一题多解 工程应用题.doc

1、一题多解 工程应用题一题多解 工程应用题 例 例 1 一项工程，甲队单独做完要 2 12 天，乙队单独做完要 10天，两队合做多少天就可以完成？ 【分析p 1 1 】把这项工程看作整体“1 1 ”，甲每天完成工程的121，乙队每天完成工程的，甲乙合做每天完成工程的 121+ ，工程“1 1 ”里包含几个 121 + ，就是两队合做完成这个工程的天数.【解法 1 1 】两队合做 1 1 天完成的工程？ 121+ + = =6011 两队合做多少天完成这项工程？ 1 1 ÷6011= =1160天 综合算式：1 1 ÷121+ + =1 &div

2、ide;6011= =1160天.【分析p 2 2 】用最小公倍 数 解法.因为 2 12 和 和 0 10 的最小公倍数是 是 60为 ，所以可假设这项工程为 60.为 那么甲队工作效率为 60 ÷12=5 ，乙队工作效率为 60 ÷ 10=6 ，甲乙合做效率为 5+6=11.用总工作量 0 60 除以甲乙效率和 11 ，即得两队合做完成这个工程的天数.【解法 2 2 】假设这项工程总工作量为 60.60 ÷ 60 ÷ 12+60 ÷ 10 =60 ÷ 5+6

3、=60 ÷ 11= =1160天.【分析p 3 3 】甲队 2 12 天的工作量，乙队 0 10 天即可完成，所以乙队 1 1 天的工作量，甲队要用 12 ÷ 10 天完时，即 1 12 .2 天。那么甲乙两队合做 1 1 天的工作量，甲队要用 1 1 1.2 天.所以乙队 队 0 10 天完成的这项工程，两队合做要用 12 ÷ 1 1 1.2 = = 天.【解法 3 3 】 12 ÷ 1+12 ÷ 10 =12 ÷ 1+ 1.2 =12 ÷

4、 2.2= =1160天.答：两队合做1160天就可以完成.【评注】解法 1 1 是工程应用题的一般解法，易于理解.是较好的解法。解法 2 2 是利用求公倍数法解工程应用题，这种解法其实是假设解法，读者可根据实际情况选择恰当的数假设为总工程量.例 例 2 一列货车与一列客车同时从甲、乙两站相对开出，经过 过 9 9 小时相遇，相遇后两车都继续以原速前进。货车又行了6 6 小时到达乙站，问客车行完全程需要几小时？ 【分析p 1 1 】把甲乙两站全程看作标准“1 1 ”.两车同行 1 1 小时行完全程的91，货车 1 1 小时可行全程的151，即.那么客车 1 1 小时可行全程的 91151.全程

5、“1 1 ”里包含着多少个 91151 ，就是客车行全程需要多少小时.【解法 1 1 】 1 1 ÷91151 =1 ÷452= = 22.5 小时.【分析p 2 2 】货车行全程需 9+6=15 小时，9 9 和 和 5 15 的最小公倍数是 45 ，所以两站全程可假设为 45 ，那么两车同时行 1 1 小时可行 45 ÷ 9=5 ，货车 1 1 小时可行 45 ÷ 15=3 ，所以客车每小时可行5 5- - 3=2.甲乙两站全程 5 45 内包含多少个 2 2 ，就是客车行全程需要多少小时.【解法 2

6、2 】假设甲乙两站全程为 45.45 ÷ 45 ÷9 9- - 45 ÷ 9+6 =45 ÷ 45 ÷9 9- - 45 ÷ 15 =45 ÷ 5- - 3= 22.5 小时.【分析p 3 3 】两车 9 9 小时行完的路程，货车要用 5 9+6=15 小时行完.而客车 9 9 ， 小时行完的路程， 货车只需 6 6 小时行完.那么货车1 1 小时行完的路程 客车需要 9 9 ÷5 6=1.5 小时。所以货车 5 15

7、小时的行程，客车需要 1.5 _ 15=22.5 小时.【解法 3 3 】 9 9 ÷6 6 _ 9+6 =9 ÷6 6 _ 15 =1.5 _ 15=22.5 小时.【分析p 4 4 】两车同时行全程需 9 9 小时，货车行全程需要 9+6=15小时，那么客车行 9 9 小时恰好行完全程的 6 6 ÷9 9 6 6 ，所的 以客车每小时行全程的 6 6 ÷9 9 6 6 ÷ 9=.由此可求客车行全程的时间.【解法 4 4 】 1 1 ÷ 6 6 &div

