2018年中考数学第一轮复习-第十五讲二次函数的综合题及应用

1、第十五讲二次函数的综合题及应用【重点考点例析】考点一：确定二次函数关系式2例 1（ 2017?牡丹江）如图，已知二次函数y=x +bx+c 过点 A（ 1， 0）， C（ 0，-3 ）（ 1）求此二次函数的解析式；（ 2）在抛物线上存在一点 P 使 ABP的面积为 10，请直接写出点 P 的坐标思路分析： （ 1）利用待定系数法把A（ 1， 0）， C（0， -3 ）代入）二次函数y=x2+bx+c2即可算出b、 c 的值，进而得到函数解析式是y=x +2x-3 ；中，（2）首先求出A、 B 两点坐标，再算出AB的长，再设P（m， n），根据 ABP的面积为可以计算出n 的值，然后再利用二次函

2、数解析式计算出m的值即可得到P 点坐标2解： （ 1）二次函数y=x +bx+c 过点 A（ 1， 0）， C（ 0， -3 ），101bc0b2，解得，c3c32二次函数的解析式为y=x +2x-3 ；（ 2）当 y=0 时， x2+2x-3=0 ，解得： x1=-3 ，x2=1；A（ 1， 0）， B（ -3 ， 0），AB=4，设 P（ m， n）， ABP的面积为 10， 1 AB?|n|=10 ，2解得： n=±5，当 n=5 时， m2+2m-3=5，解得： m=-4 或 2，P（ -4 ， 5）（ 2， 5）；2当 n=-5 时， m+2m-3=-5 ，方程无解，故 P

3、（ -4 ，5）（ 2，5）；点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式， 以及求点的坐标， 关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式对应训练1（ 2017?湖州）已知抛物线y=-x 2+bx+c 经过点 A（ 3， 0）， B（ -1 ， 0）（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）求抛物线的顶点坐标考点二：二次函数与 x 轴的交点问题例 2 （ 2017?苏州）已知二次函数 y=x 2-3x+m（ m为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（ 1，0），则关于x 的一元二次方程x2-3x+m=0 的两实数根是（）A x1=1， x2=-1B x1=1， x2=2C x1=1， x2=0D

4、x1=1，x2=3对应训练2（ 2013?株洲）二次函数y=2x 2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（）A -8B8C± 8D6考点三：二次函数的实际应用例 3 （ 2017?营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策， 使农民收入大幅度增加 某农户生产经销一种农产品， 已知这种产品的成本价为每千克 20 元，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元 / 千克）有如下关系： y=-2x+80 设这种产品每天的销售利润为 w元（ 1）求 w与 x 之间的函数关系式（ 2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多

5、少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28 元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？思路分析： （ 1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；（3）把 y=150 代入（ 2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据 x 的取值范围求x 的值解： （ 1）由题意得出：w=（ x-20 ） ?y=（ x-20 ）（ -2x+80 ）2故 w 与 x 的函数关系式为： w=-2x 2+120x-1600 ；（2） w=-2x 2+120x-1600=-2 （ x-3

6、0 ） 2+200，-2 0，当 x=30 时， w 有最大值 w最大值为 200答：该产品销售价定为每千克30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润200 元（ 3）当 w=150时，可得方程 -2 （ x-30 ） 2+200=150解得 x =25，x2=3535 28，x2=35 不符合题意，应舍去答：该农户想要每天获得150 元的销售利润，销售价应定为每千克点评： 本题考查了二次函数的运用关键是根据题意列出函数关系式，解决问题对应训练25 元运用二次函数的性质3（ 2017?武汉）科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试

7、出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度 x/ -4-20244.5植物每天高度增长量 y/mm414949412519.75由这些数据， 科学家推测出植物每天高度增长量y 是温度 x 的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种（ 1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；（ 2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在10 天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果3解：（ 1）选择二次函数，设y=ax 2+bx+c（a0）， x=-2 时，

