推理与证明原(家教,培训机构,教案)

1、 个性化辅导教案学科：数学 任课教师：杨老师 授课时间：2013年 03月24日（星期日） 8:0010:00姓名徐柏林年级：高二教学课题推理与证明阶段 基础（ ） 提高（） 强化（ ）课时计划第（2）次课，共（）次课教学目标知识点：合情推理、演绎推理、合情推理与演绎推理的区别与联系、直接证明、间接证明、数学归纳法 重点：合情推理、演绎推理、间接证明、数学归纳法 综合能力：知识迁移能力、逻辑推理、类比思想、理解和记忆、灵活运用所学知识解决问题教学方法教法：启发式教学、合作探索、讲练结合法辅助教具：演算纸、笔课前检查作业完成情况：优 良 中 差 建议_1、 课前小测3.(09·浙江)

2、观察下列等式：， ，由以上等式推测到一个一般的结论：对于，.8椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2，点P为椭圆上任意一点，F1PF2=，则S=b2·tan ，类比椭圆的这个性质，双曲线 - =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，点P为双曲线上任意一点，且F1PF2=，则S=_2、 知识点总结知识点一：合情推理1.归纳推理归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理归纳推理的一般步骤：通过观察一系列情形发现某些相同的性质；从已知的相同的性质中推出一般性命题2.类比推理类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性

3、或一致性； 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论 知识点二：演绎推理是一种由一般到特殊的推理过程，是一种必然性推理推理是演绎推理的一般模式是“三段论”：大前提已知的一般性推理，即是；小前提所研究的特殊情况，即是；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断，即是用集合的知识可以理解为：若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所 有元素都具有性质知识点三：合情推理与演绎推理的区别与联系1.区别从定义上看，合情推理与演绎推理的区别是结论是否为真合情推理的结论可能为真，但演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，其结论必定为真从推理形式上看，合情推理是由特殊到一般（归纳推理），或由

4、特殊到特殊（类比推理）的认识过程，而演绎推理是由一般到特殊的认识过程2.联系二者相辅相成，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理用）知识点四：直接证明 1.综合法(1) 综合法的思维步骤为：其中表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，表示所要证明的结论.(2) 综合法的特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”即“由因导果”. 2.分析法(1) 分析法的思维步骤为：其中用表示要证明的结论.(2) 分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢已知，即“执果索因.知识点五：间接证明 反证法(1)反证法的主要步骤：反设；归谬；判断；结论(2)反

5、证法导出的矛盾主要有：与假设矛盾；与数学公理、定理、定义、公式或与已被证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾知识点六：数学归纳法用数学归纳法证明命题的步骤：(1)验证n取第一值时命题成立；(2)假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立；(3)结论.3、 经典例解题型一：类比推理例2-1 已知O是ABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长交对边于A，B，C，则+=1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”.+=+=1.请运用类比思想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明.【解析】结论：在四面体VBCD内任取一点O，连结VO、DO、BO、CO并延长，分别交四

6、个面于E、F、G、H点，则+=1.证：在四面体OBCD与VBCD中，=.同理，有=；=；=.+=1. 【点拨】本题考查二维平面到三维空间的类比推理，解答时不能只满足结论形式上的相似，必须保证结论的正确性.本题只需从计算平面面积着眼，从计算空间体着手，将面类比线、体类比面即可、体积类比面积即可.（6）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2.若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足关系_解析：S2BCD= S2ABC+ S2ACD+ S2ADB；注意形式上的类

7、比与思想方法上的类比（7）已知命题：若数列an为等差数列，且am=a，an=b(mn,m,nN*)，则am+n= 现已知数列bn(bn>0,nN*)为等比数列，且bm=a,bn=b(mn,m,nN*)，若类比上述结论，则可得到bm+n=_ 解析：设an公差为d，则d= = ，am+n=am+nd=a+n· = 类比此推导方法易知：设bn公比为q，由知，故应填（8）在等差数列an中，若a10=0，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a (nN*)成立，类比上述性质，相应地在等比数列bn中，若b9=1，则有等式_成立解析：b1b2bn=b1b2b，用一般到特殊的思考方法。a1+a

8、2+an=a1+a2+a不好理解,不妨假定,n=18，这时上面的等式变为:a2+a3+a17+a18=0，a2+a18=a3+a17=a9+a11=2a10=0，可以看出题目条件中给出的等式是等差中项的变形,这是问题的实质若给出a9=0,可以引出a1+a17=a2+a16=a3+a15=a8+a10=2a9=0那么应有下面的等式:a1+a2+an=a1+a2+a类比等比数列:b9=1,b1·b17=b2·b16=b8·b10=b92=1b1·b2bn=b1·b2b(n<17,nN*) （9）过双曲线的右焦点F(c,0)的直线交双曲线于M、