8、ide;9 9 6 6 ÷9 9 =1 ÷ 6 6 ÷ 15 ÷9 9 =1 ÷452= = 22.5 小时.【分析p 5 5 】把客车行完全程需要的时间看作“1 1 ”.货车行全程需 9+6=15 小时，而货车 6 6 小时的行程和客车 9 9 小时的行程恰好一样，由此可求出客车 9 9 小时行全程的 6 6 ÷9 9 6 6 ，即 9 9小时的对应分率，由此可求客车行全程的时间.【解法 5 5 】 9 9 ÷ 6 6 &divid

9、e; 9 9 6 6 =9 ÷ 6 6 ÷ 15 =9 ÷ 0.4= = 22.5 小时.答：客车行完全程需要 5 22.5 小时.【评注】比拟以上五种解法，解法 1 1 是工程应用题的一般解法，思路简明明晰 ，易于理解和掌握；解法 5 5 是运用分数除法应用题的解法，更有益于理解工程应用题，且运算简便，这两种解法是此题的较好解法.例 例 3 一件工作，甲乙合做 8 8 天可以完成，甲独做 2 12 天可以完成.做 如今甲乙合做假设干天后，余下的由乙继续做 3 3 天才完成.乙一共做了多少天？ 析 【分析p 1 1 】乙每天完成

10、这件工作的 1 1 ÷8 8 1 1 ÷ 12 ，那么乙 乙 3 3 天完成了这件工作的 1 1 ÷8 8 1 1 ÷ 12 _3 3 ，再求出甲乙合做的工作量 1 1 1 1 ÷8 8 1 1 ÷ 12 _3 3 里包含多少个 1 1 ÷8 8 ，就是甲乙合做了几天，即乙先做了几天.再加上余下 3 3 天即得乙共做多少天.【解法 1 1 】 1- - 1 1 ÷8 8 1 1 ÷ 12 _ 3 &

11、amp;divide; 1 1 ÷8 8 +3 =1- -241 _ 3 ÷81+3 =1- -81 ÷81+3 = =87÷81+3=10 天。【分析p 2 2 】根据“甲乙合做的工作量与乙独做完成工作量的和等于总工作量”这一等量关系列方程，先求乙 先做了几天，再加上 3 3 天即得乙共做了多少天.【解法 2 2 】设甲乙合做了 _ _ 天.81_ _ 81121 _3 3 =1 81_ =1- - 81121 _3 3 _=7 7+3=10 【分析p 3 3 】假设总工作量为 24 ，那么甲乙效率和是

12、24 ÷ 8=3 ，甲的效率是 24 ÷ 12=2 ，所以乙的效率是 3 3- - 2=1 ，它 3 3 天完成了 1 1 _ 3=3.因此，甲乙合做 24- -3 3 ÷ 3=7 天，即乙先做了 7 7 天，再加上 3 3 天即得乙共做的天数.【解法 3 3 】假设工作总量为 24.24- - 24 ÷8 8- - 24 ÷ 12 _ 3 ÷ 24 ÷8 8 +3 =24- - 3 3- -2 2 _3 3 ÷ 3+3

13、 =24- - 3 ÷ 3+3 =21 ÷ 3+3=10 天.【分析p 4 4 】假设甲乙合做了 5 5 天，那么比实际少完成 1 1- - 81 _5 5- - 81- -121 _ 3=41，甲乙继续合做还要用41÷81=2 天 。所以乙共做了 0 5+2+3=10 天.【解法 4 4 】假设甲乙合做了 5 5 天.1- -81 _5 5- - 81- -121 _ 3 ÷ +5+3 =1- -8581 ÷81+5+3 = =41÷81+5+3=10 天.答：

14、乙一共做了 0 10 天.【评注】解法 1 1 和解法 2 2 是较好的解法.解法 1 1 是工程应用题的一般解法，虽思路较繁，但容易想到.例 例 4 一项工程，甲、 乙两队合做 0 20 天完成.甲、乙两是 队工作效率的比是 4 4 5.甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天？ 【分析p 1 1 】甲乙两队的工作效率和是201，又知甲乙工作效率是 的比是 4 4 5 5 ，由此运用按比例分配的方法，分别求出甲、乙两队的工作效率.再用总工作量“1 1 ”分别除以甲乙的独做效率，即得甲乙独做全工程的天数.【解法 1 1 】甲队每天完成多少工程？ 201 _ 4 4 ÷4 4

15、5 5 451 乙队每天完成多少工程？ 201451361 甲队独做全工程需几天？ 1 1 ÷451=45 天 乙队独做全工程需几天？ 1 1 ÷361=36 天 ：综合算式：甲队：1 1 ÷201 _ 4 4 ÷4 4 5 5 =1 ÷4515 =45 天 乙队：1 1 ÷201451 =1 ÷361=36 天.【分析p 2 2 】因为“工作量÷工作效率= = 工作时间”，工作时间一定，所以工作量和工作效率成正比例.即