8、 y=49 ，x=0 时， y=49，x=2 时， y=41，4a2bc49a1 c49，解得b2 ，4a2bc41c49所以， y 关于 x 的函数关系式为y=-x 2-2x+49 ；不选另外两个函数的理由：点（ 0， 49）不可能在反比例函数图象上，y 不是 x 的反比例函数，点（ -4 ，41）（ -2 ， 49）（ 2， 41）不在同一直线上，y 不是 x 的一次函数；（ 2）由（ 1）得， y=-x 2-2x+49=- （ x+1）2+50， a=-1 0，当 x=-1 时， y 有最大值为 50，即当温度为 -1 时，这种作物每天高度增长量最大；（3） 10 天内要使该植物高度增长

9、量的总和超过平均每天该植物高度增长量超过25mm，250mm，当 y=25 时， -x 2-2x+49=25 ，2解得 x1=-6 ， x2 =4，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，实验室的温度应保持在-6 x 4考点四：二次函数综合性题目例 4（ 2017?自贡）如图，已知抛物线y=ax 2+bx-2 （a0）与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD交抛物线于点D，并且D（ 2， 3）， tan DBA=12（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（ 2）中四边

10、形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心， OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在， 求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由思路分析： （ 1）如答图1 所示，利用已知条件求出点B 的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；（ 2）如答图 1 所示，首先求出四边形 BMCA面积的表达式， 然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解如答图2 所示，首先求出直线AC与直线 x=2 的交点 F 的坐标，从而确定了Rt AGF的各个边长；然后证明Rt AGF Rt QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出

11、点Q的坐标解： （ 1）如答图1 所示，过点D 作 DEx 轴于点 E，则 DE=3， OE=2 tan DBA=DE = 1 ，BE2 BE=6，OB=BE-OE=4，B（ -4 ， 0）点 B（ -4 ， 0）、 D（ 2， 3）在抛物线y=ax 2+bx-2 （a0）上，16a4b20a12 ，解得4a2b23b32抛物线的解析式为：y= 1 x2+ 3 x-2 22（2）抛物线的解析式为：y=1x2 +3x-2 ，2 2令 x=0，得 y=-2 ， C（ 0， -2 ），令 y=0，得 x=-4 或 1， A（1， 0）设点 M坐标为（ m， n）（ m0， n 0），如答图 1 所示

12、，过点 M作 MFx 轴于点 F，则 MF=-n， OF=-m， BF=4+mS 四边形 BMCA=S BMF+S 梯形 MFOC+S AOC= 1 BF?MF+1 （MF+OC）?OF+1 OA?OC222= 1 （ 4+m）×（ -n ） + 1 （ -n+2 ）×（ -m）+ 1 ×1×2222=-2n-m+1点 M（ m， n）在抛物线 y= 1 x2+ 3 x-2上，22123n=m+m-2，代入上式得：22S 四边形 BMCA=-m2-4m+5=- （m+2） 2+9，当 m=-2 时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9（3）假设存在这样

13、的Q如答图 2 所示，设直线x=-2 与 x 轴交于点G，与直线AC交于点 F设直线 AC的解析式为y=kx+b ，将 A（1， 0）、 C（ 0， -2 ）代入得：kb0，b2解得： k=2， b=-2 ，直线 AC解析式为： y=2x-2 ，令 x=-2 ，得 y=-6 ， F（ -2 ，-6 ）， GF=6在 Rt AGF中，由勾股定理得：AF=AG2GF 2 =32623 5 设 Q（ -2 ，n），则在 Rt AGF中，由勾股定理得： OQ= OG 2QF 2= n24 设 Q与直线 AC相切于点 E，则 QE=OQ= n24 在 Rt AGF与 Rt QEF中， AGF=QEF=9

14、0°， AFG= QFE，Rt AGF Rt QEF， AFAG ，即35 =3，QFQE6nn24化简得： n2-3n-4=0 ，解得 n=4 或 n=-1 存在一个以 Q点为圆心， OQ为半径且与直线AC相切的圆， 点 Q的坐标为 （ -2 ，4）或（ -2 ，-1 ）点评： 本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（ 3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件

