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文档简介
1、第一章数的整除11 整数和整除的意义一 学法指导:1. 知道自然数、整数、整除的定义:正整数自然数整数0负整数整除整数a 除以整数b,除得的商是整数而余数为零。2掌握整除的两种表述方法:被除数能被除数整除;除数能整除被除数。二 友情提示:1零既不是正整数,也不是负整数;2零是最小的自然数;3没有最大的整数;4整除约定在正整数范围内考虑;5整除的条件:除数、被除数都是整数;被除数除以除数,商是整数而且余数为零。三 例题讲解:例 1: 下列哪一个算式的除数能整除被除数?4÷ 8; 42÷ 7; 11 ÷3; 0.25 ÷ 0.05=5解:因为4÷
2、8=0.5 (商不是整数)42÷ 7=611 ÷ 3=32(余数不为0)0.25 ÷ 0.05=5 (被除数、除数是小数,不是整数)所以,除数能整除被除数的算式是42÷ 7。例 2:从下列数中选择适当的数填入相应的圈内:1,-2 , 0,25%, 27,0.3 , -100 , 2,56,3自然数负整数整数1,0,1,-2, 0,27, 56-2,-10027,-100,56四 本课练习:1. 在 15,-27,3. 8,0,11,-42,67%中,为自然数的是 _正整数的是 _负整数的是 _整数的是 _。2最小的自然数是_,最小的正整数是_,最大的负整
3、数是_。3写出三个比2 小的整数 _ ;比 2 小的自然数有_ 。4能整除12 的数有 _ 。5选择:能整除18 的数有()A.3个B.4个C.5 个D.6个6在下列各组数中,哪个数能整除另一个数?24和 872和 916和9617和5123和69100和 257在下列各组数中, 28 和 7 9 和 6 1. 44 和 1. 2 5 和 12517和 3第一个数能被第二个数整除的是_第一个数能被第二个数除尽的是_8在下列数中,哪个数能被另一个数整除?请一一举出:24, 8,9, 72, 16, 96,51, 17,80, 2512 因数和倍数一学法指导:1 知道倍数和因数的定义:整数 a 能
4、被整数b 整除, a 就叫做 b 的倍数,b 就叫做 a 的因数。2 会求一个数的倍数和因数。二友情提示:1.一个整数的因数个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。2. 一个整数的倍数个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。3. 找一个数的因数的方法:( 1) 能整除这个数的整数就是这个数的因数( 2) 利用积与因数的关系一对一对找三例题讲解:例 1:分别写出48 和 17 的因数解: 48 的因数有1、2、 3、 4、 6、 8、 12、 16、 24、 4817 的因数有1、 17解答方法:利用积与因数的关系一对一对找48 =1×48 =2× 24 =3 &
5、#215; 16 =4 ×12 =6 × 8例 2:分别写出 3 和 5 的倍数解: 3 的倍数有3, 6, 9, 12, 15, 5 的倍数有 5, 10, 15, 20,25, 解答方法:因为能被 3、 5 整除的整数都是 3、 5 的倍数所以 3、 5 与正整数 1, 2, 3, 4, 5, 的积都能被 3、 5 整除四本课练习:124 的因数有 _ , 91 的因数有 _。2在4、 8、 16、 32、 36、 64、80七个数中,80 的因数有_ 。3一个数的最大的因数是12,这个数是_,它所有的因数有_ 。4 90 的因数有_个,这些因数的和是_。5能被9 整除
6、的数,至少有_ 个因数。6 13 的倍数有_ 。7 100 以内17 的倍数有_ , 25 的倍数有_ 。8在下列几道除法算式中,写出哪一个数是哪一个数的因数,20÷ 16=1. 2585÷ 17=512÷ 0. 3=40哪一个数是哪一个数的倍数?9 如果 a=2× 3× 5,那么 a 的所有因数有 _ 。10一个数既是18 的倍数,又是18 的因数,这个数是_。11一个数的最小倍数是15,这个数的因数有_ 。12在 60 的因数中,是4 的倍数的数的和是_13判断:一个数的最大因数就是它的最小的倍数。()14判断: 1 是所有自然数的因数。
