《图形面积的最大值》教案北师版九下

1、2.4二次函数的应用第 1 课时图形面积的最大值1能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值； (重点 )2通过建立二次函数的数学模型解决实际问题， 培养分析问题、 解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想(难点 )一、情境导入如图所示，要用长 20m 的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃， 怎么围才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为 xm，花圃的面积为 ym2，那么 yx(20 2x)试问：x 为何值时，才能使 y 的值最大？二、合作探究探究点一：二次函数y ax2 bxc 的最值已知二次函数y ax2

2、4x a 1的最小值为2，则 a 的值为 ()A 3B 1C 4D4 或 1y ax2 4x a 1解析： 二次函数有最小值2， a 0， y 最小值 4acb24a24a（ a 1） 4 2，整理，得a2 3a 44a0，解得a 1 或 4.a 0， a 4.故选C.方法总结： 求二次函数的最大 (小 )值有三种方法， 第一种是由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法变式训练：见学练优 本课时练习“课堂达标训练” 第 1 题探究点二： 利用二次函数求图形面积的最大值【类型一】 利用二次函数求矩形面积的最大值如图，在一面靠墙的空地上用长为 24 米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃

3、，设花圃的宽AB 为 x 米，面积为 S 平方米(1) 求 S 与 x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2) 当 x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3) 若墙的最大可用长度为 8 米，则求围成花圃的最大面积解析： (1)根据 AB 为 xm，则 BC 为 (24 4x)m，利用长方形的面积公式， 可求出关系式； (2)由 (1)可知 y 和 x 为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB 的长； (3)根据BC 的长度大于0 且小于等于8 列出不等式组求解即可解： (1) AB x， BC 24 4x， S AB·BC x(24

4、4x) 4x2 24x(0 x6)；22(2) S 4x 24x 4(x3) 36，24 4x 8，(3) 4x6.24 4x 0，第1页共4页所以，当 x4 时，花圃的面积最大，最大面积为 32 平方米方法总结： 根据已知条件列出二次函数式是解题的关键 但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 8 题【类型二】利用割补法求图形的最大面积在矩形ABCD 的各边AB， BC，CD ， DA 上分别选取点 E，F，G， H，使得 AE AH CF CG，如果 AB 60，BC 40，四边形 EFGH 的最大面积是 ()A1350 B1300 C1250

5、D 1200解析： 设 AE AH CFCG x，四边形 EFGH 的面积是 S.由题意得 BE DG 60 x，BF DH 40x，则 S AHE S CGF 1 22，S DGH S BEF1x(60x)(40 x)，所以2四边形 EFGH 的面积为 S60× 40x2(60 x)(40 x) 2x2 100x 2(x 25)21250(0 x 40)当 x 25 时，S 最大值 1250.故选 C.方法总结： 考查利用配方法求二次函数的最值，先配方，确定函数的对称轴，再与函数的自变量的取值范围结合即可求出四边形 EFGH 的面积最大值变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”

6、 第 7 题【类型三】动点问题中的最值问题EF DE，垂足为 E， EF 与线段 BA 交于点 F ，设 CE x， BF y.(1) 求 y 关于 x 的函数关系式；(2) 若 m 8，求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？12(3) 若 y m，要使 DEF为等腰三角形， m 的值应为多少？解析： (1)利用互余关系找角相等，证明 BEF CDE ，根据对应边的比相等求函数关系式； (2)把 m 的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；(3)DEF 90°，只有当 DE EF 时， DEF 为等腰三角形，把条件代入即可解： (1) EF DE， BEF 90°

7、 CED CDE.又 B C 90°，BFBEy8 xBEF CDE， CE CD，即 xm ，解得 y 8x x2；m(2) 由 (1)得 y 8x x2，将 m 8 代入， m得 y 1x2 x 1(x2 8x) 1(x 4)28882，所以当x 4 时， y 取得最大值为2；(3) DEF 90°，只有当 DE EF时， DEF 为等腰三角形， BEF CDE ， BE CD m，此时 m 8 x.解方2程 12 8x x ，得 x6，或 x 2.当 x 2 时，mmm6；当 x6 时， m 2.方法总结： 在解题过程中，要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函