15、的点Q坐标对应训练24（ 2017?张家界）如图，抛物线y=ax +bx+c（a0）的图象过点C（ 0，1），顶点为 Q（ 2，（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线 CD绕点 C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证： CEQ CDO；（4）在（ 3）的条件下，若点P 是线段 QE上的动点，点F 是线段OD上的动点，问：在P点和 F 点移动过程中， PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由4解：（ 1） C（ 0， 1）， OD=OC， D 点坐标为（ 1， 0）设直线 CD的解析式为y=kx+b （k0），

16、b1，将 C（ 0， 1）， D（ 1， 0）代入得：bk0解得： b=1， k=-1 ，直线 CD的解析式为： y=-x+1 （2）设抛物线的解析式为y=a（ x-2 ） 2+3，将 C（ 0， 1）代入得： 1=a×（ -2 ） 2+3，解得 a=- 1 2 y=- 1 （ x-2 ） 2+3=- 1 x2+2x+122（3）证明：由题意可知，ECD=45°，OC=OD，且 OC OD， OCD为等腰直角三角形， ODC=45°， ECD=ODC， CE x 轴，则点C、E 关于对称轴（直线x=2）对称，点 E 的坐标为（ 4， 1）如答图所示，设对称轴（直线

17、x=2）与 CE交于点 F，则 F（ 2， 1），ME=CM=QM=2， QME与 QMC均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45°又 OCD为等腰直角三角形，ODC=OCD=45°， QEC=QCE= ODC=OCD=45°， CEQ CDO（4）存在如答图所示， 作点 C关于直线 QE的对称点 C，作点 C关于 x 轴的对称点C，连接 CC，交 OD于点 F，交 QE于点 P，则 PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知， PCF的周长等于线段 CC的长度（证明如下：不妨在线段 OD上取异于点 F 的任一点 F，在线段 QE上取异于点 P 的任

18、一点P，连接FC， FP， PC由轴对称的性质可知， PCF的周长 =FC+FP+PC；而 FC+FP+PC是点 C， C之间的折线段，由两点之间线段最短可知： FC+FP+PC CC，即 PCF的周长大于 PCE的周长）如答图所示，连接CE，C，C关于直线QE对称， QCE为等腰直角三角形， QCE 为等腰直角三角形， CEC为等腰直角三角形，点 C的坐标为（ 4， 5）；C，C关于 x 轴对称，点 C的坐标为（ -1 ，0）过点 C作 CN y 轴于点 N，则 NC=4，NC=4+1+1=6，在 Rt CNC中，由勾股定理得： CC=NC 2NC 242622 13综上所述，在 P 点和

19、F 点移动过程中， PCF的周长存在最小值，最小值为213 【聚焦山东中考】1（ 2017?淄博）如图， Rt OAB的顶点 A（ -2 ， 4）在抛物线y=ax 2 上，将 Rt OAB绕点 O顺时针旋转90°，得到 OCD，边 CD与该抛物线交于点P，则点 P 的坐标为（）A（ 2，2 ）B（ 2， 2）C（2 ，2）D（ 2，2 ）2（ 2017?滨州）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形其中，抽屉底面周长为180cm，高为 20cm请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）2解：已知抽屉底面宽为x

20、cm，则底面长为180÷2-x= （ 90-x ） cm由题意得： y=x （ 90-x ）× 20=-20 （ x2-90x ）=-20 （ x-45 ） 2+40500当 x=45 时， y 有最大值，最大值为40500答：当抽屉底面宽为45cm 时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm33（ 2017?日照） 一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100 辆公司在经营中发现每辆车的月租金 x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：x3O00320035004000y100969080（ 1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆

21、数 y（辆）与每辆车的月租金 x（元）之间的关系式（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150 元，未租出的车每辆每月需要维护费50 元用含 x（x3000）的代数式填表：租出的车辆数未租出的车辆数租出每辆车的月收益所有未租出的车辆每月的维护费（ 3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元3解：（ 1）由表格数据可知y 与 x 是一次函数关系，设其解析式为y=kx+b 3000kb100k150 ，由题：3200kb96，解之得：b160y 与 x 间的函数关系是y=- 1 x+16050（2）如下表：租出的车辆数-1 x+1

