专题06数列的综合问题专项训练解析版

1、1 已知等差数列刘的前n项和为S,且ai= 1,S3+S4=S5.(1)求数列an的通项公式； 令bn= ( 1)匕，求数列bn的前 2n项和 仏【答案】见解析【解析】(1)设等差数列刘的公差为d,由 S+ S=S得a1+a2+as=as,即 3a2=as,所以 3(1 +d) = 1 + 4d, 解得d= 2.所以an= 1 + (n 1)x2= 2n 1.(2)由(1)可得bn= ( 1) (2n 1)，所以T2n= 1 3+ 5 7 + + (4n 3) (4n 1) = ( 2)xn= 2n.2 (2019 东北三省四校模拟)已知等差数列an的前n项和为S,公差d0,且S3+Ss= 5

2、0,a1,a4,a13成等比数列.(1) 求数列an的通项公式；bn设a是首项为 1 ,公比为 3 的等比数列，求数列bn的前n项和Tn.an【答案】见解析3X25X43a1+- d+ 5a+-d= 50,a= 3,【解析】(1)依题意得22解得所以an= 2n+1.2d= 2,(a1+ 3d) =a1(a+ 12d),bn(2) 因为一 =3n二所以bn=an3n1= (2n+1)3n1,所以Tn= 3 + 5X3+ 7X32+-+ (2n+1)X3n3Tn= 3X3+5X32+(2n1)X3n1+(2n+1)X3n, 2Tn=3+2X3+2X32+ +2X3n1(2n+1)X3n=3+3

3、(2019 南昌模拟)已知各项均为正数的数列an的前n项和为 S,满足 4入Sn= (an+X)2,其中入0, 且,3是a1,a2的等比中项.(1)求数列an的通项公式；11117+$ 1+s 1 十十S1v4.【答案】见解析【解析】(1)当n= 1 时，4XS1= (a1+入)：所以(a1入)2= 0,得a1=入；当n2时，4XSn1= (an-1+入)，得 4Xan= (an+X) (an-1+入)，即卩(an+an-1)(anan-1 2入)=0.因为数列an的 各项均为正数，所以anan1= 2X,贝Ua2= 3X,a2= 3 又、.3是a1,a2的等比中项，所以 &他=3,由

4、X 0 得X= 1，所专题 06 数列的综合问题(专项训练)2X3 (1 3n1)1 3(2n+1)X3= 2nX3，所以Tn=n3.(2)求证：当n2时,以anan1= 2,a1= 1，所以数列an是首项为 1,公差为 2 的等差数列，故an= 2n 1.1111111(2)证明：由(1)得4S= (2n1+1)，即S=n，当n2时，$_=?n一n+，则$+$+1，求由该折线与直线y= 0,X=X1,X=XnI1所围成的区域的面积Tn.1 1111 1S3- 1 + S 1 = 12+ 22- 1 + 32-厂+n2 1 =111111111171171十 23 2 4n- 1n+ 1 =2

5、2n n+1 = 4_2n_ 2(n+1)4.4 .已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x) = 6x_ 2，数列&的前n项和为 S,点(n, S)(n N*)均在函数y=f(x)的图象上.(1)求数列an的通项公式；3设bn=，试求数列 b的前n项和Tn.anan+1【答案】见解析【解析】(1)设二次函数f(x) =ax2+bx(a0)，贝Uf (x) = 2ax+b.由于f(x) = 6x- 2,得a= 3,b=_ 2,所以f(x) = 3x- 2x.又因为点(n, S)(n N)均在函数y=f(x)的图象上，所以 S= 3n22n.当n2时，an=S S_1

6、= 3n2- 2n_ 3(n-1)2_ 2(n 1) = 6n_ 5;当n= 1 时,2 *a1=S1= 3x1 2x1 = 6x1 5，也适合上式，所以an= 6n 5(n N)./ 曰3_3_111由得bn=anan+1=( 6n_ 5) 6 (n+ 1)_ 5 = 2 6n5_6n+111113n =_ 1 一 =-6n 5 6n+ 126n+16n+15.已知数列an满足a1= 3,an+1+ 1anI1= 1,n N.(1)求数列an的通项公式；2设bn= log2nIn，数列bn的前n项和为S，求使 S 4 的最小自然数n.【答案】见解析【解析】(1)由、jan+1+ 1 -Jan

7、11 = 1,n N 知数列、an+1是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，所以寸an11 =2 +n-1 =nI1,所以a=n2+ 2n,故数列an的通项公式为an=n2+ 2n.2一n+nn11bn=log2 2=log2=log2(nI1)log2(nI2),n+2nnI2log241Ilog2(n11) log2(nI2) = 1 log2(nI2)，由Sn 4 得 1 log2(nI2)30,故满足 S0.由题意得2X1qX1q= 2,所以 3q2 5q 2= 0.因为q0，所以q= 2,X1= 1，因此数列Xn的通项公式为Xn= 2n1过P,P,，Rm向x轴作垂线，垂足分别为Q,Q,，Q+1.由得Xn+1Xn=2n 2n1= 2n：记梯形PnR+1Q+1Q的面积为bn,由题意得bn=n+(2+1)X2n1(2n+1)X2n2,101n3n2所以Tn=b1+b2+，+bn=3X2 +5X2 +7X2 +(2n1)X2 +(2n+1)X2 ，又 2Tn=3X 20+5X 21+7