高一数学《平面向量》复习知识点

1、1向量有关概念：(1) 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)。如已知A (1,2), B (4,2),贝U把向量 AB按向量a =(- 1,3)平移后得到的向量是 (2) 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： 0,注意零向量的方向是任意的；(3) 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是._AB )；_|AB|(4) 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；(5) 平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：

2、 a / b，规定零向量 和任何向量平行。提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 ，但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！(因为有0)； 三点A B、C共线二AB、AC共线；(6) 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。如下列命题：(1) 若 a=b，贝U a =b。(2) 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。(3) 若AB =DC，则ABCD是平行四边形。(4) 若ABCD是平行四边形，则 AB = DC。(5) 若 a =b,b =c，则 a

3、 =c。(6) 若a/b,b/c，则a"/C。其中正确的是 2、向量的表示方法：(1) 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；(2) 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a , b , c等；(3) 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i , j为基底，则平面内 的任一向量a可表示为a=xi yj = x, y，称x,y为向量a的坐标，a = x, y叫做向量a的坐标表示。如果向量 的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3. 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平

4、面内的任一向量a,有且只有一对实数 1、12，使 a= e1 + '2 e2°女口( 1)若 a =(1,1),b = (1,_1),c = (1,2)，则 c=(2) 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 8 =(0,0), e2 =(1, -2) B. e =(-1,2),e2 =(5,7) C. 8 =(3,5), e2 =(6,10) D. e = (2,-3),仓=(,-)24(3) 已知AD,BE分别是 MBC的边BC,AC上的中线,且 AD=a,BE=b，则BC可用向量a,b表示为(4)已知=ABC中，点D在BC边上，且CD=2 DBCD = r AB

5、 sAC，贝U r s 的值是24、 实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定如下：(1杠a =卩a ,(2)当X>0时，九a的方向与a的方向相同，当 入<0时，九a的方向与a的方向相反，当 h = 0 时，九a = 0，注意：九a丰0。5、平面向量的数量积：(1)两个向量的夹角：对于非零向量a , b，作OA = a,OB = b，乙AOB =-0 -二称为向量a, b的夹角，当二=0时,a , b同向，当二=二时，a, b反向，当二=时，a , b垂直。2(2)平面向量的数量积：如果两个非零向量a, b，它们的夹角为v ,我们把数量|a|b|co

6、sv叫做a与b的数量积(或内积或点积)，记作：a *b，即a.b = a b cos日。规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。女口( 1 ) ABC 中，|忌|=3, |AC|=4, |BCh5，则 AB B=(2) 已知 a =(1,l),b =(0,-l),c = a - kb,d =a-b , c与 d 的夹角为一，则 k 等于2- - 2- -4(3) 已知 a=2, b=5,a虫=3，贝y a +b 等于(4) 已知a,b是两个非零向量，且 a = b = a b，则a与a + b的夹角为(3) b在a上的投影为|b|cosr，它是一个实数，但不一

7、定大于 0。如已知|孑=3 , |命=5，且= 12，则向量；在向量b上的投影为 (4) ab的几何意义：数量积 a b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。(5 )向量数量积的性质：设两个非零向量a , b，其夹角为二，则： a _ b= a =0； 当a , b同向时，a b = a b，特别地，a =aa = a, , a = J了 ；当a与b反向时，a b =- a b ； 当n为锐角时，a * b > 0,且a、b不同向，a b 0是二为锐角的必要非充分条件； 当二为钝角时，ab < 0，且a、b 不反向，a b : 0是二为钝角的必要非充分条件；非零向量a, b夹角的计

8、算公式:COSTa *ba b |a *b|a|b|。如(1)已知a =(九,2k) , b =(3扎2)，如果a与b的夹角为锐角，贝U丸的取值范围是 1 . 3丿(2)已知AOFQ的面积为S，且OF FQ =1 ,若一<S £二，则OF,FQ夹角日的取值范围是(答:2 2n n(42)；_.一(3)已知a =(cosx,sinx), b =(cosy,siny), a与 b之间有关系式ka +b =kb,其中 k >0，用 k 表示 a b；2求a b的最小值，并求此时a与b的夹角皿大小(答：a° ；最小值为寸i = 60 )6、向量的运算：(1)几何运算：

