求数列通项公式及求和的基本方法

1、.求数列通项公式及求和的基本方法1. 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有anSnSn 1 (n2) ，等差数列或等比数列的通项公式。例一已知无穷数列a n 的前 n 项和为 Sn ，并且 anSn1(nN * ) ，求a n 的通项n1公式？an.2反思：利用相关数列a n与 Sn的关系： a1 S1 , anSn Sn 1 (n 2) 与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.2.累加法： 利用 ana1(a2a1 )(an an 1 ) 求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如 an 1anf ( n) 的递推数列通项公式的基本方法（f (n) 可求前 n

2、 项和） .n已知 a1 1, an 1an1( n N * ) ,求数列 a n 通项公式 .223. 累乘法 : 利用恒等式ana2a3an(an0, n2) 求通项公式的方法称为累乘法,a1a2an 1a1累乘法是求型如 :an 1g (n)a n 的递推数列通项公式的基本方法(数列 g (n) 可求前 n 项积 ).已知 a1 1, ann( an 1an ) (nN*),求数列a n通项公式 .an n .反思 : 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为an 1g (n)a n .'.4.构造新数列 :类型 1 an 1anf (n)解法：把原递推公式转化为an 1anf

3、 (n) ，利用累加法 (逐差相加法 )求解。例 1:已知数列an满足 a11， an 1ann21，求 anan11 1312n2n2n解：类型 2 an 1f ( n)an解法：把原递推公式转化为an 1f (n) ，利用累乘法 (逐商相乘法 ) 求解。an例 2:已知数列an 满足 a12， an 1nan，求 an 。 an23n 13n解：变式 :（全国I, ）已知数列 an ，满足 a1 =1， ana1 2a2 3a3(n1)an 1 (n 2)，则 an 的通项 an1n1ann! (n2)_n22解'.类型 3 an 1pan q （其中 p， q 均为常数， ( p

4、q( p 1)0) ）。an 1t p( ant ) ，其中 tq解法（待定系数法） ：把原递推公式转化为：，再利用换元法转化1p为等比数列求解。例 4:已知数列an 中， a1 1， an 12an3，求 an .an 2n 13 .解：类型 4an 1pann( pq( p1)( q1)0)（或 an 1panrqnq （其中 p，q 均为常数，）。,其中 p，q,r 均为常数）。qn 1an 1pan1bn解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：qn 1q?n引入辅助数列（其qq中 bnanp bn1 再待定系数法解决。qn ），得： bn1qq例 5:已知数列an 中， a15,

5、 an 11 an(1 )n 1 ，求 an 。632解：'.在 an11an(1) n 1两边乘以 2n1 得： 2n 1 ? an 12 ( 2n ? an )1323令 bn2n ? an ，则bn 121,解之得：bn2n3 bn3 2(3)所以 anbn3( 1 )n2(1) n2n23类型 5 递推公式为 an 2pa n 1qa n （其中 p， q 均为常数）。解 ( 特征根法 ) ：对于由递推公式an2pan 1qa n ， a1, a2给出的数列an ，方程x2pxq0 ，叫做数列 an的特征方程。若 x1 , x2 是特征方程的两个根，当 x1x2 时，数列an的

6、通项为 anAx1n1Bx2n1 ，其中 A ， B 由 a1, a2决定（即把a1 , a2 , x1 , x2 和 n1,2，代入 anAx1n 1Bx2n1，得到关于 A 、B 的方程组）；当 x1x2 时，数列an的通项为an( ABn) x1n1，其中A ， B 由 a1, a2决定（即把a1 , a2 , x1 , x2 和 n1,2 ，代入 an( A Bn) x1n 1，得到关于 A 、 B 的方程组）。例 6:数列 an： 3an 25an 12an0( n 0, n N ) ， a1a, a2b ,求 an解'.（特征根法）：的特征方程是： 3x25x 2 0 。