22、60未租出的车辆数1 x-605050租出的车每辆的月收益x-150所有未租出的车辆每月的维护费x-3000（3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得：W=（ -1x+160）（ x-150） - （ x-3000 ）50=（ -1x2+163x-24000 ） - （ x-3000 ）50=- 1 x2+162x-2100050=-1 （ x-4050 ） 2+3070550当 x=4050 时， Wmax=307050，即：当每辆车的月租金为4050 元时，公司获得最大月收益307050 元故答案为： - 1 x+160， 1 x-60 5050y=x2 +bx+c 的图象与 x 轴交

23、于 A、 B4（ 2017?枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（ 3， 0），与 y 轴交于 C（ 0，-3 ）点，点 P 是直线BC下方的抛物线上一动点（ 1）求这个二次函数的表达式（ 2）连接 PO、PC，并把 POC沿 CO翻折，得到四边形 POPC，那么是否存在点 P，使四边形 POPC为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形ABPC的最大面积4解：（ 1）将 B、 C两点的坐标代入得93bc 0b-2c-3，解得：；c-3所以

24、二次函数的表达式为：2。y=x -2x-3（2）存在点P，使四边形POPC为菱形；2如图，设P 点坐标为（ x， x -2x-3 ），PP交 CO于 E连接 PP，则 PE CO于 E，OE=EC=3 ， y=-3 ； x2-2x-3= - 3222解得 x210， x =210（不合题意，舍去）=1222P 点的坐标为（210，- 3）。2 2（ 3）过点 P 作 y 轴的平行线与 BC交于点 Q，与 OB交于点 F，设 P（ x， x2-2x-3 ），易得，直线 BC的解析式为 y=x-3则 Q点的坐标为（x， x-3 ）；S 四边形 ABPC=S ABC+S BPQ+S CPQ= 1 A

25、B?OC+1 QP?BF+1 QP?OF222= 1 ×4×3+ 1(-x 2+3x) ×322- 3(x- 3 ) 2+ 75 。=282当 x=3 时，四边形 ABPC的面积最大2此时 P 点的坐标为 ( 3， -15 ) ，四边形 ABPC的面积的最大值为75 2485（ 2017?潍坊） 为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在Rt ABC内修建矩形水池DEFG，使定点D，E 在斜边 AB上， F， G分别在直角边BC， AC上；又分别以AB， BC， AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植

26、花草；其余空地铺设瓷砖，其中 AB=243 米，BAC=60°， 设 EF=x 米，DE=y米（ 1）求 y 与 x 之间的函数解析式；（ 2）当 x 为何值时，矩形 DEFG的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x 为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的1 ？35解：（ 1）在 Rt ABC中， ACB=90°， AB=243 米， BAC=60°， AC=1 AB=12 3 米， BC= 3 AC=36米， ABC=30°，2DG=3 x， BE=EF3 x，AD=tan 603tan 30 AD+DE+

27、BE=AB，3 x+y+3 x=243 ，3y=24 3 -3 x- 3 x=243 - 43 x，33即 y 与 x 之间的函数解析式为y=243 -4 3x（ 0 x 18）；3（2） y=243- 43 x，矩形 DEFG的面积 =xy=x （ 243 - 4 3 x）33=- 43 x2+243x=-4 3 （ x-9 ） 2+1083 ，33当 x=9 米时，矩形DEFG的面积最大，最大面积是 1083 平方米；（3）记 AC、 BC、 AB为直径的半圆面积分别为S 、 S 、 S ，两弯新月面积为S，123则 S1=12， S2= 12， S3= 12，8 ACBC AB88AC2