7、()15甲数的最大因数等于乙数的最小倍数,甲数_乙数(填“ ”或“”或“ =” )13 能被 2、5 整除的数一学法指导:1掌握能被 2 整除的数的特征:个位上是0, 2, 4, 6, 8 的整数都能被2 整除;2掌握能被 5 整除的数的特征:个位上是0 或者 5 的整数都能被 5 整除奇数:不能被整除的数3 整数2偶数:能被整除的数2二友情提示:1一个整数不是奇数就是偶数;2奇数的个位上的数是奇数;3能同时被2、 5 整除的数一定能被10 整除。三例题讲解:例 1:由 0, 1,2,3, 4 组成一个能被 2 整除的三位数中,最小的一个数是什么数?由小到大,第十个数是什么数?解:最小的一个数
8、是102,由小到大,第十个数是204。解答方法:1.根据能被2 整除的数的特征,其个位上是0, 2, 4,6, 8;由上述5 个数所组成的三位数,最小的百位数是1,最小的十位数是0,而个位数满足能被2 整除,所以取2。2要找第十个小的三位数,百位数1 的有 9 个,再从百位数是2 中去找,且能被 2 整除的最小三位数是204。例 2:能被 2 整除的四位数中,最大的数是几?解:能被2 整除的四位数中,最大的数是1000 。解答方法:能被2 整除的四位数是1000, 1002 ,其中最大的数是9998 。例 3:在下列数中找出既能被 2 整除又能被 5 整除的数,填写在适当的圈内,这样的数有什么
9、特点?16, 35, 60, 85, 96, 125,320, 888能被 2 整除的数能被 5 整除的数1688860320358596125能同时被 2、 5 整除的数解答方法:因为:能同时被2、5整除的数一定能被 10整除。能被 2 整除的数的个位数字是0, 2, 4, 6, 8;能被 5 整除的数的个位数字是0或 5;所以:能同时被2、5整除的数的个位数字是0四本课练习:1判断:两个相邻的偶数相差2()2在 110 后面连续5 个偶数是 _ 。3从 17 起,连续5 个奇数是 _ 。4与奇数相邻的两个数是_数;与偶数相邻的两个数是_数;5 4 个连续自然数的和是134,其中最小的一个数
10、是_;6 5 个连续偶数的和是180,这三个数分别是_ ;7下列那些数有因数2、那些数有因数5?13, 26, 37, 48, 66, 71, 94, 152, 625, 900, 1002, 4050有因数 2 的数是 _ 。有因数 5 的数是 _ 。8( 1) 2143 至少加上 _ 才能被 2 整除;( 2) 4321 至少减少 _ 才能被 2 整除;( 3) 1243 至少加上 _才能被 5 整除;( 4) 3142 至少减少 _ 才能被 5 整除;9写出 4 个既能被2 整除又能被5 整除的数 _ ;10在下列数中找出既能被 2 整除又能被 5 整除的数, 填写在适当的圈内, 这样的
11、数有什么特点?18, 55, 160, 825,962, 1025, 3020, 8567能被 2 整除的数能被 5 整除的数能同时被 2、 5 整除的数11不能被2 整除的自然数叫_;12任何一个奇数加上1 以后,一定能被_整除;13能被2 整除的最大两位数是_;14能被2 整除的三位数中,最大的偶数是_;15能同时被2 和5 整除的最小三位数是_ ;16一个两位数,既是5 的倍数,又有因数2,这个数最小是_,最大是_;17一个两位数,它能被3 整除,有时5 的倍数,而且是偶数,这个数最小是_;18( 1)在下列每个数的内填上一个数字,使得这个数有因数2 ,你还能写出几个?73( 2)在下列
12、每个数的内填上一个数字,使得这个数有因数5,你还能写出几个?120619在 12, 28, 36, 75, 96,100 中能被 2 整除,又有3 这个约数的数是_;能被 5 整除,又有2 这个约数的数是_;20判断:25 的倍数中最小的一个是 50。()21判断:5是5的倍数, 5也是 5的约数。 ()22能被 5整除的最大三位数是 _ ;23能被 5整除的两位数中,最小的奇数是_;24 5 个连续奇数的和是195,其中最大的一个数是 _ ;25写出在 120 以内能被5 整除的奇数(至少写3 个) _ ;26有两个奇数,它们的积是65,差是 8,他们的和是_;27邻近 124 前面三个连续
13、奇数的和是_;28用 0,4, 5, 6 四个数字,按要求写出一个没有重复数字的四位数:( 1)既能被 2 整除又能被 5 整除:( 2)不能被 2 整除,只能被 5 整除:14 素数、合数与分解素因数(一)一 . 学法指导:1理解素数、合数的意义:素数一个正整数,如果只有1 和它本身两个因数,这样的数叫做素数。合数一个正整数,如果除了1 和它本身以外还有别的因素,这样的数叫合数。素数2 正整数 合数13会用求因数的方法或用整除的特征来判断一个正整数是否为素数。4熟记 20 以内的全部素数。二 友情提示:1“ 1”既不是素数也不是合数。2学会区分奇数和素数、偶数和合数的意义。三例题讲解:例 1
