,问蓄水池的尺寸怎样设计,才能使总造价最低?解:(1)列出函数关系式:设池底半径为,池高为,池壁单位面积造价为元,总造价为,依题意:(2) 求驻点:令,驻点(3) 求最值:,当时,总造价最省.(4) 当时,答:当时,总造价最低.18从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形,把留下的中心角为取多大时,做成的漏斗的容积最大? 解:(1)列出函数关系式:设漏斗体积为V依题意:, ,(2) 求驻点令=0.,驻点又(3) 求最值由实际问题意义知道:漏斗最大容积存在,且驻点唯一,当时,

19、漏斗的容积最大.第六讲:不定积分的概念与换元积分法的练习题答案一、单项选择题(每小题4分,共24分)1设是在上的一个原函数,且为奇函数,则是 ( )A 偶函数 B 奇函数C 非奇非偶函数 D不能确定解:可导奇函数的导函数必为偶函数.必为偶函数.选A2已知的一个原函数为,的一个原函数为,则的一个原函数为 ( )A B C D 解:(1),(2) 选B3设为连续导函数,则下列命题正确的是 ( )A B C D 解:选A 4设且 ,则=( )A B C D 解:(1) (2)且得,选A5设是的一个原函数,则 ( )A BC D 解:(1)原式=(2)(3) 原式= 选D6设,则=( )A B C D 解:(1)(2)(3)原式= 选C二、填空题7若是的一个原函数,则 = 解:(1)(2) 8设的一个原函数为 ,则 解:故 9若,则= 解: 原式=10 解:原式=或11若,则 解:原式=12若,则 解:三、计算题13 解:原式=14 解:原式=15 解:原式= 16 解:原式=17 解:原式=18 解:令原式=19解:令原式=20 解

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