第四讲：微分中值定理与导数的应用的练习题答案

1、第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1 下列极限正确的（ ）A B 不存在C D 解： 选C注：2 下列极限正确的是（ ）A B C D 解： 选A注：3 若，则下列正确的是 （ ）A B C D 解： 选D4若，则 （ ）A3 B C2 D解：选B5设且存在，则= （ ）A-1 B0 C1 D2解：选C 6当时，与为等价无穷小，则k=（ ）A B1 C2 D-2解： 选C二 、填空题（每小题4分，共24分）7 解：原式8 解：原式9 解：原式10 解：原式11 解：又 故 原式=112若且,则正整数= 解： 故三、计算题（每小题8分，共6

2、4分）13求解： 原式=原式14求解：原式15求解：令，当时，原式16求解：原式注:原式17求 解： 原式18设且存在，求的值。解：19求解： (1) 拆项，(2) 原式=20求解： 原式 四、证明题（共18分）21当时且,证明证：证毕22当时，证明以下四个差函数的等价无穷小。（1）（2）（3） （4）证：当时，当时，当时，当时，五、综合题（每小题10分，共20分）23求解： 原式24 已知，求常数的值。解：（1）原极限存在且（2） 答选做题求解：原式令原式第二讲：函数的连续性与导数、微分的概念的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24 分）1若为是连续函数，且，则( )A -1 B0 C

3、1 D 不存在解： 原式，选B2 要使在点处连续，应给补充定义的数值是( )A B C D 解： 选A3若，则下列正确的是 （ ）A B C D 解： 选B4设且在处可导，,则是的 ( )A 可去间断点 B 跳跃间断点C 无穷间断点 D 连续点 解： ，故是的第一类可去间断点。选A5在处 ()A 极限不存在 B极限存在但不连续C 连续但不可导 D可导但不连续解：，且在连续，又不存在，在不可导 选C6设在可导，则为 （ ）A B C D 解：（1）在连续，故（2），代入得，选C二、 填空题（每小题4分，共24分）7设为连续奇函数，则= 解：（1）为奇函数， （2）又在连续 故8若为可导的偶函数，

4、则 解：（1）为偶函数，(2)可导， 故 即9设是曲线的一条切线，则 解： （1）（2）故10 若满足：，且则= 解：11 设在连续，且=4，则 解： 原式=12的间断点个数为解： 令为间断点，故有三个间断点三 、计算题（每小题8分，共64分）13 已知在上连续，求的值 解：在连续 且故14 讨论在连续性解：（1）在处，且在处连续（2）在处，在不连续15 设有连续的导函数，且若在连续，求常数A。解：且， 答16 设在可导，求的值。解：（1）在连续， 故有（2）在可导，答17设在可导，求与 解：（1）在连续，且，故有（2）在可导答：18 讨论在是否可导，其中在连续。解：（1） （2）答： 当时，

5、在连续，当时，在不连续19 求的间断点，并指出间断点类型 解：（1） 间断点：（2） 在处：是的第一类间断点。（3） 在处：为的第二类无穷间断点。20 设指出的间断点，并判断间断点的类型。解：（1）为间断点，可能是间断点。（2）在处：是的第二类无穷间断点（3）在处：是的第一类跳跃间断点四、 综合题（每小题10分，共20分）21 求的间断点，并判别间断点的类型。解： （1）间断点：（2）在处：是的第一类可去间断点（3）在处：是的第一类可去间断点（4）在处：是的第二类无穷间断点22已知，在可导，求之值解：（1）在连续，故（2）在可导故有（3）在连续，即（4）在可导：故有由（3）（4）解得答：五、证

6、明题（每小题9分，共18分）23 证明在区间内至少有两个实根。证：（1）在连续，且由零点定理知，=0在上至少有一个实根。（2）在连续,且由零点定理知，=0在上至少有一个实根（3）综上所述，=0在上至少有两个实根 24 设，证明（1）当时在连续，当时，在可导 解：（1）当时，在连续(2)当时，在可导总之，当时，在连续当时，在可导选做题设对于任意的，函数满足且证明证：（1）令， ，即(2) 证毕第三讲：导数与微分的计算方法的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1设则( )A 1 B 3 C -1 D -3解：（1）(2) 选C2设 ,则 （ ）A B C D 解： 令选B注：本题用导数

7、定义计算更方便！3设，则= ( )A B C D 解： 选A4设由方程所确定，则曲线在点（0，1）的切线斜率= ( )A 2 B -2 C D - 解：选B5 设为可导偶函数，且，则 （ ） A 0 B 1 C -1 D 2 解：（1）（2）得（3） 选A6设在有连续导数，且,则 ( )A 1 B -1 C 2 D -2解：(2)原式选B二、填空题（每小题4分，共24分）7若，则 解：（1）(2) 8设，则= 解：(1)（2）9 直线与轴平行，且与曲线相切，则切点坐标是 解：故有切点坐标10由方程确定，则 解：当时，得，11设，则 解：12设，则 = 解：三、计算题（每小题8分，共64分）13