16、甲乙两队工作量的比是 是 4 4 5 5 ，所以甲 0 20 天完成了全工程的94，乙队 0 20 天完成了全工程的95.由此可分别求出甲、乙独做全工程 各需多少天.【解法 2 2 】甲队独做全工程需要多少天？ 20 ÷94=20 _49=45 天 乙队独做全工程需要多少天？ 20 ÷95=20 _59=36 天 【分析p 3 3 】由分析p 2 2 可知，甲乙完成工作量的比是 4 4 5.因为他们的工作效率一定，所以他们各自完成的工作量与所需的时间成正比例.由此可分别列比例式，求出两队的独做时间.【解法 法 3 3 】设甲队独做需 _ _ 天完.2

17、0 4=_ 4+5 4_=20 _9 9 _=20 _9 9 ÷4 4 _=45 设乙队独做全工程需要 y y 天.20 5=y 4+5 5y=20 _9 9 y=20 _9 9 ÷5 5 y=36 【评注】解法 1 1 是解工程应用题的一般方法，易于理解，但思路较曲折.解法 2 2 是运用分数除法应用题的方法来解的，思路简单明白，运算也较简便，是此题的 较好解法.解法 3 3 虽与解法2 2 的思路、方法都不同，但两者的数量关系是一样的.例 例 5 修一段公路，甲队单独修需要 6 16 小时完工.甲乙两队合修 4 4 小时后，剩下的由乙队又用 5

18、6.5 小时修完.这段公路全部由乙队修筑需要几小时完工？ 【分析p 1 1 】乙队先后共修了 4+ 6.5= =5 10.5 小时.先求乙队共修了这段路的几分之几，再求乙队的工作效率，最后看这段公路“1 1 ”里包含几个乙队的工作效率，即乙队独修需几小时.【解法 1 1 】乙队共修了全长的几分之几？1 1- -161 _ 4=43 乙队先后共修了几小时？ 4+ 6.5= = 10.5 小时 乙队每小时修全长的几分之几？43÷ 10.5 43÷221= =141 乙队独修全长需几小时？ 1 1 ÷141=14 小时 综合算式：1

19、1 ÷ 1 1- -161 _4 4 ÷ 4+ 6.5 =1 ÷ 1 1- -41÷ 10.5 =1 ÷ 43÷221 =1 ÷141=14 小时.【分析p 2 2 】把乙队独修全长需要的时间看作“1 1 ”.由分析p 1 1 可知，乙队先后共修了 4 4 6.5 小时，修了全长的 1 1- -161 _4 4 ，根据分数除法的意义求出乙队独修全长需要几小时.【解法 2 2 】 4 4+ + 6.5 ÷1 1- -161

20、 _4 4 = = 10.5 ÷43=14 小时.【分析p 3 3 】根据“甲队修路+ + 乙队修路= = 全路长”这一等量关系列方程解.【解法 3 3 】设乙队独修需 _ _ 小时完.161 _ 4+_1 _ 4+ 6.5 =1 _1 _ 4+ 6.5 =1- -41 _=1 ÷141 _=14 答：这段公路由乙队独修需 4 14 小时完工.【评注】比拟以上三种解法，解法 2 2 的思路最简捷，运算最简便，是此题的最正确解法.例 例 7 一项工程甲队单独做要 5 15 天才能完成，乙队单独做2 12 天才能完成，假如甲队先做 3 3 天后，剩余的工

21、作两队同时去做，还要多少天可以完成？ 【分析p 1 1 】先求出甲队先完成了工程的几分之几，那么即可求出剩下的工程， 再用剩下的工程除以甲、乙队的工作效率和，即得甲、乙队合做还要多少天完.【解法 1 1 】甲队先做了多少？ 1 1 ÷ 15 _ 3= 0.2 剩余的工作有多少？ 1 1- - 0.2= = 0.8 两队合做还要多少天完？ 0.8 ÷1 1 ÷ 15 1 1 ÷ 12 = =316天 综合算式：1 1- -1 1 ÷ 15 _3 3 ÷1 1 &am

22、p;divide; 15 1 1 ÷ 12 = = 1 1- - 0.2 ÷203= =54÷203= =316天.【分析p 2 2 】把两队合做全工程的时间看作“1 1 ”.先求出两队做全工程需要多少天，再求剩余的工程是全工程的几分之几，最后求出两队还要多少天完成.【解法 2 2 】甲乙合做全工程需要几天？ 1 1 ÷151121= =320天 两队要合做全工程的几分之几？ 1 1- -151 _3 3 54 两队还要多少天可以完成？ 320 _54= =316天 综合算式：1 1 &divide

