“匀速圆周运动”的典型例题

1、“匀速圆周运动”的典型例题【例1】如图所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动.A、B、C三轮的半径大小的关系是RA=RC=2RB .当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边 缘的向心加速度大小之比分别为多少？【分析】皮带不打滑，表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮带移动的距离相等，也就是说，用皮带直接相连的两轮边缘各处的线速度大小相等.根据这个特点，结合线速度、角速度、向心加速度的公式即可得解.【解】由于皮带不打滑，因此，B、C两轮边缘线速度大小相等，设vB=vC=v .由v= 3 R得两轮角速度大小的关系3 B : 3 C=RC : RB=2 : 1 .因A、B

2、两轮同轴转动，角速度相等，即3 a=3 B,所以A、B、C三轮角速度之比3 A : 3 B : 3 C=2 : 2 : 1 .因A轮边缘的线速度vA= 3 ARA=2 3 BRB=2vB ,所以A、B、C三轮边缘线速度之比vA : vB : vC=2 : 1 : 1 .根据向心加速度公式 a=3 2R，所以A、B、C三轮边缘向心加速度之比%：唧牝二:吧：叱氐=8 : 4 : 2=4 : 2 : 1 .【例2】一圆盘可绕一通过圆盘中心 0且垂直于盘面的竖直轴转动在圆盘上放置一木块, 当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动（见图），那么A .木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心B .木块受到圆

3、盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心C.因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相 同D 因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方 向相反E.因为二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力【分析】由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动，时刻存在着一个沿半径指向圆心的向心加速度，因此，它必然会受到一个沿半径指向中心、产生向心加速度的力一一向心力.以木块为研究对象进行受力分析：在竖直方向受到重力和盘面的支持力，它处于力平衡状 态在盘面方向，可能受到的力只有来自盘面的摩擦力（静摩擦力），木块正是依靠盘面的 摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转

4、动所以，这个摩擦力的方向必沿半径指向中心【答】B.【说明】常有些同学认为，静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反，木块随圆盘一起匀速转动时，时时有沿切线方向飞出的趋势，因此静摩擦力的方向应与木块的这种运动趋势方向相反，似乎应该选D.这是一种极普遍的错误认识，其原因是忘记了研究运动时所相对的参照系.通常说做圆运动的物体有沿线速度方向飞出的趋势，是指以地球为参照系而言的.而静摩擦力的方向总是跟相对运动趋势的方向相反，应该是指相互接触的两个相关物体来说的，即是对盘面参照系. 也就是说，对站在盘上跟盘一起转动的观察者，木块时刻有 沿半径向外滑出的趋势，所以，木块受到盘面的摩擦力方向应该沿半径指向

5、中心【例3】在一个水平转台上放有 A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同.A的质量为2m, B、C各为m. A、B离转轴均为r, C为2r .则A .若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大B .若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小C.当转台转速增加时，C最先发生滑动D 当转台转速继续增加时，A比B先滑动【分析】A、 B、 C三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为3 .根据向心加速度的公式an=3 2r，已知rA=rB vrC,所以三物体向心加速度的大小关系为 aA=aB v aC.A错.三物体随转台一起转动

6、时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f =Fn=m 3 2r，所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为fA=mA 3 2rA=2m 3 2r,fB=mB 3 2rB=m 3 2r,fC=mc 3 2rc =m 3 2 2r=2m 3 2r.即物体B所受静摩擦力最小.B正确.由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为卩，静摩擦力的最大值可认为是 fm=mg .由fm=Fn , 即即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小.由于rC rA=rB，所以当转台的转速逐渐增加时，物体C最先发生滑动.转速继续增加时,物体A、B将同时发生滑动.C正确，D错.【答】B、C.【例4】如

7、图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距L0=0.1m .长L=1m的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为 500g的小球.小球的初始位置在 AB连线上A的 一侧.把细线拉直，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动.由于钉子B的存在，使细线逐步缠在 A、B 上.盘B若细线能承受的最大张力 Tm=7N，则从开始运动到细线断裂历时多长？【分析】小球转动时，由于细线逐步绕在 A、B两钉上，小球的转动半径会逐渐变小，但小 球转动的线速度大小保持不变.【解】小球交替地绕A、B作匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张 力T不断增大，每转半圈的时间 t不断减小.在

8、第一个半圆内= mV在第二个半圆內在笫三个半圆内E卄_ (L-2L0)L - 2L0 T 3v在第口个半圆内7；L-(n-l)L0令Tn=Tm=7N，得n=8,所以经历的时间为=nL-l + 2 + 3+- + (n-1) L。,vnL -vn(n - 1)2314X8Xi-St8lj XQ1S,【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性.通过对运动规律的研究， 用递推法则写出解答结果的通式（一般表达式）有很重要的意义对本题，还应该熟练掌握数列求和方法.如果题中的细线始终不会断裂，有兴趣的同学还可计算一下， 从小球开始运动到细线完全绕在A、B两钉子上，共需多少时间？【例5】如图（a）所示，在光滑的

9、圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为 m的小球，圆锥顶角为2B,当圆锥和球一起以角速度3匀速转动时，球压紧锥面.此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？團3【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零。由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答。y图【解】对小球进行受力分析如图（b）所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有T sin 0 -N cos 0 =m 3 2r y方向上应有N sin 0 +T cos 0 -G=0 / r = L sin 0 由、式可得T = mgcos 0 +m 3 2Lsin 0当小球