8、 设，求。解： (1)（3）14设，求及。解：(1) 15方程确定，求解：(1)=0（2） 当时，（3） ，16设 ，求 解：（1）(2)17 设，确定，求。解：（1）(2)18 设，求 解：（1）变形，（2） 19 设由方程所确定，其中F可导，且，求解：（1）（2）当时，（3） 20已知，求解：（1）四、证明题（本题8分）21证明抛物线任一点处的切线所截两坐标轴的截距之和等于。证：（1）求切线方程：设切点坐标为，故有切线方程：（2）求截距：令，解得令，解得（3）证明两截距之和为（即）+证毕五、综合题（每小题10分，共30分）22若曲线与在点相切，求常数。解：（1）求两曲线的斜率在上，在上，2

9、）求之值：依题意，两曲线在点相切，又点在曲线上23设单调，且二阶可导，求及解：（1）（2）=24设，求解：（1） 选做题1设可导，且，求解：（1）(2)（3）2设有任意阶导数，且，求解：3设可导且，证明解：（1）当时（2）当时：（3）综上所述： 第四讲：微分中值定理与导数的应用的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1、已知，则有 （B）A一个实根 B两个实根 C 三个实根 D无实根 解：（1）在满足罗尔定理条件故有（）综上所述，少有两个实根，至多有两个根，故选 2下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是 （D）ABCD解：，满足罗尔定理条件故选 D3设曲线，则其拐点坐标为（C）A0

10、B（0，1）C（0，0）D1解：令得当时，故（0，0）为曲线的拐点 C4若内必有（C）ABCD解：凹弧如示意图，故有5设 在取得极值。则为（）A BC D解： 得得答案选6下列命题中正确的是-（B）A 为极值点，则必有B 若在点 处可导，且 为 的极值点，则必有C 若在（）有极大值也有极小值则极大值必大于极小值。D 若则点必有的极值点。解：可导函数的极值点一定是驻点，故有=0 选B二、填空题（每小题4分，共24分）7设可导，且的极小值。则解：原式=8的单调增加区间为解：（1）定义域（2）当0<x<e 时。 故的单调增区间为（0，e）9的极小值是解：（1）（2）令，驻点是不可导点x1

11、+_+单调增单调减极小单调增（3）极小值10的最大值为 1 解：（1）是的不可导点。（2）（3）最大值为11曲线的水平渐进线为解：直线是曲线的一条水平渐进线12函数在1，2满足拉格朗日中值定理条件的解：（1）=（2） 三、计算题（每小题8分，共64分） 13.已知在区间满足拉格朗日中值定理条件，求解： ，14求函数的单调区间与极值。解：（）驻点，的不可导点（2）x-10+-+极大极小（3）极大值 ，极小值， 在单调减在单调增15 求由方程所确定 的极值。解：（1）求驻点：令驻点（2）判别极值点当时 代入上式2+0+0+0+=为极大值点，（3）极大值16求在区间，4上的最大值，最小值。解：（ 1

12、）令， 为不可导点 （2）（3）比较上述函数的大小最小值为 ，最大值为 0 17求曲线的凹凸区间与拐点。解：（1）定义域（-，+）（2） 令得； 不存在的点为（3）列表（-，00（0，-1）1（1，+）+凹拐点凸拐点凹答：拐点（0，）及（1，）；，为凹区间，（0，1）为凸区间。18求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。解：（1）是曲线的一条水平渐近线。（2）是曲线的另一条水平渐近线（3）为曲线的一条垂直渐近线19判别函数在的单调性。解：（1）（）令且（3）在单调减。20设确定单调的区间。解：（1）故有为驻点 （2）当时，时， （3）除外，在单调增加。四、综合题（每小题10分，共分）21 已知函数的图

13、形上有一拐点（2，4），在拐点处曲线的切线斜率为，而且该函数满足，求此函数解（1）已知；（2）求常数，（3）求：， 由（4）求函数y:答：所求函数y=22 利用导数描绘的图形解：（1）定义域，非奇非偶函数（2）求驻点和的点，令，驻点，令，得（3）列表x1(1,2)2+_+y极大拐点极大值，拐点（4）渐近线与函数变化趋势是曲线的一条水平渐进线，（5）描点作图当时五、证明题（每小题9分，共18分）23 设存在且单调增加，证明当时单调增加证明：1）令当时，单调增加故有单调增加24 设证明，证明：1）构造辅助函数：（2）且由罗尔定理知 选做题证明方程：恰有一实根，其中常数，且证明：（1）令单调增且(4

