5-3定积分的换元法与分部法

1、第三节定彩今的换无法和今部法不定积分换元积分法 分部积分法*定积分j换元积分法 I分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部法计算f a/ 1-x2 dxJo先用不定积分求被积函数的一个原函数:(l + cos2f)df=-+ 血 2 + C =-arc sin x + -x 1-x2 +C2422由牛軽莱布尼兹公式得1o 471障解计算-x2 dx.直接求定积分:0xl-x2 dx =7t2 cos2 fdf0t sin 2八-+U 4丿由牛顿莱布尼兹公式，得、1-x2 dx =01flarc sin x + -x 0).令 x = asmt?贝ll dx = acostdt冃 x: 0

2、-a 时，11 o ,故271ala2-x2 dx= 2 a2 coi tdtJoJ 09 Jo(l + cos2 t)dta2 z sin2t、f( + ) 2 22 o7i a2愛解7t计算smxcosxdx方法一:设 sin 兀=匚贝 Icosxdx =dsmx = dt当X = 0时，t= 0 ;当x =兰时，t=l,则 2=Ctdt = t2 IJo 2712 smxcosxdx0方法二:7C 1巴sinxcossinsinx=-sin2xl 空71f（x）dx =J -a设/(兀)在对称区间-匕d上连续，证明：(1)当/(兀)为偶函数时,J /(x)dX = 2/(x)dX.(2)

3、当/为奇函数时，f(x)dx = O.J ao r gf（x）dx+ | f（x）dx,-a对于第一部分f f(x)dxJ -a令兀二一血贝Jdx = x：otO 时，f：oTO,r o/ or 6/uL /（X）d 兀=L /（T）（ d ）= Jo /（T）d e Jo /（X）d 兀于是( aF a0f(-) + /Wdx(1)若/(兀)为偶函数,贝|J/(-%) = /(%)，故有Z、r aciI f (x)dx = 2 f f (x)dxJ 一。Jo(2)若/(力为奇函数,贝ij/(-%)=-/(%),故有0J -a定理1、定积分的分部积分法=(”切:设函数11=况(兀)，V = v

4、(x)在Mb上有连续的导数，见r bbf bu(x)vr(x)dx = u(x)v(x) 一 u(x)v(x)dx 定积分的分部积分公式J d J u证：不定积分的分部积分公式为： u(x)vr(x)dx= W(x)v(x)-J v(xx)dx.式子两边同时求Z到b上的增量得bu(x)vx)dx= u(x)v(x)ab科一 v(x)wr(x)da Ja什么情况下运用分部积分法呢? 怎样很好地记忆分部积分法呢?定积分与不定积分的情形相同!什么时候用？形如C(x)d X的定积分，被积函数为两个函数的乘 积，苴一个容启积分，一个容易求导，我们可以考虑使 用分部积分法.积过的不动该导的求导v(xr(x

5、)dx.專解计算fJo1Jo9 r 11 2 Xck = -Xe10 2121 2x= 2e_Ze小)加dxI例 7计算 arc sin x dr. arcsin xdx = x arcsinxo12 2Jo2(1-2P d(l-x2)TCo 1= 12+(17C12器解Ha令低=t，贝吐=八血=2皿，当兀=0时，心0;当兀=1时，t = L贝V!oe= 2“血2 re -21 eMr二 2e (e 1)本节小结定理1、定积分的换元法若(1)/co在a切上连续；(2)(pa) = a, (p(f3)=b.且。(t)在a,0上单调2 0在弘0上有连续的导数0(。f(x)dx= /( )0 dl定积分换元公式2、定积分的分部积分法定理设函数U =况(兀),V = v(x)在Mb上有连续的导数,则b占 f bu(x)vf(x)dx = w(x)v(x) L 一 w(x)v(x)dx.定积分的分部积分公式什么情况下运用分部积分法呢? 怎样很好地记忆分部积分法呢?什么时候用？形如门心”d兀的不定积分，被积函数