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文档简介
1、4-4关于泰勒公式的余项定理1设函数心)在(°,仍内有(+1)的阶导数,则对(a, b) 中任意取定的一点兀0及任意的b),有/(x)=/(xo)+/,(xo)(x-xo)+/7a:o)(x-Xo)2+寺/(")(兀0)(兀一兀0)"+恥兀),其中R*(x)= 一(兀-兀o)"+i (纟介于兀o与兀之间)(n+1)!而心(兀)的表达式称为拉格朗日型余项.注意= o(x - x0)n 在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为带皮 亚诺(Peano)余项的泰勒公式.证 假如兀二心 则上述公式显然成立 因此,不妨设 "兀0我们令尸二/-/(兀。)-
2、常(一和-(1兀。)", 1'n!G(t)=(t-xor其中兀0 <t<兀或X <t<兀0.容易验证F(x0) =G(x0) = 0, F(兀°) =g(兀°)二 0, k = 1,2,- -,n. 由柯西中值定理F(x) _F(x)-F(x0) _ F(“)丽 _G(x)_G(x°)=莎J, 其中鬲是介于%o与兀之间的一点.FS)_m)_F©2)GS) 一 G©)-Gg) 一 G©2)'其中兀2是介于兀o与兀1之间的一点也即是介于兀o与兀之间的一点如此下去,共使用+1次柯西中值定理,
3、最后得到F(x) _ 严g)G(x)_Gf+J,其中兀n+l是介于丸0与兀1之间的一点另一方面,不难看出F(“+1)二尸“+1)(巧,G("+1)(0 二(m + 1)!,F(x) _/(w+1)(x+1)即G(x) ( + 1)!将£+换成上式心“飞諾心严就是要证的公式故得到特例:"n+ 苛在兀0与兀之间)(1)当n = 0时,泰勒公云给出拉格朗日中值定理/(兀)=/(兀o)+f (歹)(兀-兀。)(g在o与兀之间)(2)当 =1时,泰勒公式变为“f (兀)=/(兀0)+ 广(兀0)(兀兀0)+ '(兀兀0)2可见/(x) « f(xQ) +
4、f(xQ)(x - x0)時在兀。与兀之间)误差 尺(兀)=/字(兀一兀。)? (£在Jr。与兀之间)2!误差估计珈刀设M是I严+D (兀)I在和x或上的一 I ,泰勒公式的误差Rn (x)二 f (x) -g) + f(Xo)(x 7。)+ rf2" (x X。)+ n!有下列估计公式:恥)日備在泰勒公式中若取xo=O = 0x (0<<1), 则马克劳林为:/(X)= / (0) +广(0)兀+ 晋 /+厂申 *2!n!(17 + 1)1由此得近似公式“、(0)+ 广(o)x + 即 /+.+02)対2!n!若在公式成立的区间上/("+1)(劝5M
5、,则有误差估计式R=x) <MS + 1)!n+1X初等函数带拉格朗日余项的几个泰勒公式:1.ex = l + x +疋2!3rn-H:3!“!+(卡。+00)/7-1X2n”皿严+(7 0 + 1)!oo < X < +8);2.sinx = x+ + (1).、3!'7(2n-l)!12n3.COSX = 1x + + ( 1)2! ' )(2«)!7 2+1 cosg+(1)(2+ 2)!OO < X < +OO)4. (l+x) = l + ax +2!(-l<x<+oo)235. ln(l+x) =+ (1厂1 n
6、.( nx +ox n '(-iyn+s+l)(l+y习题 43 1. (2),;2.;3.(1);4(1),;6.补例计算无理数e的近似值,使误差不超过106. 解:已知的麦克劳林公式为2!3! n !( +1)!令“1,得&(0<&<1)11 ee = l + l + + + + (0<0< 1)2!nl (n + 1)!由于0<幺<3,欲使-63心由计算可知当n = 9时上式成立,因此幺 ul + l +丄1- = 2.7182812!9!<( + 1)!<1°例1设-在使用带拉格朗日余项的泰勒公式 44计
7、算sin兀时,为使公式误差小于5><10-7。应在泰勒公式中取多少项?兀5+ + (_1)3! 5!'丿解 / /(/)(x) = sin( x + ,_1 严cosf 2 曲+(-1) X(21)!(2斤 + 1)!2/7 + 1X3n 25丿 j 兀2兄+11x1冗 2 ,(2 + 1)!_乔1)!cosg.sinx =x其误差 I7?2n(x) H(-l)(7)'初冷时!.为使公式误差小于5x107, 取h = 5即可,因为丄<3x1011!需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n ;2)已知项数和兀,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.近似公式的误差补例用近似公式cosX »1 -计算cos兀的近
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