8、数关系式，是解决问题的关键变式训练：见学练优 本课时练习“课后巩固提升”第 5 题【类型四】 图形运动过程中的最大面积问题如图，在矩形 ABCD 中，AB m(m是大于 0 的常数 )， BC 8，E 为线段 BC 上的动点 (不与B、C 重合 )连接DE，作第2页共4页如图，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰 PQR， PQ PR 5cm， QR 8cm，点 B、C、Q、R 在同一条直线 l 上，当 C、 Q 两点重合时，等腰 PQR 以 1cm/秒的速度沿直线 l 按箭头所示方向开始匀速运动， t 秒后正方形 ABCD 与等腰 PQR 重合部分的面积为Scm2.解答下列问题：(1)

9、当 t 3秒时，求 S 的值；(2)当 t 5秒时，求 S 的值；(3)当 5 秒 t 8 秒时，求 S 与 t 的函数关系式，并求出S 的最大值解析： 当 t 3 秒和 5 秒时，利用三角形相似求出重合部分的面积当5 秒 t8秒时，利用二次函数求出重合部分面积的最大值解： (1) 如图，作PE QR， E 为垂足 PQ PR， QE RE1QR 4cm.2在 Rt PEQ 中， PE52 423(cm) 当 t 3 秒时， QC 3cm.设 PQ 与 DC 交于点G. PEDC ， QCG QEP.SSQEP321×4×3 6， S(32× 6( ).SQEP2

10、)442728 (cm)；(2)如图，当 t 5 秒时， CR 3cm.设 PR 与 DC 交于 G，由 RCG REP，可求出 CG 9， SRCG 1× 3× 9 27(cm 2)又4248 S PQR 1× 8× 312(cm 2)， S SPQR 227692S RCG 12 8 8 (cm )；图 (3) 如图，当 5 秒 t 8 秒时， QBt 5，RC 8 t.设 PQ 交 AB 于点 H， PR 交CD 于点 G.由 QBH QEP， EQ 4， BQ EQ (t 5) 4， S BQH S PEQ (t 5)2232 4 ，又 SPEQ

11、6， S QBH (t5) .832由 RCG REP，同理得 S RCG8(8 t) ， S 123(t 5)2323239t8(8 t)t 484391714 13时， S 最大， S38 .当 t）22×（42的最大值 4ac b 1652)4a16 (cm方法总结： 本题是一个图形运动问题，解题的方法是将各个时刻的图形分别画出，由 “ 静 ” 变 “ 动” ，再设法求解，这种分类画图的方法在解动态的几何问题时非常有效探究点三： 利用二次函数解决拱桥问题一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图 )，拱高 6m，跨度 20m ，相邻两支柱间的距离均为 5m.(1) 将抛物线放在所给的直角坐

12、标系中(如图 )，求抛物线的解析式；(2) 求支柱 EF 的长度；(3) 拱桥下地平面是双向行车道 (正中间是一条宽 2m 的隔离带 )，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽 2m、高 3m 的汽车 (汽车间的间隔忽略不计 )？请说明你的理由解析： (1)根据题目可知A， B， C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；(2)设 F 点的坐标为 (5，yF)，求出 yF，即可求出支柱 EF 的长度； (3)设 DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和作GH AB 交抛物线于点 H ，求出点 H 的纵坐标， 判断是否大第3页共4页于汽车高度即可求解使学生学会，而且使学生会学”的目的.解： (1)

13、根据题目条件， A， B， C 的坐标分别是 (10，0)，(10，0)，(0， 6)设抛物线的解析式为 y ax2 c，将 B，C 的坐标6 c，解 得代 入 y ax2 c ， 得0 100a c，3 ，y 3a 50 所以抛物线的解析式为c 6.50x26；(2)可设 F 点的坐标为 (5， yF)，于是yF 3 × 52 6 4.5，从而支柱EF 的长度50是 10 4.5 5.5(米 )；(3)如图，设DN 是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和， 则 G 点坐标是 (7，0)过G 点作 GH AB 交抛物线于H 点，则 yH 3 × 72 6 3.06 3.根据抛物线的特点，50可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车方法总结： 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式， 通过解析式可解