14、:判断 18, 29,51 和 91 是素数还是合数。解法一: 18 的因数有: 1, 2, 3, 6, 9,1829 的因数有:1, 1945 的因数有:1, 3, 5, 9, 15, 4591 的因数有:1, 7, 13, 91通过检查每个数的因数的个数,可以知道:18, 45, 91 是合数, 29 是素数。解法二: 18 能被 3 整除,因此除了1 和 18 以外, 18 还有因数3,所以 18 是合数。同样, 45 能被 5 整除, 91 能被 7 整除,所以45、 91 也是合数。例 2:小于 30 的既是素数,又是偶数的数是哪几个?解:小于30 的素数有: 2, 3, 5, 7,
15、 11, 13, 17,19, 23, 29而其中又是偶数的数只有2。通过这道题的解答,我们知道:所有的素数(除2 外)都是奇数。四本课练习:1判断:所有的素数都是奇数。()2判断:所有的偶数(除2 外)都是合数。 ()3判断:一个自然数不是奇数就是偶数,不是素数就是合数。()4在 1, 2, 9, 15, 39, 70,95, 801 中,奇数有 _ 偶数有 _素数有 _ 合数有 _既是奇数又是合数_即是偶数又是素数_即是合数又是偶数_能同时被2、 5 整除的数 _5选择:在自然数中,2 是(A. 最小的素数B.最小的偶数)C.最小的合数D.最小的自然数6一个三位数, 它的百位上是最小的素数
16、,十位上是最小的合数,个位上是最小的自然数,这个三位数是 _ 。7如果两个素数的和是33,那么两个素数的积为_ 。14 素数、合数与分解素因数(二)一 . 学法指导:1分解素因数:把一个合数用素因数相乘的形式表示出来。2理解素因数的意义:每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数。3会利用“短除法”把一个合数分解素因数。二 友情提示:1注意分解素因数的书写格式。2对于一个数有哪些素因数,必须说出它的每一个素因数。三例题讲解:例 1: 36 的因数有哪几个?素因数有哪几个?解: 36 的因数有: 1, 2, 3,4, 6, 9,12, 18,36。
17、36 的素因数有: 2, 2, 3,3。求 36 的素因数可以用短除法来求,一共有4 个,而不能只说2 和 3。例 2: 素数、素因数有什么区别?解:素数:因数只有1 和本身的正整数叫做素数,它是独立存在的数。如2 是素数59 是素数。素因数:它既是素数,又是某个数的因数,它不是独立存在的。如18=2× 3× 3,不能说 2 是素因数,而必须说2 是 18 的素因数。例 3:判断:分解素因数( 1) 15=3 ×5× 1 (2) 2× 3× 13=78 ( 3) 160=2× 2× 5× 8答: 上述写法
18、都是错误的。第( 1)( 3)两题的错误是:在因数相乘的形式中,出现了不是素数的数1 和 8。分解素因数是把合数写成几个素数相乘的形式,正确的写法是:5( 1) 15=3 ×5 ( 3) 160=2×2× 2× 2× 2× 5=2 ×5第( 2)题是书写的格式错误,2× 3×13=78 是一般的乘法算式,正确的书写格式是:( 2) 78=2 ×3× 13四本课练习:1把下列各数分解素因数:96, 224, 738,5402 42 和 91,它们相同的素因数有_,它们各自独有的素因数分别
19、有_和_。3素数有 _个因数;在 1200 的所有自然数中, _只有 1 个因数, _只有 3 个因数。4有三个不同的素数,它们的积是165,这三个素数分别是多少?请写出解题的主要步骤。选择:7 和 11 都是()A. 素数B.互素数C.素因数D.因数6在自然数4, 5,6, 7, 9 中,两个数是互素的有()对A.5B.6C.7D.814 素数、合数与分解素因数(三)一填空:1把下列各数填入适当的圈内1, 2, 4, 6, 7, 9,13, 18, 21, 26, 45, 54, 72, 87, 111奇数偶数素数合数2 从 1 到 10 中,最小的素数和最小的合数的积是_ 。3最小的合数加