23、;151121 _1 1- -151 _3 3 =1 ÷203 _54 = =316天.【分析p 3 3 】根据“甲队先做的工作量+ + 两队合做的工作量= = 工作总量”列方程解.【解法 3 3 】设两队还要 _ _ 天完成.151 _ 3+ 151121 _=1 _= 1 1- -51÷ 151121 _=316 【评注】以上三 种解法各有特点.解法 1 1 是一般解法，最容易想到，运算较简便，是较好的解法.解法 2 2 是分数应用题的解法，思路更直接.解法 3 3 是方程解法.读者可灵敏选用.例 例 8 仓库有 5 45 吨化肥，甲汽车单独运

24、0 10 小时完成，乙汽车单独运 5 15 小时完成.用甲乙两辆汽车同时运，多少小时可以运完？ 【分析p 1 1 】先求两车每小时各 运多少吨，再求两车每小时共运多少吨，最后用总吨数除以两车每小时运的，即得两车同运所需时间.【解法 1 1 】甲车每小时运多少吨？ 45 ÷ 10=4.5 吨 乙车每小时运多少吨？ 45 ÷ 15=3 吨 两车每小时运多少吨？ 4.5+3=7.5 吨 两车同时运需几小时运完？ 45 ÷ 7.5=6 小时 综合算式：45+ 45 ÷ 10+45 ÷ 15 =

25、45 ÷ 4.5+3 =45 ÷ 7.5 =6 小时。【分析p 2 2 】先求出两车每小时共运总吨数的几分之几？再求两车每小时共运多少吨，再看总吨数里包含几个这样的吨数，就是两队合运需几小时.【解法 2 2 】两车每小时运货的几分之几？15161 两车每小时运货多少吨？ 45 _61=7.5 吨 两车合运几小时完成？ 45 ÷ 7.5=6 小时 综合算式：45 ÷ 45 _151 =45 ÷ 45 ÷ =45 ÷ 7.5=6 小时.【分析p

26、3 3 】甲车每小时运化肥的，乙车每小时运化肥的151，两车每小时运化肥的15161.把化肥总吨数 看作“1 1 ”，“1 1 ”里包含几个61，就是两车同运几小时完成.【解法 3 3 】1 1 ÷151 =1 ÷61=6 小时.【分析p 4 4 】根据“甲车运肥+ + 乙车运肥= = 化肥总量”这一等量关系列方程解.【解法 4 4 】设两车同运 _ _ 小时完._+151_=1 151 _=1 _=1 ÷61 _=6 答：两车同时运 6 6 小时可以完成.【评注】比拟以上四种解法，解法 3 3 的思路最简捷，运算最简便，是此题

27、的最正确解法.例 例 9 甲乙两地相距 0 630 千米，客车和货车同时从两地出发，相向而行.客车行完全程需 4 14 小时，货车行完全程需 1 21 小时.两车相遇时各行了多少千米？ 【分析p 1 1 】先求客车和货车的速度各多少，再求两车的相遇时间，最后用两车的速度分别乘以相遇时间，即得每车各行多少千米.【解法 1 1 】客车每小时行多少千米？ 630 ÷ 14=45 千米 货车每小时行多少千米？ 630 ÷ 21=30 千米 两车几小时相遇？ 630 ÷ 45+30 = =4 8.4 小时 相遇时客车行多少千米？ 45 _

28、 8.4 =378 千米 相遇时货车行多少千米？ 30 _ 8.4 =252 千米 综合算式：客车：630 ÷ 14 _ 630 ÷ 630 ÷ 14+630 ÷ 21 =45 _ 630 ÷ 45+30 =45 _ 8.4 =378 千米 货车：630- - 378=252 千米 【分析p 2 2 】先求出甲车的速度，再运用工程应用题的解法求两车的相遇时间，然后用甲车速度乘以相遇时间即得甲车行多少千米.最后再求货车的行程.【解法 2 2 】客车每小时行多少千米？ 630 &d

29、ivide; 14=45 千米 两车几小时相遇？ 1 1 ÷( (141211)= 8.4 小时 客车行了多少千米？ 45 _ 8.4 =378 千米 货车行多少千米？ 630- - 378=252 千米 综合算式：客车： 630 ÷ 14 _ 1 ÷141211 =45 _ 1 ÷425=45 _ 8.4 =378 千米 货车：630- - 378=252 千米 析 【分析p 3 3 】 因为“路程÷速度= = 时间”，时间一定，所以客车和货车的路程比等于速度比即141211=3 2.由此可运用按比例分配的方法分别求出两车各行了多少千米.【解法 3 3 】客车与货车所行路程的比是 141211=3 2 2 客车行了多少千米？ 630 _ 3 3 ÷3 3 2 2 8 =378 千米 货车行了多少千米？ 630 _ 2 2 ÷3 3 2 2 =252 千米 【评注】比拟以上三种解法，解法