9、向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加_L法还可利用“三角形法则”：设AB二a,BC二b，那么向量 AC叫做a与b的和，即a b二AB BC二AC ；'直I 向量的减法：用“三角形法则”：设AB二a,AC二b,那么a-b = AB-AC=CA，由减向量的终点指向被减向 量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。女口( 1 )化简： AB+BC+CD=: ABADDC=； (AB CD) (AC BD)=(2) 若正方形 ABCD 的边长为 1, AB 二 a,BC 二 b, AC 二 c，则 |a b c| =(3) 若O

10、是琴ABC所在平面内一点，且满足 OB OC = OB +OC 2OA，则琴ABC的形状为| ap |(4) 若D为 ABC的边BC的中点， "BC所在平面内有一点 P，满足PA BP CP = 0,设JLAPJ = ,|PD|则入的值为(5) 若点O是厶ABC的外心，且 OA+OB+CO= 0,则厶ABC的内角C为(2)坐标运算：设 a =(捲，yj,b 二(x2, y2)，则： 向量的加减法运算：a±b=(xi 士x2, % _ y2)。女口( 1)已知点A(2,3), B(5,4) , C(7,10)，若Ah = AB+扎疋他 R)，则当九=时，点P在第一、三象限的角

11、平分线上1 雹 雹(2) 已知 A(2,3), B(1,4),且一AB=(sinx,cosy)，x,yN=, = )，则 x + y=2 2 2(3) 已知作用在点A(1,1)的三个力吒=(3,4),F2=(2,_5),F3=(3,1)，则合力 F1F2F3的终点坐标是 (答:( 9,1) 实数与向量的积：N,% =x1, y1 ° 若A(x-), y1), B(x?, y2)，则AB = (x2 -xi, y2 - y1)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐A i=-» 标减去起点坐标。如设 A(2,3), B(_1,5)，且AC =AB，AD =3AB，

12、贝U C、D的坐标分别是 3 平面向量数量积：a b = NX2 + %y2。如已知向量 a =( sinx，cosx) , b =( sinx，sinx) , c =( - 1， 0)。31(1)若x=，求向量a、c的夹角；(2)若x ,，函数f (x) =，a b的最大值为一，求，的值384一2 向量的模：|a|=.、x2y2,a =|a|2 = x2，y2。如已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么| a 3b| =两点间的距离：若A(x1y1 B x 2y 2 )，则| AB |=x2 为(十(y2 % )2。如如图，在平面斜坐标系xOy中， .xOy =60，平面上任一点P关于

13、斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若 OP = xq ，其中0,分别为与x轴、y 轴同方向的单位向量，贝U P点斜坐标为(x, y)。(1) 若点P的斜坐标为(2，- 2)，求P到O的距离丨PO |；(2) 求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系 xOy中的方程。；7、向量的运算律：(1) 交换律：a b a，咒：；：.La = J a， ab=ba ;(2) 结合律： a b c 二 a b c, a -b -c 二 a -b c ， = a *b = a *b = a * b ;(3) 分配律：ij. " a = - a Ja a b = a 一 /，b， a b *c b*c。如下列

14、命题中： ' ' 2-2|a| |b|b| ；2 ； 2 a(b c)=ab ac : a(bc)=(ab) c : (ab) =|a|2 2若 a b = 0，贝y a=0 或 b=0 ；若 a b 二 c b,则 a = c ； ® a 二 a :2 2 2 - - _2(a b) =a b :(a -b) =a -2a b b。其中正确的是 提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以 一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向 量不能相除(相约)

15、；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a(b *cp" (a «b)c，为什么？8、向量平行(共线)的充要条件：如若向量a =(x,1),b =(4,x)，当x =(2)(3)已知 a =(1,1),b =(4,x)，fcnr-|设 PA =(k,12),PB =(4,5), PC =(10,k)，则 k =向2 2a/b= a = b u (a b) (|a |b|)xy _ y1x2 = 0°时a与b共线且方向相同u=a+2b， v=2a+b，且 u/v，贝U x=时，A,B,C共线ACAC条件：a_b=ab二 0= | a b |=|a -b |二 X1X2