10、刚好离开锥面时 N=0 （临界条件）则有 Tsin 0 =m 3 2r T cos 0 -G=0 由（4）、（Q式可得总爲即小球的角速度至少为Leos 8【说明】 本题是属于二维的牛顿第二定律问题，解题时，一般可以物体为坐标原点，建立 xoy直角坐标，然后沿 x轴和y轴两个方向，列出牛顿第二定律的方程，其中一个方程是向 心力和向心加速度的关系，最后解联立方程即可。【例6】杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯 子在竖直面上做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如下图所示，这是为什么？【分析】水和杯子一起在竖直面内做圆周运动，需要提供一个向心力。当水杯在最

11、低点时， 水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供，当水杯在最高点时，水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力共同提供。只要做圆周运动的速度足够快，所需向心力足够大， 水杯在最高点时，水就不会流下来。【解】以杯中之水为研究对象，进行受力分析，根据牛顿第二定律可知：= m *斗，此时重力G与N的合力充当了向心九即F嚴=G + N+y由上式可知vL Nl ,当N=0时，破有最小值为極- 即若使水不掉下来，则水杯在最高点的速度鞭必须大于極.【例7】如下图所示，自行车和人的总质量为M，在一水平地面运动.若自行车以速度v转过半径为R的弯道.（1）求自行车的倾角应多大？（2）自行车所受的地面的摩擦力多大？【分

12、析】骑车拐弯时不摔倒必须将身体向内侧倾斜.从图中可知，当骑车人拐弯而使身体偏离竖直方向a角时，从而使静摩擦力 f与地面支持力N的合力Q通过共同的质心 0,合力 Q与重力的合力F是维持自行车作匀速圆周运动所需要的向心力.【解】(1)由图可知，向心力 F=Mgtg a，由牛顿第二定律有:(2)由图可知，向心力F可看做合力Q在水平方向的分力， 而Q又是水平方向的静摩擦力 f和支持力N的合力，所以静摩擦力 f在数值上就等于向心力 F，即f = Mgtg aw【例8】用长L1=4m和长为L2=3m的两根细线，拴一质量m=2kg的小球A, L1和L2的另两端点分别系在一竖直杆的01 , 02 处，已知 O

13、1O2=5m 如下图(g= 10m s-2)(1)当竖直杆以的角速度3匀速转动时，02A线刚好伸直且不受拉力. 求此时角速度 3 1.(2)当01A线所受力为100N时，求此时的角速度 3 2.【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供，当小球的运动速度不同时, 所受拉力就不同。【解】(1)当02A线刚伸直而不受力时，受力如图所示。则 Ficos0 =mg F1sin 0 =mR w 12 由式（2）解得由几何知识知/ R=2.4m 0 =37代入式 w 1=1.77 （rad/s）（2）当O1A受力为100N时，由（1）式Ficos 0 =100 X 0.8=80 （ N） mg

14、由此知O2A受拉力F2。则对A受力分析得F1cos 0 -F2sin 0 -mg=0 F1sin 0 +F2cos 0 = mR w 22 由式（4）（ 5）得Fj cosa B - mg cos S 十酉 sin 9mR100X0,64-20X 0.8 +100X0.622.4474(rad I s)【说明】向心力是一种效果力，在本题中O2A受力与否决定于物体 A做圆周运动时角速度的临界值在这种题目中找好临界值是关键.例9一辆实验小车可沿水平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动，有一台发出细 光束的激光器装在小转台M上，到轨道的距离 MN为d=10m，如图所示。转台匀速转动，使激光束在水

15、平面内扫描，扫描一周的时间为T=60s，光束转动方向如图箭头所示。当光束与MN的夹角为45。时，光束正好射到小车上，如果再经过t=2.5s光束又射到小车上，则小车的速度为多少？（结果保留二位数字）JNfj分析激光器扫描一周的时间T=60s，那么光束在 t=2.5s时间内转过的角度= 15激光束在竖直平面内的匀速转动，但在水平方向上光点的扫描速度是变化的，这个速度是沿经向方向速度与沿切向方向速度的合速度。当小车正向N点接近时，在 t内光束与MN的夹角由45变为30cos 9cos2 0随着0减小，v扫在减小若45时，光照在小车上，此时 v扫v车时，此后光点将照到 车前但v扫J v车不变，当v车

16、v扫时，它们的距离在缩小。解在厶t内，光束转过角度半 x 360=佇如图，有两种可能(1 )光束照射小车时，小车正在接近N点， t内光束与MN的夹角从45变为30,小车走过L1，速度应为由图可知L1=d(tg45 - tg30 )由、两式并代入数值，得v1=1.7m/s (2)光束照到小车时，小车正在远离N点， t内光束与MN的夹角从45为60,小车走过L2速度为巾邊 由图可知L2=d(tg60 - tg45 )由、两代并代入数值，得v2=2.9m/s说明光点在水平方向的扫描速度是变化的，它是沿经向速度和切向速度的合速度。很多人 把它理解为切向速度的分速度，即= r * ex =q- cos

17、B = d唧cos f则扫描速度不变化， 就谈不上与小车的“追赶”了，将不可能发生经过一段时间，再照射小车的问题。这一点速度的合成与分解应理解正确。另外光束与MN的夹角为45时，光束正好射到小车上有两种情况(见分析)要考虑周全， 不要丢解。例10图所示为测量子弹速度的装置，一根水平转轴的端部焊接一个半径为R的薄壁圆筒(图为其横截面)，转轴的转速是每分钟n转，一颗子弹沿圆筒的水平直径由A点射入圆筒，在圆筒转过不到半圆时从B点穿出，假设子弹穿壁时速度大小不变，并在飞行中保持水平方向，测量出 A、B两点间的孤长为L,写出子弹速度的表达式。分析子弹穿过筒壁，子弹与筒壁发生相互作用，既影响筒的转速，又影响子弹飞行速度， 因为这种影响忽略不讲，所以测出的子弹速度是近似值，子弹穿过圆筒的时间，可从圆筒的转速和转过的角度求