求解最值问题的几种思路

1、.求解最值问题的几种思路最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多变， 越含着丰富的数学思想方法，对发展学生的思维，提升学生解题能力起着十分重要的作用.本文举例介绍这类问题的常见思路和方法.一、利用非负数的性质在实数范围内，显然有m2n2pp ，当且仅当mn 0时，等号成立，即m2n2p 的最小值为 p .例 1 形码 设 a 、 b 为实数，求 a2abb2a2b 的最小值 .解析a2abb2a2b = a2(b1)ab22b= (a b 1) 23 b23 b12424= (ab 1 23211 .2)(b1)b14当 a0,b 10，即 a0, b1 时，上式等号成立 .2故 a2abb2a2

2、b 的最小值为 - 1.二、均值代换法在一些数学问题中， 常遇到含有 mnp 型条件的问题， 若用 mppq, nq 来代换，往往能获得简捷的妙法 .22例 2已知 x 、 y 为实数，且 x2y22 ，求 (2 xy)(2xy) 的最值 .解析由2x2y22xy 得 xy1 ，易得最小值为3.设 x21 k, y21 k ,其中 1 k 1 ,(2xy)(2xy)4x2 y24 (1k 2 )k 23,又 03k2313 ，即 3k 234 .(2xy)(2xy) 的最小值是3 ，最大值是 2.三、局部换元法例 3若 abc 1，求 a2b2c2 的最小值 .解析设 a11,3, b3;.J

3、则 c1() .3( 1( 11 (2a2b2c2)2)2)333122()21.313故 a2b2c2 的最小值为.3四、积化和差法完全平方公式 (ab)2a22abb2 ；(ab)2a22abb2.将这两个公式的左右两边分别相减，得结论 14ab( ab) 2( ab)2.由于 (ab)20 ，故由又可得如下积化和的完全平方不等式.结论24ab(ab)2 ，当且仅当ab时，等号成立 .结论、表明两个代数式之积可化为它们的和差的关系式.应用上述公式解题，方法独特，别致新颖，给人一种清晰、明快的感觉.例 4设 x2y2a2 , a21，求 S1x21y2的最大值 .解把 S1x21y2两边平方

4、得S22 ( x2y2 ) 2 1 x21 y2 ，即 S22 a22 1 x21 y2 ，1 x21 y21 (S2a22) .2由积化和差公式，得1 x21 y2(1 x21 y2 ) 2(1 x21 y 2 )222代人上式，得1 (S2a22) (S)2(1 x21 y2 )2 .222(1x21y2) 21 S21 a2 1 0 ,242;.S242a2,Q S0,S42a2 .又 xy2 a 时 ,2S 2 1a242a2，2S最大值42a2.注有时将积化和差公式4ab(ab)2(ab)2化为如下形式 :ab ( a b )2( a b )2 ,22用起来比较方便.五、配方法解题时

5、把题中所给的代数式，应用配方法化成一个或几个完全平方式与常数的代数和的形式 ;再根据 (a b)20，可求出代数式的最小值，根据 ( a b)20 ，可求出代数式的最大值 .例 5求函数 yx4x21的最值 .解析y ( x2 )2x2 1 ( x2 1 )23 .24Q x20 ,x2 的最小值是0， x 最小也是0.当 x 0 时， y 的最小值为 :(01 )231.24y 的最值，那就错了 .事实上，当注本题如果机械地套用二次函数求极值的公式去求x2b1时， y 取得极小值，这是不可能的。一般情况下，如果自变量取值范围有2a2一定限制， 不能轻易套用极值公式， 而应先通过配方，再求极值

6、， 这样做才不会得出错误的答案 .六、增加辅助量例 6若 实 数 a 、 b 、 c 、 d 、 f满 足 条 件 a b c d f 8和a2b2c2d2f 216 ，求 f 的最值 .;.解Qab cdf8 ,abcd8f .设 a8 f8f， c8f， d8f,4， b444则0,而 a2b2c2d 24(8 f )22() 8 f222244(8f )2.416 f 2(8 f ) 2 ，即 5 f 216 f0.40f16.516 ，最小值为 0 .故 f的最大值为5七、数形结合法例 7已知 a 、b 都是小于1 的正数，求a2b2a2(1b)2(1a) 2(1 b) 2(1a) 2

7、b2的最小值 .解对形如a2b2 的问题，不妨考虑利用勾股定理和题中所给的已知条件，构造相应的几何图形，并根据图形中边与边之间的关系解决问题.如图 1，构造边长为 1 的正方形 ABCD ， P 是正方形内一点，它到 AB 、 BC 的距离分别为 a 、 b ，即 PG a ， PH b ，则由勾股定理，易得BPa2b2PD(1a)2(1 b)2APa2(1b)2;.PC(1a) 2b2ACBD2 .Q APPCAC， PB PDBD ,则 APPBPCPD2AC ,a2 b2a2(1b)2(1a)2(1 b) 2(1 a) 2 b22 2即所求最小值 22 .八、构造一元二次方程例 8若 2

8、x23xy2 y21 ，求 xyxy 的最小值 .解 将 2x23xy2 y21 配方，得2( xy)21xy设 kx yxy则 1 xy k (x y) 1方程可构造为以xy 为主元的一元二次方程:2( xy)2(xy)k10Q xy 是实数，V0即 1242(k1)0解之得 k98即 xyxy 的最小值98点评此题巧妙运用了构造方程的思想，并利用一元二次方程根的判别式求得k 的最值.九、构造函数由于最值问题中一般都存在某些变量变化的过程， 因此解决最值问题离不开函数， 我们常利用构造函数法使问题得到解决 .例 9求代数式 : x 1x2 的最值 .解设 Qx 1x2 ( 1x1) ，再令 xsin，x则有2 2 Q x 1 x2 sin 1 sin 2;.1sincossin22Q1sin21Q 最小值为11，最大值为22十、零点分段讨论法例 10当 x16时，求函数 y x x2 x 1 的最大值 .分析先由条件x16 ，求出 x 的取值范围，再用“零点分段讨论法”去掉函数y 中的绝对值符号， 然后求出 y 在各个区段上的最大值并加以比较，从中确定出在取值范围内的最大值 .解 由 x 16 6，知 7 x 5 .当7x0 时，