28、+BC2=AB2，S1+S2=S3，S1+S2-S=S3-S ABC，S=S ABC，两弯新月的面积 S=1 AC?BC=1 ×123 ×36=2163 （平方米）221 ，如果矩形 DEFG的面积及等于两弯新月面积的3那么 - 4 3 （ x-9 ） 2+1083 =1 ×2163，33化简整理，得（ x-9 ） 2=27，解得 x=9±3 3 ，符合题意所以当 x 为（ 9±3 3 ）米时，矩形 DEFG的面积及等于两弯新月面积的1 36（ 2017?烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2 的正方形，二次函数y=ax 2+

29、bx+c 的图象经过点A， B，与 x 轴分别交于点E， F，且点 E 的坐标为（ - 2 ， 0），以30C 为直径作半圆，圆心为D（ 1）求二次函数的解析式；（ 2）求证：直线 BE是 D 的切线；（ 3）若直线 BE与抛物线的对称轴交点为 P， M是线段 CB上的一个动点（点 M与点 B， C 不重合），过点 M作 MN BE 交 x 轴与点 N，连结 PM， PN，设 CM的长为 t ， PMN的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围 S 是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由6解：（ 1）由题意，得A（ 0， 2）， B（2， 2）

30、，E 的坐标为（ - 2 ， 0），3a9-c289 ，则 24a2，解得b424b c0c2a -93该二次函数的解析式为：y=- 9 x2+ 9 x+2；84（ 2）如图 1，过点 D 作 DGBE于点 G由题意，得2528， BC=2，ED= +1=， EC=2+=3333BE=644 =10 9 3 BEC=DEG， EGD=ECB=90°， EGD ECB， DG DE，BC BE DG=1 D的半径是1，且 DG BE，BE 是 D的切线；（3）如图 2，由题意，得E（ - 2 ， 0），B（ 2， 2）3设直线 BE为 y=kx+h （k0）则2kh23k2h， 解得，

31、4 ，013h2直线 BE为： y= 3 x+ 1 42直线 BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，点 P 的纵坐标 y=5 ，即 P（1， 5 ）44MN BE， MNC=BEC C=C=90°， MNC BEC， CN MC，EC BCCNt4t ，则 CN=8233DN=5 t-1 ，4S11（4）?555=DN?PD=t-1= t- PND234682S MNC=11×4t?t=22CN?CM=33t22S11?（551=（ PD+CM）?CD=+t ）?1= +t 梯形 PDCM24822 S=S PND+S梯形 PDCM-S MNC=- 2 t 2

32、+ 4 t （0 t 2）33抛物线S=-2t 2+4 t （ 0 t 2）的开口方向向下，33S 存在最大值当t=1时， S最大= 27（ 2017?泰安）如图，抛物线312y=x +bx+c与y 轴交于点C（0，-4 ），与x 轴交于点A， B，2且 B 点的坐标为（ 2， 0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点 P 是 AB 上的一动点，过点 P 作 PE AC，交 BC于 E，连接 CP，求 PCE面积的最大值（3）若点 D为 OA的中点，点 M是线段 AC上一点，且 OMD为等腰三角形，求 M点的坐标7解：（1）把点 C（ 0， -4 ），B（ 2， 0）分别代入y= 1 x2+bx

33、+c 中，2c -4b1得 122b c 0， 解得。2c-42该抛物线的解析式为y= 1 x2+x-4 2（ 2）令 y=0，即 1 x2+x-4=0 ，解得 x1=-4 ， x2=2，2A（ -4 ， 0）， S ABC= 1 AB?OC=122设 P 点坐标为（ x， 0），则 PB=2-xPE AC， BPE=BAC， BEP= BCA， PBE ABC， SV PBE( PB ) 2 ，即 SVPBE( 2x) 2 ，SV ABCAB126化简得：S12=（ 2-x ） PBE3111S =S-S=PB?OC-S=（ 2-x ）2×（ 2-x ）×4- PCEPC