20、最小的奇数等于_。4 20 以内素数中偶数有_;奇数有 _;不是偶数的合数有_;不是奇数的合数有 _。5既是素数又是偶数的最小数是_。6既不是素数又不是合数的数是_。7既是素数又是奇数的最小数是_。8既是偶数又是合数的最小数是_。9既是奇数又是合数的最小数是_。10既是相邻的自然数,又是素数的两个数的和是_。11最大的一位数减去最小的素数,差是_。12 2730 这个合数能被 _ 、 _ 、 _、 _、_ 这几个素数整除,这几个数叫做2730 的 _数。二解答题:1用短除法分解素因数:102136842562在下列各数中,哪些是素数?哪些是合数?请把合数分解素因数。31, 47, 58, 83
21、, 121, 143, 2793先分解素因数,再分别写出这三个数的倍数。(只需从大到小写三个)16369615 公因数与最大公因数一 . 学法指导:理解公因数与最大公因数的意义:公因数:几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。最大公因数:公因数中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。理解互素的意义:如果两个整数只有公因数,那么称这两个数互素。掌握求两个数的因数和最大公因数的方法。会判断两个数是不是互素关系。三例题讲解:例:求和、8 和 9、和、16 和 80、 12 和 42、和的最大公因数,从中你能够发现什么规律?解:为了简便,也可以用短除法计算:31590(用公有的素因数 3除)5530(用
22、公有的素因数 5除)16(除到两个商互素为止)15 和 90 的最大公因数是3×5=155168173451和68的最大公因数是17从上面的解答中我们发现:3 和 7、8 和 9 这两组数是互素,因而它们的最大公因数是1;15和 90、16和 80 这两组数中的两个数存在倍数关系,因而它们的最大公因数是其中较小的那个数, 15和 90 的最大公因数是 15, 16 和 80 的最大公因数是 16; 12 和 42、 51 和 68 既不存在倍数关系,也不是互素关系,所以一般采用短除法来求。结果是:( 12, 42)=2× 3=6 , ( 51, 68) =17例 2:秋游这
23、天,老师带领24 名女生和18 名男生。老师把这些学生分成人数相等的若干个小组,每个小组中的女生人数相等,请问:这分析:分成的组数能整除24 和 18,也就是2442 名同学最多能分成几组?和 18 的因数。24 的因数18 的因数481291224361824 和 18 公有的因数因此老师最多可以把这些学生分成6 组,每组中分别有4 名女生和3 名男生。四本课练习:一填空:1 12 和 18 的全部公因数有_ ,最大公因数是_。2 A=3 × 7, B=2 × 5, A 和 B 的最大公因数是_ 。3 最大的两位数与最小的两位数的和是_,差是 _,和与差的最大公因数是_。
24、4两个合数的最大公因数是1,且和为13,这两个数是 _和 _。5先分别把下面两个数分解素因数,再求它们的最大公因数。21=_ ; 39=_ 。21 和 39 的最大公因数是 _。6甲数 =3× A × 7 ,乙数 =2× 3× B,甲数和乙数的最大公因数是21,那么A 最小可取_B=_。7差是 1 的两个素数是_和 _,它们的最大公因数是_。8两个自然数的和是216,如果它们的最大公因数是24,那么这两个数是_ 。二选择:16 是36 和48 的()A. 因数B. 公因数C. 最大公因数2甲数是乙数的15 倍,这两个数的最大公因数是()A. 15B. 甲
25、数C. 乙数D. 甲数×乙数3几个数的最大公因数是12,这些数的全部公因数是()A. 1、2、3、12B. 2、 3、 4、6C. 2、 3、4、 6、 12D.1、 2、3、 4、 6、12三解答题:1用短除法求下列各组数的最大公因数:60和9045和7548和6072和632求下列分数中两个分子的最大公因数:5 和157和1126和 24121713309193已知两个正整数的积是1284,他们的最大公因数是6,求这两个数。4动脑筋:一个数减去5 和 9 的最大公因数,所得的差能被2 和 5 同时整除,满足此条件的最小两位数是几?5 有 a、 b、 c、 d 四个数,已知a 和
26、d 的最大公因数是60,c 和 b 的最大公因数是96。这四个数的最大公因数是多少?6一张长方形的纸,长 42 厘米,宽 30 厘米,要把这张纸裁成大小相等的正方形而没有剩余,正方形的边长最大是几?16 公倍数与最小公倍数一 . 学法指导:理解公倍数与最小公倍数的意义:公倍数:几个整数的公有的倍数,叫做这几个数的公倍数。最小公倍数:公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。理解用短除法求最小公倍数的算理。掌握求两个数的公倍数和最小公倍数的方法。会根据两数为倍数关系或互素关系的情况直接求他们的最小公倍数。二 友情提示:由于求最大公因数与求最小公倍数的方法相近,所以一定要牢固掌握各自的意义。三例