7、x1 1, x22,3anAx1n 1aAB2bAB3练习 :已知数列ann12n 1 。又由12，于是Bx2AB ()a, aba3A3b2a故 an3b2a3(ab)( 2 )n 1B3(ab)3中， a1 1 , a22 , an 22 an 11 an ，求 an 。33key: an73(1)n 1。443变式 :（福建 ,文 ,22）已知数列 an满足 a1 1,a23, an 23an 12an (n N * ). 求数列 an的通项公式；（I ）解：an(anan 1 )( an 1an 2 ).(a2a1 )a12n 12n 2. 212n1(nN* ).类型 6 递推公式为

8、 Sn 与 an 的关系式。 ( 或 Snf (an ) )解 法 ： 利 用 anS1(n1)f (an ) f (an 1 ) 消 去 SnSnSn 1(n与 an Sn Sn 12)( n 2) 或与 Snf (SnSn 1 ) (n2) 消去 an 进行求解。例 7：数列an 前 n 项和 Sn4 an1. （1）求 an 1 与 an 的关系；（ 2）求通项公式 an .2 n2'.解：（1）由 Sn4 an12 得： Sn14an 112n2n 111于是 Sn 1Sn( anan 1 ) (n 22n 1 )2所以 an 1anan 11an 11an12n 122n .

9、（2）应用类型4（ an 1panqn （其中 p，q 均为常数， ( pq( p 1)(q1) 0) ）的方法，上式两边同乘以 2n1 得： 2n1 an 12n an2由 a1S14 a11a11 .于是数列2n an是以2 为首项， 2为公差的等差数列，所以212n2n an2 2(n 1) 2nan2n1数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式：Sn

10、n(a1an )na1n( n1) d22na1qn )(q 1)2、等比数列求和公式：Sna1 (1a1an q( q1)1q1qn1n(n 1)n1n(n 1)( 2n 1)3、 Snk4、 Snk2k12k 16nk3 1n(n 1) 25、 Snk12例 1（山东文18）设 an 是公比大于1 的等比数列，Sn 为数列 an 的前 n 项和已知 S37 ，且a13，3a2， a34 构成等差数列（1）求数列 an 的等差数列（2）令ln a3n 1， n1，2，L ，bnnTbn的前项和求数列'.a1a2a37，解：（1）由已知得: (a13) (a34)解得a2223a2 .

11、设数列 an 的公比为 q ，由 a22 ，可得 a122q ， a3q又 S37 ，可知222q7 ，即 2q25q20 ，q1解得 q12， q2由题意得q1， q2 2a11 故数列 an 的通项为 an2n 1（2）由于3nbnln a3 n 1， n 1，2，L ，）得 a3n 12由（ 1bnln 23n3n ln 2 ，又 bn 1bn3ln 2nbn 是等差数列Tn b1b2Lbnn(b1bn )2n(3ln 23ln 2)23n(n1) ln 2.2故 Tn3n(n1) ln 22练习：设 Sn 1+2+3+n， nN* , 求 f (n)Sn的最大值 .(n32) Sn 1

12、二、错位相减法设数列 an的等比数列， 数列 bn是等差数列， 则数列an bn 的前 n 项和 Sn 求解，均可用错位相减法。例 2（高考天津）在数列an中， a12， an 1ann 1(2 )2 n ( n N ) ，其中0 （）求数列an 的通项公式；（）求数列an 的前 n 项和 Sn ；'.（）解：由 an 1ann 1(2)2 n (n N) ，0 ，an 1n 1an2n可得21，n 1nannann22n所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故n 1，所以数列的通nan项公式为 an(n 1)n2n （）解：设 Tn2233 4 L (n 2) n 1(n 1) n