34、B PBE2PBE23=- 1 x2-2 x+ 8333=- 1 （ x+1） 2+33当 x=-1 时， S PCE的最大值为3（ 3） OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（ I ）当 DM=DO时，如答图所示DO=DM=DA=2， OAC=AMD=45°， ADM=90°，M点的坐标为（-2 ， -2 ）；（II ）当 MD=MO时，如答图所示过点 M作 MN OD于点 N，则点 N 为 OD的中点，DN=ON=1， AN=AD+DN=3，又 AMN为等腰直角三角形，MN=AN=3，M点的坐标为（-1 ， -3 ）；（ III ）当 OD=OM时， OAC为等腰直角三

35、角形，点O到AC的距离为2×4=22 ，即AC上的点与点O之间的最小距离为22 222 2， OD=OM的情况不存在综上所述，点M的坐标为（-2 ，-2 ）或（ -1 ， -3 ）8（ 2017?威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=1x+3与直线y=x交于点A，点B22在直线 y=1 x+ 3 上， BOA=90°抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A， O， B，顶点为点 E2 2（ 1）求点 A， B 的坐标；（ 2）求抛物线的函数表达式及顶点E 的坐标；（ 3）设直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点 C，直线 BC交抛物线于点 D，过点 E 作 FE x 轴，交直

36、线 AB于点 F，连接 OD，CF，CF交 x 轴于点 M试判断 OD与 CF 是否平行，并说明理由8解：（ 1）由直线 y=1x+3 与直线 y=x 交于点 A，得22yxx313， 解得，yy3x22点 A 的坐标是（ 3， 3） BOA=90°，OB OA，直线 OB的解析式为 y=-x 又点 B 在直线 y=1x+3 上，22yxx113 ，解得，y，yx122点 B 的坐标是（ -1 ， 1）综上所述，点A、 B 的坐标分别为（3，3），（ -1 ， 1）（ 2）由（ 1）知，点 A、 B 的坐标分别为（ 3， 3），（ -1 ， 1）抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A

37、， O，B，a129a3bc 31 ， c0， 解得 ba - b c120c该抛物线的解析式为y= 1 x2-1 x，或 y=1 （ x- 1 ） 2- 122228顶点 E 的坐标是（1 ， -1 ）；28（3） OD与 CF平行理由如下：由（ 2）知，抛物线的对称轴是 x=1 2直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点C，C（ 1，1）22设直线 BC的表达式为y=kx+b （k0），把 B（ -1 ， 1）， C（ 1 ， 1 ）代入，得22- kb 12k - 111 ，解得3 ，kb222b3直线 BC的解析式为y=- 1 x+ 2 33直线 BC与抛物线交于点B、D， - 1 x+

38、2 = 1 x2- 1 x，3322解得， x1= 4 ， x2 =-1 3把 x1= 4 代入 y=- 1 x+ 2 ，得 y1= 2 ，3339点 D 的坐标是（4，2）39如图，作 DN x 轴于点 NDN1则 tan DON=ON61，-1FE x 轴，点 E 的坐标为（）281点 F 的纵坐标是 -把 y=- 1 代入 y= 1 x+ 3 ，得 x=- 13 ，8224点 F 的坐标是（ -13 ，-1 ），48 EF=1 +13 =15248 CE=1+1=5，288tan CFE=CE1，EF6 CFE=DON又 FE x 轴， CMN=CFE， CMN=DON，OD CF，即

39、OD与 CF 平行9（2017?潍坊） 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 关于直线 x=1 对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且 AB=4，点 D（ 2，3 ）在抛物线上，直线 l 是一次函数 y=kx-2 （k0）的图象，点 O是2坐标原点（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）若直线 l 平分四边形 OBDC的面积，求 k 的值；（3）把抛物线向左平移1 个单位，再向下平移2 个单位，所得抛物线与直线l 交于 M， N两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k 取何值，直线PM与 PN总是关于y轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由9解：（ 1）因为抛物线关于直线x=1 对称， AB=4，所以 A（ -1 ， 0）， B（ 3，0），设抛物线的解析式为 y=a（ x+1）（ x-3 ），点 D（ 2， 3 ）在抛物线上，2 3 =a×3×（ -1 ），解得 a=- 1 ，22抛物线解析式为： y=- 1 （x+1）（ x-3 ） =- 1 x2+