椭圆双曲线知识点总结材料

1、椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念：椭圆的第一定义 在平面内到两定点 Fi、F2的距离的和等于常数（大于|FiF2|）的点的轨迹叫椭圆. 这两定点叫做 椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距当动点设为M时，椭圆即为点集 P =M | MF.-|MF2 =2a? 注意：若（PFi |+阡2 =FiF2），则动点P的轨迹为线段F1F2 ；若（PFi | + PF2F1F2 ），则动点P的轨迹无图形。椭圆的第二定义：在平面内，满足到定点的距离与到定直线的距离之比是等于一个常数的动点的轨迹叫做椭圆。其中这个定点叫做椭圆的焦点，这条定直线叫做相应于该焦点的准线。注：定义中的定点不在定直线上。如果将椭圆的中心与

2、坐标原点重合，焦点放在X轴上，准线方程是：焦点放在Y轴上，准线方程是：【知识点2】椭圆的标准方程2 2焦点在X轴上椭圆的标准方程：=1 a b 0，焦点坐标为（c，0）， （ -c, 0）a b2 2焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：=1 a b 0焦点坐标为（0，c，） （0，-c）b a【知识点3】椭圆的几何性质：标准方程2 2Xyr +厶=1 (a Ab >0 ) ab2 2二 +Z =1 (a >b>0 ) b a图形iA.性 质范围a乞x兰ab兰y兰b对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A( - a,0)， A a, 0)B(0，- b)，B(0，b)A(0，- a

3、)，A(0，a)B1( - b,0)，BKb,0)轴长轴AA的长为2a；短轴 BR的长为2b焦距1 F1F2 |=2c离心率ce二一 (0,1)aa，b，c的关系2 2 . 2 c = a - b规律：（1丄椭圆焦点位置与. x2, y2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上实用标准文案（2）椭圆上任意一点_ M到焦点.F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离 为a+ c,最小距离为 a c.在椭圆中，离心率e詣=.；：=.a：n i -（4）椭圆的离心率e越接近1椭圆越扁；e越接近于0,椭圆就接近于圆；椭圆典型例题、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例1:已

4、知椭圆的焦点是 Fi（0， 1）、F2（0,1） , P是椭圆上一点，并且 PF+ PF2= 2F1F2，求椭圆的标准方程。解：由 PF+ PF2= 2FiF2= 2X 2= 4,得 2a= 4.又 c= 1,所以 b2 = 3.222 已知椭圆的两个焦点为 解：由椭圆定义知 c= 1,所以椭圆的标准方程是4+彳=1.b=5 1 = p24. 椭圆的标准方程为2 2x y25+ 24F（ 1,0） , F2（1,0），且2a= 10,求椭圆的标准方程.、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例：1.椭圆的一个顶点为 A 2,0，其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程.解：（1）当A 2,0

5、为长轴端点时，a =2 , b=1,椭圆的标准方程为:（2）当A 2,0为短轴端点时，b=2 , a =4,椭圆的标准方程为:2 2x_丄416=1三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。2 2求过点（一3,2）且与椭圆希+ £ = 1有相同焦点的椭圆的标准方程.例.解:x2 y294因为c2= 9-4 = 5,所以设所求椭圆的标准方程为孑+斗=1.由点（-3,2）在椭圆上知孑+斗=1,所以a22 215.所以所求椭圆的标准方程为X5+0= 1.四、求椭圆的离心率问题。例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率.2解：；2 c1222 3c =a3i?

6、1e - V33x2例2已知椭圆k +8=1的离心率9解：当椭圆的焦点在 x轴上时，a2=k，8 ,，得c2二k-1.由e二丄，得k=4 .22 2 2当椭圆的焦点在 y轴上时，a =9 , b =k8，得c =1-k .,1 m 1 k1刖 5由e ，得，即k =9445满足条件的k =4或k =4双曲线知识点【知识点1】双曲线的概念：在平面内到两定点 Fi、F2的距离的差的绝对值等于常数 （小于|FiF2|）的点的轨迹叫双曲线. 这两定点叫做椭圆 的焦点，两焦点间的距离叫做焦距当动点设为 M时，椭圆即为点集 PhJmIMFI |MF2 =2a? 注意：若（|MFi MF?| = FT?），

7、则动点P的轨迹为两条射线； 若（MF, MF? A FT?），则动点P的轨迹无图形。【知识点2】双曲线的标准方程2 2 焦点在x轴上双曲线的标准方程：-1- =1 a 0,b 0，焦点坐标为（c, 0）, （-c, 0） a b2 2焦点在y轴上的双曲线的标准方程为：占=1 a 0,b 0焦点坐标为（0, c,）（0，-C）b a【知识点3】双曲线的几何性质标准方程22x y.孑一 £= 1( a>0, b>0)2 2y-習=1(a>0, b>0)图形yi性 质范围x>a 或 xw a, y Rx R, yw a 或 y >a对称性对称轴：坐标轴对

8、称中心：原点顶点A( a,0), A(a,O)A(0， a) , A-(0 , a)渐近线by =± _ xaay=± Lx离心率c1e = -, e (1 ,+ )，其中 c= a2 + ba实虚轴线段AA叫做双曲线的实轴，它的长 |AA| = 2a； 线段BB叫做双曲线的虚轴，它的长 |BB| = 2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2= a2+ b2(c> a> 0, c> b> 0)实用标准文案 规律：1. 双曲线为等轴双曲线 ？双曲线的离心率 e= 2?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).2. 区分双