16、y2 =0特5如(1)已知 OA =(-1,2), OB =(3,m)，若 OA _OB，贝U m = (2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，- B =90，则点B的坐标是6(3)已知n = (a,b),向量n丄m，且n = m，贝U m的坐标是x x21 力y2，1 - x1x2特别地，当 = 1时，就得到线段p,p2的中点公式x2y1 y2。在使用定比分点的坐标公式时，应明确(X, y),10.线段的定比分点：(1) 定比分点的概念：设点 P是直线P1 P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数，使RP = PP2，则 人叫做点P分有向线段RP；所成的比，P点叫

17、做有向线段 RP；的以定比为人的定比分点；(2) ，的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段P1 P2上时 >0;当P点在线段P1 P2的延长线上时：= <- 1;当P点在线段P2 P1的延长线上时二_1：一 ：0 ;若点P分有向线段pp2所成的比为 九，则点P分有向线段F2P所成的比为-。如若点P分AB所成的比为3，则A分BP所成的比为4-x =(3)线段的定比分点公式： 设Rgy)、F2(x2,y2) , P(x,y)分有向线段PP2所成的比为九，则7(3)已知n = (a,b),向量n丄m，且n = m，贝U m的坐标是#(3)已知n = (a,b),向量n丄m，且n =

18、 m，贝U m的坐标是(捲畀)、(X2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分 点和终点，并根据这些点确定对应的定比 o如(1 )若 M (-3,-2),1 jN (6, -1)，且 MP= MN3，则点P的坐标为#(3)已知n = (a,b),向量n丄m，且n = m，贝U m的坐标是1(2)已知A(a,0), B(3,2 a)，直线yax与线段AB交于M，且AM =2MB，则a等于211.平移公式：如果点P(x, y)按向量a=h,k平移至P(x, y )，则x二x h ；曲线f(x,y)=o按向量a=h,k y=y k平移得曲线f(x

19、-h, y-k)=0.注意：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？(2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！女口( 1)按向量a把(2,3)平移到(1,-2)，则按向量a把点(7,2)平移到点 >T(2)函数y=sin2x的图象按向量 a平移后，所得函数的解析式是y=cos2x + 1，则a =12、向量中一些常用的结论：(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；(2) |a |-|b|_|a b|_|a | |b|，特别地，当 ab 同向或有 0 二 |ab|=|a|b|X|a|b|=|ab| ;当 a、b 反 向或有 0= |a b|=|a 广 眩&qu

20、ot;|口 =冷+2 当 a、b 不共线 | a 4 b| ：冷-小：a (这些和实数比较类似)(3 )在 ABC中，若A X1,y, ,B x?, y? ,C 沁乂，则其重心的坐标为 G人乂2 x3, % y2 y3 。如 k 33/若"ABC的三边的中点分别为(2, 1)、(-3 , 4)、(-1 , -1 ),则"ABC的重心的坐标为 """fc _!MWte PG=1(PA PB PC) = G为 ABC的重心，特别地 PA PB PC = 0= P为 ABC的重心； PA 卩B =PB PC =PC PA= P 为 ABC 的垂心；向

21、量-AC) -0)所在直线过 ABC的内心(是.BAC的角平分线所在直线)；|AB| |AC|8 | AB|PC |BC| PA |CA|PB =0二 P ABC 的内心;(3)若P分有向线段RP2所成的比为九，点M为平面内的任一点，贝U MP_MPl +' MF2，特别地P为RF2的中1+丸占八、MP 二MP1 MP2 ；;2(4)向量PA PB、PC中三终点A、B、C共线二存在实数八:使得PA= PBPC且:-=1 .如平面直9#角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1) , B(_1,3),若点C满足0C二 1 O 2 OB ,其中，七.R且人+九2 =1,则点C的轨迹是 (答：直线AB1 已知O,A, B是平面上的三个点，直线 AB上有一点C，满足2AC C 0，贝U 0C =()A A "J.A. 2OAOBB.-0A 20B C. -0A 0B D. -0A -OB33332设 a =(1, -2)