14、)综上所述：有且仅有一个实根第六讲:利用导数证明不等式及导数应用题的练习题答案一、证明不等式1当时,证明成立.证：(1)变形:,这是对数函数的增量形式令(2)在应用拉格朗日中值定理: (3)故有 证毕！ 2证明:成立证：(1)构造辅助函数,令 (2)在应用拉格朗日定理:(3) 对于 的情形,同理可证. 证毕3证明:当时,有成立.证：(1) 构造辅助函数：令(2) 在应用拉格朗日中值定理, (3) 是单调增函数，故有,证毕4当时,证明成立.证：(1)令(2) 在单调减少(3) 在单调减少,且故当时, 证毕5当时,证明成立.证：(1)变形,令(2)令且从而在单调减少(3)且=0即有成立6当时,证明

15、成立.证：(1)变形，令(2)(一阶导数符号不易判定,借助)=单调增，且单调增加(3)在单调增,且,故有证毕7当时,证明:成立.解：(1)令 (2)令,驻点(3) ，为极小值点.由单峰原理,是最小值点最小值故有,即证毕8设,证明成立.证：(1)令(2)驻点(3)(4)比较上述函数值的大小:故有,即证毕9证明:当时,有.证：(1)令(2),在单调增加 (3) 由,得从而有 证毕二、证明方程根的个数10证明:当时,方程仅有一个实根. 证：(1)令单调增,故最多有一个实根(2)是一元五次方程至少有一个实根(3)综上所述:有且只有一个实根. 证毕11证明方程只有一个正根.证(1) 单调增故最多有一实根

16、(2)在连续且由零点定理知:至少有一个正根.（3）综上所述:只有一个正根12证明方程:有且仅有两个实根.解：(1)令在连续且由零点定理知:在至少有一个实根同理:=0在至少有一实根总之, =0在至少有两个实根(2) =0是一元二次方程,最多有两个实根()综上所述：=0有且仅有两个实根13设常数证明方程,在内有且仅有两个正根.证：(1)令 (x>0)(2) ;令驻点<0,为极大值点.由单峰原理:是最大值点最大值且, 故与轴有且仅有两个交点 (如示意图) 即在有且只有两个实根.三、 应用题（每小题10分，共50分）14已知曲线.（1）求曲线在横坐标为的点处的切线方程.（2）求曲线的切线被

17、两坐标轴所截线段的最短长度.解：(1)求切线方程:切点切线方程:即(2)令令(3)令(4)最小值15在半径为R的半径内作一个圆柱体,求最大体积时的底半径与高.解：(1)画出示意图 (2)依题意,设所求圆柱体体积为V(3)求驻点,令,驻点（4）求最值点:,为最大值点答:当,时,所得圆柱体体积最大16某客轮每小时消耗燃料的费用速度的立方正比,若该客轮从甲城到已城沿江逆流而上,设水流速度为每小时公里,求客轮最经济的速度?解：(1)列出函数关系式:设从甲城沿江到乙城的路程为.消耗总费用为.依题意:,其中是甲城到乙城所需要的时间(2)求驻点: 令,驻点(3)求最值:由实际问题的意义知道:最小值存在,且驻

18、点唯一,当时,客轮消耗燃料总费用最省.17欲做一个容积是3000的无盖圆柱形的蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面积的3倍,问蓄水池的尺寸怎样设计,才能使总造价最低?解：(1)列出函数关系式:设池底半径为,池高为,池壁单位面积造价为元,总造价为,依题意:(2) 求驻点:令,驻点(3) 求最值:,当时,总造价最省.(4) 当时,答:当时,总造价最低.18从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形,把留下的中心角为取多大时,做成的漏斗的容积最大? 解：(1)列出函数关系式:设漏斗体积为V依题意:, ,(2) 求驻点令=0.,驻点又(3) 求最值由实际问题意义知道:漏斗最大容积存在,且驻点唯一,当时,

19、漏斗的容积最大.第六讲:不定积分的概念与换元积分法的练习题答案一、单项选择题(每小题4分,共24分)1设是在上的一个原函数,且为奇函数,则是 ( )A 偶函数 B 奇函数C 非奇非偶函数 D不能确定解:可导奇函数的导函数必为偶函数.必为偶函数.选A2已知的一个原函数为,的一个原函数为,则的一个原函数为 ( )A B C D 解:(1),(2) 选B3设为连续导函数,则下列命题正确的是 ( )A B C D 解:选A 4设且 ,则=( )A B C D 解：(1) (2)且得,选A5设是的一个原函数,则 ( )A BC D 解：(1)原式=(2)(3) 原式= 选D6设,则=( )A B C D 解：(1)(2)(3)原式= 选C二、填空题7若是的一个原函数,则 = 解：(1)(2) 8设的一个原函数为 ,则 解：故 9若,则= 解： 原式=10 解：原式=或11若,则 解：原式=12若,则 解：三、计算题13 解:原式=14 解:原式=15 解:原式= 16 解:原式=17 解:原式=18 解:令原式=19解:令原式=20 解