正弦、余弦定理地应用

1、英才苑号险点子2005 2006学年度下学期高 中学生 学科素 质训练高一数学同步测试（10）正弦、余弦定理的应用说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，共150分；答题时间120分钟.第I卷（共50 分）一、选择题（每小题 5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的）1.在 ABC 中，a =4si n10,b=2s in 50,.C=70，则 S ab（=（）A.18B. 142.A ABC中，/ A,ZB的对边分别为a,b ,的厶ABCA.有一个解B.有两个解3.在三角形ABC中,如果 sin A= cosB ,A .直角三角形C .钝角三角形4在 ABC 中，“ A 3

2、0 ”是“ si nA 丄2A.充分不必要条件C.充要条件1C.D. 12且/ A=60°, a = .、6,b = 4，那么满足条件()c.无解D.不能确定那么这个三角形是()B.锐角三角形D. 直角三角形或钝角三角形的（）B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5. 在 ABC中，已知B=30° , b=50-.3 ,c=150,那么这个三角形是（）A 等边三角形B.直角三角形C .等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形6. 在 ABC中，若 b2sin 2C+c2sin 2B=2bccos BcosC,则此三角形为（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形D.等

3、腰直角三角形7. 设A是厶ABC中的最小角，且cosA =，则实数a的取值范围是（）a +1A. a3B. a> 1C. 1v aw 3D. a>0&在厶ABC中，a,b,c,分别是三内角 A、B、C所对的边，若B=2A则b: a的取值范围是（）A. (_2,2)B.(1,2)C.(-1,1)D. (0,1)9.在厶ABC中,若三个内角A, B, C成等差数列且A<B<C,则 csAs C的取值范围是（)Az11r 3 1,1 1、,3 1、A，(pRB.wC.（-科）D（-冇）10 .给出下列4个命题： 若sin2A=sin2B，则 ABC是等腰三角形； 若s

4、inA=cosB，则 ABC是直角三角形； 若cosAcosBcosC<0，则 ABC是钝角三角形； 若 cos（A B）cos（B C）cos（C A）=1，则 ABC是等边三角形其中正确的命题是（）A.B.C.D.第 n 卷 （非选择题，共ioo分）二、填空题（每小题4分，共16分。把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答。）11. 在 ABC中,若 A = 60 , B = 75, c = 6 , 则 a = .12. 在 ABC中,sinA=2cosBsin C,则三角形为.13. 在 ABC中,BO3, AB=2，且=2（ _61）, A=.sin B 514 .在 AB

5、C中，已知 AB=，/ C=50°,当/ B=时，BC的长取得最大值.三、计算题（共84分.要求写出必要的文字说明、主要方程式和重要演算步骤。）2 A15.在 ABC中，已知sinB sinC = cos，试判断此三角形的类型 .22 316 在 ABC中，tan A , tan B，且最长边为、. 2 .57(1)求角C的大小；cotA coted , a°3 .7(2 )求最短边的长.17 .已知 ABC的三边a、b、c成等比数列，且(1)求 cosB ；2)求JABC的面积.18.已知后勤保障队位于沙漠考察队北偏东30处，两队相距80km.上午6点，后勤队驾越野车以1

6、5km / h的速度向沙漠考察队方向行进，但此时，沙漠考察队却以3km / h的速度徒步向正东方向开始考察两支队伍均配备用于联络的步话机，步话机的联络半径是10km,且两队都打开步话机并随时呼叫对方.(1) 求两队出发t小时后它们之间的距离 f (t );(2) 在两队行进过程中，是否可以通过步话机建立联络？请说明理由.L1厂19在 ABC中，已知 tan B = .3,cosC , AC =3._6，求 ABC的面积.320.在 ABC中，A、B、 C所对的边长分别为a、b、c,设a、b、c满足条件b2 c2 -bc = a2和=-3，求三A和 tan B 的值.b 2参考答案一、选择题：C

7、CDBD AABCBJTJT提示：9 .(解法 1 ) / 2B=A+C, B=.设 A= d, C= +d ( d > 0).则3 33cosAcosC =cos - -d cos n d =丄 cos2 d -3sin2d =- -sin2d，又 0<d<n ,334443 0 : si nd . - cosAcosC,即选C.(解法2)考虑特殊的情况，取A=0,22 4 fC=2-n，得 cosAcosC =；取 A=B=C=n，得 cosAcosC =-4 .综合题意(、均为3234特例)，故选C.二、 填空题：11. 3 . 6 ； 12 .等腰三角形 ；13 .