9、曲线中的a, b， c大小关系与椭圆a，b， c关系，在椭圆中a2 = b2 + c2，而在双曲线中c2= a2 + b2.(2)双.曲线的离心率大于.1，而椭圆的离心率.e£ (0,1)c(3)在双曲线中，离心率 e = _a 双曲线的离心率 e越大,开口越阔双曲线典型例题、根据双曲线的定义求其标准方程。例 已知两点F1 -5,0、F2 5,0，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹.解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线.c = 5， a = 32 2 2 2 2 2b c - - a 5 - -34162 2.所求方程x _y =1为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线.916

10、x2P是双曲线642_L _1上一占I L-八、：36F1、F2是双曲线的两个焦点，且PR =17,求 PF2 的值.2 2解：在双曲线=1中，a=8，b=6，故c=10 .6436由P是双曲线上一点，得I PF PF2| =16 . PF2|=1 或 PF2 =33 .又 PF2 _c-a =2，得 PF2 =33.、根据已知条件，求双曲线的标准方程。例2根据下列条件，求双曲线的标准方程.广15 i君16 (1)过点P 3 一 I， Q -一 ,5 1且焦点在坐标轴上.I ' 4丿I 3丿(2) C = 6，经过点(一5, 2)，焦点在X轴上.2 2(3)与双曲线 -=1有相同焦点，

11、且经过点 (32,2)164解:2 2(1)设双曲线方程为 - 1m nP、Q两点在双曲线上,9225,+=1<m伽解得.25625,+=19m n2 2所求双曲线方程为1169说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的.（2）V焦点在x轴上，C二 6 ,2 2设所求双曲线方程为：=1 （其中0 :：6 ）九 6 - X双曲线经过点（一u C、254彳5, 2),.1扎 6 =5 或，=30（舍去）所求双曲线方程是2X 2 1 y *说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.2 2（3）设所求双曲线方程为：一 - =1 0 ： 1616 - k 4 + &am

12、p;184双曲线过点 3 2,2 , =116 - 人 4 + k，= 4 或，=-14 （舍）2 2所求双曲线方程为 -Z =112 8抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫 做抛物线的焦点，直线1叫做抛物线的准线。 M |MF点M到直线l的距离范围x MO, yRx 兰 0, y RxE R, y 色 0x R, y 兰 0对称性关于x轴对称关于y轴对称焦占八、八、与。）（-#,0）（0,号）（0, -舟）焦点在对称轴上顶点0（0,0）离心率e=1准线 方程x专准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准 线的距离£焦点到准 线的距

13、离P焦半径A（X1, y1）AF =为2AF =-为+只2AF = % + 卫2AF =-力+卫2抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程.2 2（1） x =4y（2） x=ay（a=O）解：（1）幕p =2 ,焦点坐标是（0, 1），准线方程是：y - -12 11（2） 原抛物线方程为：y =X，二2p =1a|a| 当a 0时，=，抛物线开口向右，2 4a焦点坐标是（丄,0），准线方程是：x二-丄.4a4a 当a <0时，£-，抛物线开口向左，2 4a11焦点坐标是（丄,0），准线方程是：X二-丄.4a4a14a2 1综合上述，当a =

14、0时，抛物线x = ay的焦点坐标为（,0），准线方程是:4a二、求直线与抛物线相结合的问题例2若直线y =kx2与抛物线y2 =8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2,求此直线方程.解法一：设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，则由："2 可得：k2x2 (4k+ 8)x + 4 = 0. y =8x直线与抛物线相交，.k=0且,：0，则k .-1. AB中点横坐标为：.仝X 4k_8 2 ,2 k解得：k =2或k 1 （舍去）.故所求直线方程为：y=2x-2 .2 2解法二：设 A（x1,yj、B（X2,y2），则有 y1 =8为 y2 =8x2.两式作差解：(如-y2)

15、(wy?) -8(为-x?)，即 y1y2X1 -X2力 + y2x1x2 =4 .y1y2= kXj-2kx22 = k(%x2)-4 = 4k 4 ,8-k故k=2或k = -1 (舍去).4k 4则所求直线方程为：y =2x -2 .椭圆、双曲线、抛物线基础测试题100分时间：100分钟 满分：一.选择题（下列各题中只有一个正确答案，每小题 4分共24分）F1 （0, 3 ）、F2 （0,七）的距离之和等于 10的动点M的轨迹方程是班级姓名成绩1.到两点2.3.双曲线2 2X- 1542 24x - 3y = 12(A ) 4y 2 - 3x2 = 122 2X- 1 ( c )52 2

16、乞.y_2516=12 2乞丄1625=1的共轭双曲线是(B ) 3x-4y 2 = 12( C ) 3y-4x2 = 12(D ) 4x2 - 3y2= 12顶点在原点、坐标轴为对称轴，经过点P（ 1, -2 ）的抛物线方程是2=4x ( B ) X2 2=4x, x = 4y ( D ) y2 = 4x,2 1X =y4.若椭圆22二 =1，则9等于95(A) 两焦点间的距离(B)一焦点到长轴一端点的距离(C) 两准线间的距离(D)椭圆上一点到准线的距离)或k < 0() + 32 25. 当曲线 =1表示焦点在x轴上的双曲线时，则(k 4 k(A ) k > 0( B ) k

17、 > 4( C ) 0 < k < 4( D ) k > 46. 双曲线的两条准线把连接两焦点的线段三等分，则双曲线的离心率是(A )3( B ) 3( C )±2( D )3二.填空题(每空4分，共24分)1. 抛物线x2 = 4y + 8 的焦点坐标是 .2. 离心率为.2的双曲线的渐近线的夹角等于3. 经过两点M(3, 0 ) 、N( 0, _2 )的椭圆的标准方程是 .4. 若椭圆的一焦点到短轴两端点的连线垂直，则椭圆的离心率是5. AB是过椭圆x2 + 2y 2 = 4焦点Fi的弦，它与另一焦点 F2所连成三角形的周长等于 .6. 当抛物线y2 = 4x上一点P到焦点F和