13、，Tn32 435L (n 2) n(n 1) n 1当1 时，式减去式，得 (1 )Tn23 L2n 1n(n 1) n 1(n 1) n 1 ，1Tn2n 1( n 1) n 1( n 1) n 2n n 12(1)21(1)2这时数列 an的前 n 项和 Sn(n 1)n 2n n 122n 12 (1)2当1 时， Tnn(n 1)这时数列an的前 n 项和 Snn( n1)2n 12 22例3（高考全国文21）设 an 是等差数列， bn 是各项都为正数的等比数列，且a1 b1 1 ，a3b521 ， a5b3 13（）求 an ， bn 的通项公式；（）求数列an的前 n 项和 S

14、n bn'.an 的公差为 d ， bn的公比为 q ，则依题意有 q12dq解：（）设0 且4dq14221，13，解得 d2， q2所以 an1 (n1)d2n 1 ，bnqn 12n 1（） an2n1bn2n 1Sn135L2n32n1，21222n22n 12Sn235L2n32n122n32n2，得 Sn2222L22n1，2222n 22n122111L12n12222n22n 1112n1222n1112n1262n32n 1三、逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）例 4设函数f ( x)2x的图象上有两点P1 ( x1, y1)

15、、P2 ( x2, y2) ，若OP1 (12),且点P2x22OPOP的横坐标为 1 .2（I ）求证： P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II）若 Snf ( 1 )f ( 2 )f ( 3 )f ( n), n N * , 求 Sn ;nnnn'.（I ） OP1 (OP1OP2 ) , 且点 P 的横坐标为1 .22P 是 P1P2的中点，且 x1x212x12x22x2x22 2x22x211y1y22x12 2x 222x22422x22x11422x22x1yp1由（ I ）知， x1 x21 fx1fx21,且 f122又Snf1f2Lfn 1fn1nnnn，（1

16、） +（2）得：nn121SnffLf2nnnfn2Snf 1f1fn 1f2fn2Lfnf1f 1nnnnnn2 f 1 1 1 L 1 n 3 2 2Snn3222四、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解 （裂项） 如：111（1） a n1)nn 1n( n（2） an( 2n) 2111)1)( 2n1)1(12n( 2n22n1（3） an11 11) (n1 等。n(n1)(n2) 2n( n1)(n2)例 51,1,1, 的前 n 项和 .求数列,n12 23n1

17、'.解：设 an1n 1n（裂项）n1n111则Sn223n（裂项求和）1n 1 ( 21)(32)( n 1n ) n11例 6（高考湖北） 已知二次函数yf ( x) 的图像经过坐标原点， 其导函数为 f ' ( x)6x 2 ，数列 an 的前 n 项和为 Sn ，点 (n, Sn )(nN) 均在函数 yf (x) 的图像上。（）求数列 an 的通项公式；（）设 bn1TnmN 都成立的最小正整， Tn 是数列 bn 的前 n 项和，求使得对所有 nanan 120数 m；'.解：（）设这二次函数f(x) ax2 +bx (a 0) , 则 f(x)=2ax+b

18、,由于 f(x)=6x2, 得a=3 , b= 2,所以 f(x) 3x2 2x.n)(nN) 均在函数 yf (x) 的图像上，所以Sn22n. 3n又因为点 (n, S231)22(n1) 6n5.当 n2 时， an Sn Sn 1（ 3n 2n）（ n当 n1 时， a1 S1 3×12 26×1 5，所以， an 6n 5 （ nN ）（）由（）得知 bn33 1 (11) ，an an 1(6n 5) 6( n 1) 526n 56n1n 11 )( 11 )11 11故 Tn bi(1. ()（1） .i 1277136n 5 6n 126n 1因此，要使1 （11）< m （ nN ）成立的 m,必须且仅须满足1 m26n 1202 20足要求的最小正整数m为 10.，即 m10，所以满n1评析：一般地，若数列an为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：首先考i 1 ai ai 1虑n1n 1 ( 11 ) 则n1= 1(11 )n。下列求和：i 1 ai ai 1i 1 d aiai 1i 1 ai ai 1d a1an 1a1an 1n1也可用裂项求和法。i 1aiai 1五、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开