27、题讲解:例 1:求下列分数中两个分母的最小公倍数:1 和 214和35 和12794552135解: 7 和 9 是互素关系,因而它们的最小公倍数是就是它们的乘积7×9=63 ;45 和 5 是倍数关系,因而它们的最小公倍数是其中较大的那个数45;21 和 35 既不存在倍数关系,也不是互素关系,所以一般采用短除法来求,结果是: 21,35=3 × 5× 7=105.例 2:今有妇人河上荡桮,津吏问曰:“桮何以多?”妇人曰:“家有客。 ” 津吏曰:“客几何?”妇人曰: “二人共饭,三人共羹,四人共肉,凡用桮六十五,不知客几何?”解:这是孙子算经中的一个问题,主要意
28、思是:有一位妇女在河里洗盘子,有人问:为什么洗这么多盘子?妇人回答:家里有客人。 那人又问: 客人有多少?二人合用一个盛饭的盘子, 三人合用一个盛汤的盘子,四人合用一个盛肉的盘子,一共用了65 个盘子。满足以上3 个条件至少12 人,即 2, 3, 4=12 , 12 人用 6 个盛饭的盘子,4 个盛汤的盘子, 3 个盛肉的盘子,一共13 个盘子;65÷ 13× 12=60 (人)答:有客人60 人。四本课练习:(一 )填空:1 4 和 6 的公倍数有 _ ,其中最小公倍数是_ 。2 A=3 × 3× 5 , B=2 ×3× 5, A
29、 和 B 的最小公倍数是_ 。3如果两个数是互素数,那么它们的最大公因数是_,最小公倍数是_。4 a÷ b=7, a 和 b 是正整数, a 和 b 的最大公因数是_,最小公倍数是_。5 正整数 x 能整除正整数y,那么 x 与 y 的最小公倍数是_ 。最大公约数是_。6 A 、 B 是两个连续的自然数,那么A 、 B最大公因数是_ ,最小公倍数是_。7两个数的最小公倍数是525,这两个数是_ 。8一个数的最小_数是它本身,最大_数也是它本身。9 两个数的最大公因数是8,最小公倍数是48,这样的两个数是_和 _或者是_和_。10已知两个互素数的最小公倍数是123,这两个互素数是_和
30、_。(二)选择题:1在自然数中,M=N+1,则M 、 N的最大公因数是(),最小公倍数是()。A. MB. NC. M×ND. 12两个数的最小公倍数比它们的最大公因数()A. 大B. 小C.相等D. 都有可能3甲数是乙数的17 倍,则两个数的最小公倍数是()A. 17B. 甲数C.乙数D. 甲数×乙数(三)解答题:1直接写出下列各组数的最大公因数和最小公倍数:3和 811和522和881和3712和1316和 256和 856和 142用短除法求下列各组数的最小公倍数:18和 8145和 5436和 63104和 1563用短除法求下列各组数的最小公倍数:30, 60和
31、8012, 40和 1804a、 b、c、d 是互不相同的素数,如果甲数 =a× a× b× c,乙数 =a× b× d,那么甲、乙两数的最小公倍数是几?5一个班的学生人数在 2040 之间,分别按 6,8,12 人分组,学生正好分完,这个班共有几人 ?6师生俩人今年的年龄乘积是525 岁, 4 年前他们的年龄都是素数,师生俩人今年的年龄各是几岁?第一章单元综合练习一填空:1在 11÷ 5,2. 1÷ 7,42÷ 14 中, _能被 _整除; _叫 _的因数;_叫 _的倍数。2按要求填入相应圈内:20÷4
32、3 ÷0.5 7÷21 15 ÷ 60 90 ÷16 0.24÷0.08 56÷7除尽整除3任何一个正整数都能被_和 _整除。4能同时被2、 5 整除的最大三位数是_。5写出一个能被5 除余 3 的三位数 _。6用 5, 7, 8, 0 写出一个四位数,使它是2 的倍数,最大是_ 。7把下面各数填入适当的圈内:2, 5,10, 15,25, 30,5050 的因数5 的倍数8有一个数,它既是31 的倍数,又是31 的因数,这个数是_。9 102最多能被 _个数整除,它们分别是 _ 。10用10 以内三个不同的素数组成一个同时能被2、 5 整除的最大三位数是 _ 。11两个素数的和是 _ 数。12 _和 _这两个数都是合数,又是互素数。13 _和 _这两个数都是素数,又是互素数。14 _和 _这两个数一个是合数,一个是素数,又是互素数。15 所有是 3 的倍数,而不是2
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