8、120° 14 . 40° .三、计算题：15. 解：T sinB sinC = cos2 , sinB sinC = 1cosA2 2 2sinB sinC = 1 + cos : 180 ° ( B+ C)将 cos ( B+ C)= cosBcosC sinBsinC 代入上式得cosBcosC+ sinBsinC = 1, cos ( B C)= 1又 0 V B, CVn,.一nV B Cv 口- B C= 0 - B= C,故此三角形是等腰三角形16. 解：(1)： tan A= - , tanB 3 , tan (AB)tanAtanB1.571 -

9、ta nAta nB又 ABC =180 , tanC = tan二-(A B) - - tan(A B) - -1 , C =135 .(2)由(1 )知C为最大角，从而由已知得 C = . 2 ,tanB tanA B A，故 ABC的最短边为a。2A15.292 29 CCO CMC A =A o A t tan A, 5cosA -11+ tan2 A-29，sin A - ta nA cosA -29<2又 sin C 二-由正弦定理得最短边c sin A4- 29a _2sin C2917解：(1)由 cotA cotC Q=.sin(A C)二口7 sin AsinC 72

10、4sinAsinC =sin B , sin(A C)=sin Bsin B4.7sin2B 7由a、b、c成等比数列，知b2=ac,且b不是最大边cosB - 一 1 -sin2341 .S abc acsin B ABC 24(2)由余弦定理 b2 = a2 c2 -2accosB 得22327ac =a c 2ac(a c) ac，4 、7218 .设沙漠考察队出发位置为A, t小时位于点 Q后勤队t小时位于P点.则条件：知/ PAQ= 60, AP = 80- 15t , AQ = 3t ,222 |PQ| = (80- 15t)+ (3t)- 2 (80- 15t)(3t)cos60

11、=279t2 - 2640t + 6400 .- f (t ) =. 279t2 -2640t 6400. (t - 0 )- f (t )=279t2 - 2640t6400 =279(t-440)293 )48004800 >3100 =10.Y 31.31两队联络不上.另解：由 279t 2 2640t + 6400< 100得 279t2 - 2640t + 6300< 0 ,即 93t- 880t + 2100<02 = 880- 4 93 2100 =- 6800.31无解，故两队在行进中不能联络上 答略.19.解法1:设AB BC CA的长分别为c、a、b

12、,由 tan B = 3,得B =60 , sinB3,cosB =丄.2 23嘗& 2/2o .二 二 8Jsin B又sinC_cos2c=晋,应用正弦定理得：c严nC.sin A =sin(B C) =sin B cosC cosBsinC =231故所求面积s ABC bcsinA=6.28 3.解法2:同解法1可得c=8.又由余弦定理可得20.所得a1由sin而a2c21-2ac cos B ,即 54 = a2 64 - 2a 8,. a2=4. 6 , a 2 - 4 - . 6 .B = 60 ,0故所求面积得,a = b sin A > bsin Bsin Bsin B-v6 : 3,舍去，故 a = 4 、6.S abc =-1 acsi nB=6.28、3.人2 *2 _2解法一：由余弦定理 cos A = -一c _asin 30=2bc因此， A =60 在厶ABC中，/ 0=180° -Z A-Z由已知条件,应用正弦定理:2 -8a10=0.A : 120,.30:：:3.6 22B=120°-Z B.3,sinC sin (120 B)sin 120 cosB-cos120 sin Bsin Bsin