9、N两点,交y轴于P点，设=,=,则有+为定值；类比双曲线这一结论，在椭圆中，设=，=，则有+为定值_ 解析：- ；可以用特殊值法，取x轴，得到定值，再证明即可（10）函数y=sinx (0<x<)所对应的曲线为“凸曲线”,此类函数具有性质为：f()；类比此性质，设角A,B,C是ABC的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值为_解析：本组题主要是数学中“升降维”的思想.从二元推广为三元，得f()， 所以sinA+sinB+sinC3sin = 【变式】设等差数列的前项和为，则，成等差数列类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，_，_，成等比数列【解析】题型二：归纳推理例2

10、-2 观察下列等式：可以推测，当， ， .【解析】.【点拨】本题以正整数的幂的和为载体考查归纳推理.解答本题的突破口是观察ak-1、ak-2随k的变化而变化的规律，只需对k的前几项的取值进行观察就不难发现规律猜测出结论.【变式】在数列an中，a1=1，an+1=，nN*.猜想这个数列的通项公式，并证明.【解析】在an中，a1=1，a2=，a3=，a4=，.猜想an的通项公式an=.证明:因为a1=1，an+1=，所以=+，即-=.所以数列是以=1为首项，为公差的等差数列，所以=1+(n-1)= n+，即an=.题型三：反证法例2-3已知，求证：不能同时大于.【解析】证法一：假设三式同时大于，即

11、，.，三式同向相乘得.又，同理，.与假设矛盾，故原命题得证.证法二：假设三式同时大于.，同理 三式相加得，矛盾.故假设错误，原命题正确【点拨】本题以证明不等式为载体考查反证法.“不能同时大于”包含多种情形，不易直接证明，考虑反证法，即“正难则反”.遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少等题型时，常考虑有反证法.求证：和中至少有一个小于2证明：假设和都不小于2，即2，2，则1+y2x，1+x2y，(1+y)+(1+x)2x+2yx+y2这与已知x+y>2矛盾，故假设不成立因此，原命题成立题型四：数学归纳法例2-4已知数列an,an0,前n项和.(1)求a1，a2，a3的值；(2)猜想出通项

12、an,并证明.【解析】(1)由已知得a11,.(2)猜想(n N*).证:当n1时,由(1)问知命题成立.假设nk时命题成立，即，那么当n=k+1时，得.代入假设，得，即.ak+10，.即nk+1时也成立.综合，对任意n N*都成立.【点拨】本题以求数列的通项公式为载体考查数学归纳法.用数学归纳法证明与n有关的命题时，先验证n取第一个允许值时结论成立，在此基础上假设n取k（kn）时结论成立，只需证明n=k+1时结论成立即可，但此时必须应用归纳假设.欲证通项公式为，只需将已知条件转化为ak与ak+1的关系，然后用归纳假设即可得证.【变式】已知，nN*.试比较与的大小，并且说明理由.【解析】，而，

13、与的大小等价于2n与n2的大小.当n1时，2112；当n2时；2222；当n3时，2332；当n4时，2442；当n5时，2552.猜想当n5时，2nn2.以下用数学归纳法证明：当n5时，由上可知不等式成立.假设nk(k5)时不等式成立，即2kk2，则当nk+1时，2k+12·2k2k2.又2k2-(k+1)2(k-1)2-20(k5)，即2k+1(k+1)2.nk+1时不等式成立.综合对n5，nN*不等式2nn2成立.当n1或n5时，；当n3时，；当n2或4时，.【规律总结】1. “合情推理”是一种重要的归纳，主要从已知条件归纳出一个结论，可以是形式上的归纳，也可以是数学性质的归纳

14、；演绎推理则是逻辑思维能力的一个重要体现.2.直接证明中，常把综合法和分析法结合起来使用，根据结论的特点用分析法探求证明思路、转化条件，用综合法书写表述证明过程.3. “数学归纳法”仅限于与自然数有关的命题，它是一个递推的数学论证方法.运用数学归纳法证明问题，关键是nk1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题.三、课内练习一、选择题1.在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形，则第个三角形数为( ) 1 3 6 1

15、0 15 A.n B. C. D.2.在平面几何里有勾股定理：“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可得（ ）A.AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 B.C. D.AB2×AC2×AD2=BC2 ×CD2 ×BD23.观察下表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10设第n行的各数之和为Sn,则等于( )A.2 B.3 C.4 D.54.广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市

16、之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以A为起点，E为终点，每个城市只经过一次，则火炬传递的最短路线距离是( )ABCDEA05456B50762C47098.6D56905E628.650A.20.6 B.21 C.22 D.23二、填空题5.若数列 (nN)是等差数列，则有数列b=(nN)也是等差数列.类比上述性质，相应地：若数列c是等比数列，且c0(nN)，则有d=_ (nN)也是等比数列.6.在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第三2、3、4、堆最底层（第一层）分别按下图方式固定摆放，从第二层开始每层小球的小球自然垒放在下一层之上，第堆的第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则=_；=_（用表示）. 7. 若，则=_.三、解答题8. 若x